格蘊(yùn)涵代數(shù)的Ω-模糊子代數(shù)*

傅小波，廖祖華

1.無(wú)錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214121

2.江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122

格蘊(yùn)涵代數(shù)的Ω-模糊子代數(shù)*

傅小波1，廖祖華2+

1.無(wú)錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214121

2.江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122

+Corresponding author:E-mail:liaozuhua57@aliyun.com

FU Xiaobo,LIAO Zuhua.Ω-fuzzy subalgebra in lattice implication algebra.Journal of Frontiers of Computer Scienceand Technology,2017,11(7)：1183-1190.

給定一個(gè)集合Ω，將Ω-模糊集與格蘊(yùn)涵代數(shù)相結(jié)合，引入了格蘊(yùn)涵代數(shù)Ω-模糊子代數(shù)的概念，并研究了其相關(guān)性質(zhì)；給出了格蘊(yùn)涵代數(shù)Ω-模糊子代數(shù)的若干等價(jià)刻畫(huà)，討論了格蘊(yùn)涵代數(shù)Ω-模糊子代數(shù)與格蘊(yùn)涵代數(shù)子代數(shù)之間的相互關(guān)系；研究了格蘊(yùn)涵代數(shù)Ω-模糊子代數(shù)在Ω-模糊集下交、并等運(yùn)算下的基本性質(zhì)；討論了格蘊(yùn)涵代數(shù)Ω-模糊子代數(shù)的同態(tài)像與同態(tài)原像的基本性質(zhì)；最后研究了格蘊(yùn)涵代數(shù)Ω-模糊子代數(shù)的直積與投影。

格蘊(yùn)涵代數(shù)；模糊Ω-子代數(shù)；同態(tài)；直積

1 引言

1965年，美國(guó)著名的控制論專家Zadeh提出了模糊集的概念[1]，目前，模糊集的思想已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。1971年，Rosenfeld將模糊集的思想與群相結(jié)合，在文獻(xiàn)[2]中提出了模糊子群的概念，開(kāi)創(chuàng)了模糊代數(shù)的研究新領(lǐng)域。1975年，Zadeh對(duì)模糊集做了進(jìn)一步的推廣，在文獻(xiàn)[3]中提出了區(qū)間值模糊集。1980年，劉應(yīng)明在文獻(xiàn)[4-5]中提出了模糊點(diǎn)和模糊集間的“∈（屬于）”和“q（重于）”關(guān)系。1992—1996年Bhakat和Das利用模糊點(diǎn)和模糊集間的“∈（屬于）”和“ q（重于）”關(guān)系，給出了(∈,∈∨q)-模糊子群的定義，并研究相關(guān)的性質(zhì)[6-8]。2006年，廖祖華等人把模糊點(diǎn)和模糊集間的“q（重于）”關(guān)系推廣為“q(λ,μ)（廣義重于）”關(guān)系，獲得許多有意義的結(jié)果[9-11]。2001年，Young等人在文獻(xiàn)[12]中提出了Ω-模糊集，并將其與BCK/BCI代數(shù)相結(jié)合，給出BCK/BCI代數(shù)的Ω-模糊理想的概念。2008年，彭家寅對(duì)Ω-模糊集做了進(jìn)一步的研究，先后給出了BCI代數(shù)的Ω-模糊 p-理想和Ω-模糊H-理想的概念，BCH-代數(shù)的Ω-模糊正定關(guān)聯(lián)理想的概念，以及BCH-代數(shù)的Ω-模糊點(diǎn)理想的概念等[13-16]。2013年，廖祖華等人將Ω-模糊集與群和環(huán)相結(jié)合，并對(duì)相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行了研究，獲得了許多有意義的結(jié)果[17-20]。同年，劉衛(wèi)鋒將Ω-模糊集應(yīng)用于布爾代數(shù)，給出了Ω-模糊子代數(shù)的概念[21]。2015年，湯華晶等人將Ω-模糊集與軟集理論相結(jié)合，提出了Ω-模糊軟環(huán)的概念[22]。

1993年，徐揚(yáng)在Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)[23]基礎(chǔ)上引入格蘊(yùn)涵代數(shù)的概念[24]。2003年，徐揚(yáng)等人將格蘊(yùn)涵代數(shù)相關(guān)的研究成果在德國(guó)施普林格出版社出版了專著[25]。隨后，眾多學(xué)者對(duì)格蘊(yùn)涵代數(shù)做了進(jìn)一步的研究，獲得了許多有意義的結(jié)果[26-29]。本文將Ω-模糊集的思想和方法應(yīng)用于格蘊(yùn)涵代數(shù)，提出了格蘊(yùn)涵代數(shù)的Ω-模糊子代數(shù)的概念，得到了一些有意義的結(jié)果。

