某一類三階非線性方程的三點線性邊值問題

王國燦

(大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116028)

某一類三階非線性方程的三點線性邊值問題

王國燦

(大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116028)

利用積分算子與上下解方法，研究了某一類三階非線性方程的三點線性邊值問題，得到了其解的存在性與唯一性.另外，在恰當?shù)臈l件下，通過構造具體的上下解，證明了結論的應用性.

非線性三階方程;線性三點邊值;存在性與唯一性;上下解

0 引言

在工程物理上有重要應用，而且在流體力學中有重要意義的三階非線性常微分方程邊值問題，文獻[1- 8]及其所列參考文獻已經做過不少研究，但以往的工作主要局限于特殊的非線性方程及簡單三點邊界條件，至于解的唯一性問題，只見到幾篇文獻[1，5].本文利用上下解方法，考慮下列一般的三階非線性微分方程的三點線性邊值問題

(1)

其中，ai,bi≥0(i=1,2)，a1+a2>0,b1+b2>0.

我們將討論問題(1)、(2)的解的存在性與唯一性.

1 引理

下面考慮某一類二階積分Volterra型微分方程的線性邊值問題

(3)

(4)

引理1 如果方程(3)與邊界條件(4)滿足

(1)函數(shù)f(t,v,u)∈C([-1,1]×R2)，且在[-1,0]上關于v單調不減，在[0,1]上關于v單調不增;

(2)存在函數(shù)β(t)和α(t)∈C2[-1,1]，使得α(t)≤β(t)，

則邊值問題(3)、(4)有解u(t)∈C2[-1,1]，使得α(t)≤u(t)≤β(t),-1≤t≤1.

(5)

它們滿足以下不等式

(7)

又從條件(1)知，存在非負常數(shù)N1,N2，使得

則邊值問題

(8)

(9)

只有零解.

證明：利用反證法.

2 結論

最后我們將證明邊值問題(1)、(2)解的存在性與唯一性定理.

定理1 如果方程(1)與邊界條件(2)滿足

(1)f(t,x,x′)∈C([-1,1]×R2)，且當-1≤t≤0時，關于x單調不減；當0≤t≤1時，關于x單調不增;

(2)存在函數(shù)α(t),β(t)∈C3[-1,1]，使當-1≤t≤1時α′(t)≤β′(t),α″(t)≤β″(t)，α?(t)≥f(t,α(t),α′(t))，β?(t)≤f(t,β(t),β′(t))，且當-1≤t≤0時，

則邊值問題(1)、(2)有解x(t)∈C3[-1,1]，使得β(t)≤x(t)≤α(t),-1≤t≤0，α(t)≤x(t)≤β(t),0≤t≤1.

(1)′

(2)′

選取α′=α*,β′=β*，顯然有α*≤β*，

此外，由條件(2)及f的單調性易知，當-1≤t≤1時

定理2 如果滿足

(1)定理1中的條件(1)成立;

(2)存在函數(shù)β(t)∈C3[-1,1]，使當-1≤t≤1時0<β′(t),0<β″(t)，β?(t)≤fx′(t,x,x′,x″)β′(t)+fx(t,x,x′,x″)β(t)，且當-1≤t≤0時，β(t)≤0，當0≤t≤1時，0≤β(t)，β(0)=0，0

證明：假設邊值問題(1)、(2)有兩個不同的解x1(t)，x2(t)，令y(t)=x2(t)-x1(t)，于是y(t)滿足下述邊值問題

定理3 如果滿足

(1)函數(shù)f(t,x,x′)及其關于t,x,x′的一階偏微商在閉區(qū)域Ω={(t,x,x′)|-1≤t≤1,-∞

(2)當(t,x,x′)∈Ω時，fx′(t,x,x′)≥m>0，當-1≤t≤0時，fx(t,x,x′)≥0，當0≤t≤1時，fx(t,x,x′)≤0，且|fx(t,x,x′)|≤l.

則邊值問題(1)、(2)有且僅有唯一解.

證明：構造上下解分別為

其中，

M=max(M1,M2)，N=max(N1,N2).

余下的工作只需逐步驗證β(t),α(t)滿足定理1的條件即得存在性.

[1]王國燦.某一類三階非線性兩點邊值問題的解的存在性與唯一性[J].應用數(shù)學學報， 1997，20(4):631- 634.

[2]WANG JINZHI.Existence of solution of nonlinear two point value problem for third order nonlinear differential equation[J].Northeasrn Math， 1991，7(2):181- 189.

[3]葛渭高.三階常微分方程的兩點邊值問題[J].高校應用數(shù)學學報，1997，12(3):265- 271.

[4]沈建和，余贊平，周哲彥.非線性三階常微分方程的非線性三點階的存在性[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學， 2007，23(3):355- 360.

[5]ZHAO WEILI.Singular Perturbations for Third order Nonlinear boundary Value Problems, onlinear Analysis[J].Theory,Methods and Applications，1994，44(10):1225- 1242.

[6]周欽德，苗樹梅.Volterra 型積分微分方程的奇攝動[J].高校應用數(shù)學學報，1998，3(3):392- 400.

[7]王國燦.三階非線性三點邊值問題解的存在性和唯一性[J].大連交通大學學報，2012,33(3):86- 69.

[8]杜媛芳，王國燦.三階微分方程三點邊值問題奇攝動[J].大連交通大學學報，2009，30(4):108-110.

[9]BERNFELD S R,LASHMIKANTHAN V．An introduction to nonlinear boundary value problems[M].New York:Academic press，1974.

Nonlinear Third-Order Equation for Linear Three-Point Boundary Value Problem

WANG Guocan

(School of Mathematics and Physics, Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

In this paper, we study linear three-point boundary value problem for nonliear third order equation, by making use of upper and lower solutions method, existence and uniqueness of solutions are obtained.

nonlinear third order differential equation;linear three-point boundary value problem;existence and uniqueness;upper and lower solution

1673- 9590(2017)04- 0196- 03

2016- 12- 25

王國燦(1963-),男，教授,碩士，主要從事常微分方程的邊值問題研究E-mail:wanggcshuxue@163.com.

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