一類(lèi)三維人口模型的初邊值問(wèn)題

梁波,龐敏,張亞杰,郭大為

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連116028)

一類(lèi)三維人口模型的初邊值問(wèn)題

梁波,龐敏,張亞杰,郭大為

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連116028)

研究一類(lèi)三維人口模型初邊值問(wèn)題弱解的存在性. 此模型屬于四階非線性拋物方程, 可以用來(lái)描述人口問(wèn)題的增長(zhǎng)和彌散. 方法上, 利用Laplace算子得到的特征函數(shù)系，構(gòu)造了適用于Galerkin方法的逼近解, 對(duì)逼近解做一致性估計(jì)獲得收斂性極限，進(jìn)而獲得弱解的存在性.

非線性拋物方程; 弱解; 存在性

0 引言

主要研究一類(lèi)三維人口模型方程的初邊值問(wèn)題.為獲得解的存在性,主要利用Galerkin方法.首先利用此方法構(gòu)造此模型方程的逼近解,其次對(duì)構(gòu)造的逼近解通過(guò)選取恰當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)函數(shù)做一些必要的估計(jì),進(jìn)而得到逼近解的收斂性結(jié)果,最后即可證明弱解的存在性(方法上也可參考文獻(xiàn)[1-2]).

本文研究下面三維人口模型方程的初邊值問(wèn)題,形式如下：

(1)

(2)

(3)

其中,QT=Ω×(0,T),T>0,Ω是R3中具有充分光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，00,a2≠0都是常數(shù)，u0(x)是定義在Ω上的已知函數(shù)，G(s)是給定的非線性函數(shù).

定義1 一個(gè)函數(shù)滿足下列條件：

(1)u∈L2(0,T;H2(Ω)),ul∈L2(0,T;H2(Ω)′)，

?QTa2Δuφdxdt-?QTaΔu3φdxdt-

(4)

在L2(Ω)意義下，u(x,0)=u0(x), 則稱(chēng)為問(wèn)題(1)～(3)的弱解.

定理1 設(shè)G∈C1(R),?s∈R,G′(s)≤γ,其中γ為常數(shù),G(0)=0, u0∈L2(Ω),則問(wèn)題(1)～(3)存在弱解且u且u∈L2(0,T;H2(Ω)′).

1 逼近解估計(jì)及存在性

設(shè){yj(x)}(j=1,2,…)是特征值問(wèn)題

對(duì)相應(yīng)特征值λj(j=1,2,…)的特征函數(shù)系,則{yj(x)}(j=1,2,…)構(gòu)成L2(Ω)中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基. 令

是問(wèn)題(1)～(3)的Galerkin逼近解,其中aNj(t)(j=1,2,…,N)是待定系數(shù),N是正常數(shù)，則aNj(t)(j=1,2，…,N)應(yīng)滿足下列常微分方程組問(wèn)題：

(5)

(6)

其中,(·,·)表示L2(Ω)中的內(nèi)積.下面用‖·‖表示L2(Ω)上的范數(shù).

引理1 在定理1的條件下,對(duì)任意的,問(wèn)題(5)～(6)至少有一解aNj(t)∈C1[0,T](j=1,2,…,N),并有估計(jì)

(7)

其中,C(T)表示依賴(lài)于T的正常數(shù).

證明 由經(jīng)典的常微分方程解的存在性理論，可知局部解解存在唯一解aNj(t). 在式(5)中以aNj(t)為檢驗(yàn)函數(shù)并求和有

(8)

利用分步積分有

(9)

(11)

(12)

(13)

將式(9)～(13)代入式(8)得

(14)

(15)

由Gronwall不等式知

(16)

所以式(7)成立.

引理2 在定理1的條件下,逼近解uN具有估計(jì)：

則

從而

又因?yàn)?

故ut∈L2(0,T;H2(Ω)′).

利用引理1和引理2得到的關(guān)鍵性估計(jì)，再通過(guò)函數(shù)列收斂和弱收斂的經(jīng)典討論(參考[4-6])，可以得到定理1的弱解存在性結(jié)果.

[1]郭金勇. 退化擬拋物方程弱解的存在性[J]. 南京師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013(2): 15-19.

[2]COLEMAN B D，DUFFIN R J，MIZEL V J． Instability，uniqueness and non-existence theorems for the equations，ut=uxx-uxtxon a strip[J]． Arch Rat Mech Anal，1965，19(2):100-116．

[3]陳亞淅，吳蘭成．二階橢圓型方程與橢圓型方程組[M]． 北京:科學(xué)出版社，1991．

[4]ADAMS R A.Soblev Space [M].New Yrok: Academic Press ,1975.

[5]XU M, ZHOU S.Existence and Uniqueness of weak solutions for a generalized thin film equation[J]．Nonlinear Anal,2005,60:755-774.

[6]SOMON J. Compact sets in the space Lp(0,T; B)[J]． Ann Math Pura Appl，1987，146(1):65-96．

Initial Boundary Value Problem to a Population Model in Three Dimensional Space

LIANG Bo, PANG Min, ZHANG Yajie , GUO Dawei

(School of Mathematics & Physics, Dalian Jiaotong University, Dalian 116028, China)

The existence of a population model in three dimensional space is studied. This model is a nonlinear fourth order parabolic equation which can describe the increase and diffusion of the population problem. For the method, an eigenfunction system is applied to construct the approximation solution for the purpose of Galerkin method. The uniform estimates of the approximate solution give the convergence limits, and then the existence of the weak solutions of the corresponding problem is proved.

nonlinear parabolic equation; weak solutions; existence

1673- 9590(2017)04- 0203- 03

2016- 07-19

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201045)； 遼寧省教育廳高等學(xué)校科學(xué)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(JDL2016029);遼寧省自然科學(xué)基金指導(dǎo)計(jì)劃資助項(xiàng)目(20170540136)

梁波(1980-),男，副教授，博士，主要從事偏微分方程的研究E- mail:cnliangbo@163.com.

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