2 預(yù)備知識(shí)

定義1[25]設(shè) (L,∨,∧,',→,O,I)是有界格，O 是最小元，I是最大元，':L→L是格中偏序≤的逆序?qū)蠈?duì)應(yīng)，→:L×L→L是一個(gè)映射。稱(L,∨,∧,',→,O,I)是一個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù)，如果?x,y,z∈L，滿足下列條件：

（1）x→(y→z)=y→(x→z)

（2）x→x=I

（3）x→y=y'→x'

（4）若 x→y=y→x=I，則 x=y

（5）(x→y)→y=(y→x)→x

（6）(x∨y)→z=(x→z)∧(y→z)

（7）(x∧y)→z=(x→z)∨(y→z)簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)是格蘊(yùn)涵代數(shù)。

引理1[25]設(shè)L是格蘊(yùn)涵代數(shù)，?x,y∈L，則：

（1）O→x=I,x→I=I,I→x=x,x→O=x'

（2）x≤y當(dāng)且僅當(dāng)x→y=I

（3）x∨y=(x→y)→y

定義2[25]設(shè)A?L，稱A是L的一個(gè)格蘊(yùn)涵子代數(shù)，如果滿足下列條件：

（1）(A,∨,∧,')是 (L,∨,∧)的帶有逆序?qū)?'有界子格；

（2）若 x,y∈A，則有 x→y∈A。

引理2[25]L是格蘊(yùn)涵代數(shù)，A是L的一個(gè)非空子集，則A是L的一個(gè)格蘊(yùn)涵子代數(shù)，如果?x,y∈L，滿足下列條件：

（1）O∈A

（2）若 x,y∈A，則x→y∈A

定義3[25]L是格蘊(yùn)涵代數(shù)，稱L非空子集A是L的一個(gè)模糊格蘊(yùn)涵子代數(shù)，如果?x,y∈L，滿足下列條件：

（1）A(I)=A(O)

（2）A(x→y)≥A(x)∧A(y)

引理3[24]設(shè)A是L的一個(gè)模糊格蘊(yùn)涵子代數(shù)，則?x∈L，A(I)=A(O)≥A(x)。

定義4[25]設(shè)L、M是格蘊(yùn)涵代數(shù)，稱蘊(yùn)涵同態(tài)f:L→M為格蘊(yùn)涵同態(tài)，如果?x,y∈L，滿足下列條件：

（1）f(x→y)=f(x)→f(y)

（2）f(x∨y)=f(x)∨f(y)

（3）f(x∧y)=f(x)∧f(y)

（4）f(x')=(f(x))'

設(shè)映射 f:L→M為格蘊(yùn)涵同態(tài)，若 f是單射，則稱 f是單同態(tài)；若 f是滿射，則稱 f是滿同態(tài)；若 f是雙射，則稱 f是同構(gòu)。

引理4[25]設(shè)L、M是格蘊(yùn)涵代數(shù)，映射 f:L→M為滿格蘊(yùn)涵同態(tài)，則 f(O)=O。

定義5[25]設(shè) L1、L2是格蘊(yùn)涵代數(shù)，規(guī)定(L1×L2,∨,∧,',→,O,I)的運(yùn)算如下：?x,y∈L1×L2,x=(x1,x2),y=(y1,y2)，其中 xi,yi∈Li(i=1,2)。

（1）x∧y=(x1∧x2,y1∧y2)

（2）x∨y=(x1∨x2,y1∨y2)

（3）x'=(x1',x2')

（4）x→y=(x1→x2,y1→y2)

（5）O=(O,O),I=(I,I)

引理5[25]L1×L2在定義5運(yùn)算規(guī)定下構(gòu)成一個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù)。稱L1×L2為格蘊(yùn)涵代數(shù)L1、L2的乘積格蘊(yùn)涵代數(shù)，簡(jiǎn)稱為直積。

定義6[29]設(shè) A、B分別是格蘊(yùn)涵代數(shù)L1、L2的模糊子集，?(x,y)∈L1×L2，定義映射

則A×B是L1×L2的模糊子集，并稱A×B為A、B的直積。

定義7[17]設(shè)X為論域，Ω為非空給定集合，映射A:X×Ω→[0,1]稱為X的Ω-模糊集。

3 格蘊(yùn)涵代數(shù)的Ω-模糊子代數(shù)

下面給出格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)的概念，并研究它們的等價(jià)刻畫(huà)及其相關(guān)的性質(zhì)。

定義8設(shè)A:L×Ω→[0,1]是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊集，稱A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)，如果?δ∈Ω ，?x,y∈L，滿足下列條件：

（1）A(O,δ)≥ A(x,δ)

（2）A(x→ y,δ)≥A(x,δ)∧A(y,δ)

定理1設(shè)A:L×Ω→[0,1]是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊集，A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)，則?δ∈Ω ，?x,y∈L，有下列性質(zhì)成立：

（1）A(I,δ)=A(O,δ)≥ A(x,δ)

（2）A(x,δ)=A(x',δ)

（3）A(x∨ y,δ)≥A(x,δ)∧A(y,δ)

（4）A(x∧ y,δ)≥A(x,δ)∧A(y,δ)

證明（1）?δ∈Ω,?x∈L，一方面，因?yàn)?A是格蘊(yùn)涵代數(shù) L 的 Ω-模糊子代數(shù)，故 A(O,δ)≥A(x,δ)，取x=I，則 A(O,δ)≥ A(I,δ)；另一方面，A(I,δ)=A(O → O,δ)≥A(O,δ)∧ A(O,δ)=A(O,δ)，綜上所述，A(I,δ)=A(O,δ)≥A(x,δ)。

（2）?δ∈Ω ，?x∈L，因?yàn)?A是格蘊(yùn)涵代數(shù) L的Ω-模糊子代數(shù)，由引理1可知，一方面，A(x,δ)=A(I→ x,δ)=A(x'→ I',δ)=A(x'→ O,δ)≥ A(x',δ)∧ A(O,δ)=A(x',δ)；另一方面，A(x',δ)=A(x→O,δ)≥A(x,δ)∧A(O,δ)=A(x,δ)，綜上所述，A(x,δ)=A(x',δ)。

（3）?δ∈Ω ，?x,y∈L，因?yàn)?A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)，所以由引理1可知，A(x∨y,δ)=A((x→ y)→y,δ)≥A(x→ y,δ)∧A(y,δ)≥(A(x,δ)∧A(y,δ))∧A(y,δ)=A(x,δ)∧ A(y,δ)。

（4）?δ∈Ω ，?x,y∈L，A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的 Ω-模糊子代數(shù)，因此由引理1及定理1的（2）和（3）可知，A(x∧ y,δ)=A((x∧ y)',δ)=A(x'∨ y',δ)≥ A(x',δ)∧ A(y',δ)=A(x,δ)∧A(y,δ)。 □

例1設(shè)L={O ,a,b,I} ，L上的運(yùn)算 ∨、∧、→ 和′的定義如表1～表4，則L={O ,a,b,I}是一個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù)[25]。

（1）L的模糊集A1:L→[0,1]，若令：

則A1是L的滿足定義2的模糊格蘊(yùn)涵子代數(shù)；給定一個(gè)模糊集 Ω ，?δ∈Ω，?x∈L，A:L×Ω→[0,1]，若令A(yù)(x,δ)=A1(x)，則 A同樣是L的滿足定義8的Ω-模糊子代數(shù)。

（2）L的模糊集A2:L→[0,1]，若令：

Table1 Operator“ ∨ ”表1 運(yùn)算“∨”

Table2 Operator“ ∧ ”表2 運(yùn)算“∧”

Table 3 Operator“ → ”表3 運(yùn)算“→”

Table 4 Operator“ '”表4 運(yùn)算“'”

則A2不是L的滿足定義3的模糊格蘊(yùn)涵子代數(shù)；給定一個(gè)模糊集 Ω={0.6,0.4}，?δ∈Ω，?x∈L,A:L×Ω→[0,1]，若令：

則A是L的滿足定義8的Ω-模糊子代數(shù)。

由例1可知，Ω-模糊子代數(shù)是一種全新的代數(shù)結(jié)構(gòu)，不同于現(xiàn)有的模糊子代數(shù)。模糊子代數(shù)是Ω-模糊子代數(shù)的一種特殊形式(A(x,δ)=A(x))。下面來(lái)研究Ω-模糊子代數(shù)相關(guān)的性質(zhì)。

定理2設(shè)A:L×Ω→[0,1]是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊集，A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)??λ∈是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的子代數(shù)，其中

證明“ ? ”?δ∈Ω ，因?yàn)?，所以存在，?A(x0,δ)≥λ。因?yàn)?A是格蘊(yùn)涵代數(shù) L的Ω-模糊子代數(shù)，所以 A(O,δ)≥A(x,δ)≥λ，即；若且，則 A(x,δ)≥λ 且 A(y,δ)≥λ ，從而A(x→y,δ)≥A(x,δ)∧A(y,δ)≥λ，A(x→y,δ)＞λ，即 x→。因此，是L的子代數(shù)。

“ ? ”?δ∈Ω ，假設(shè)存在 x0∈L ，使得 A(O,δ)＜A(x0,δ)，取 λ 滿足 A(O,δ)＜ λ≤A(x0,δ)，則 A(x0,δ)≥ λ,A(O,δ)＜ λ ，所以。因?yàn)槭荓的子代數(shù)，所以，即 A(O,δ)≥λ，與 A(O,δ)＜λ矛盾。因此?δ∈Ω ，?x∈L ，A(O,δ)≥ A(x,δ)。

?δ∈Ω，假設(shè)存在 x0,y0∈L ，使得 A(x0→y0,δ)＜A(x0,δ)∧A(y0,δ)，取 λ 滿足 A(x0→y0,δ)＜ λ ≤A(x0,δ)∧A(y0,δ)，則 A(x0,δ)≥ λ,A(y0,δ)≥ λ ，A(x0→y0,δ)＜ λ ，從而。因?yàn)槭?L 的子代數(shù),，所以，與 x0→矛盾。因此 ?δ∈Ω 及 ?x,y∈L,A(x→y,δ)≥A(x,δ)∧ A(y,δ)。

綜上所述,A是格蘊(yùn)涵代數(shù) L的Ω-模糊子代數(shù)。 □

類(lèi)似于定理2的證明，可得定理3。

定理3設(shè)A:L×Ω→[0,1]是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊集，A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)?是 L的子代數(shù)，其中A(x,δ)＞ }λ,?δ∈Ω 。

定理4是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)?是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的子代數(shù)。

證明“ ? ”由于，故存在 x0∈S，即，由于是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)，故 ?x∈L,?δ∈Ω ，，取 x=x0，則

綜上所述，S≠?是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的子代數(shù)。

“ ? ”?δ∈Ω ，由于 S≠? 是 L的子代數(shù)，故0∈P，從 而，因 此 ?x∈L,。假設(shè)存在 x0,y0∈S ，使得取因?yàn)槭?S的 Ω-模糊特征函數(shù)，所以

推論1是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的子代數(shù)。

定理5設(shè) A:L×Ω→[0,1]是L的Ω-模糊集，A是L的Ω-模糊子代數(shù)?Aδ是L的模糊子代數(shù)，其中 Aδ:L→[0,1]:Aδ(x)=A(x,δ)，?x∈L ，?δ∈Ω 。

證明“?”若A是L的Ω-模糊子代數(shù)，則?δ∈Ω，?x,y∈L，一方面，Aδ(0)=A(0,δ)≥A(x,δ)=Aδ(x)；另一方面，Aδ(x→ y)=A(x→ y,δ)≥ A(x,δ)∧ A(y,δ)=Aδ(x)∧ Aδ(y)。

綜上所述，Aδ是L的模糊子代數(shù)。

“ ? ”若 Aδ是 L 的模糊子代數(shù)，則 ?δ∈Ω,?x,y∈L，由定義 8 可知，一方面，A(0,δ)=Aδ(0)≥ Aδ(x)=A(x,δ)；另一方面，A(x→y,δ)=Aδ(x→ y)≥Aδ(x)∧ Aδ(y)=A(x,δ)∧A(y,δ)。

綜上所述，A是L的Ω-模糊子代數(shù)。 □

定理6設(shè) A:L×Ω→[0,1]是L的Ω-模糊集，A是L的Ω-模糊子代數(shù)，則 Aσ是L的Ω-模糊子代數(shù)，其中

證明?δ∈Ω ，?x,y∈L ，一方面，由 Aσ(x,δ)的定義可知，另一方面，因?yàn)锳是L的Ω-模糊子代數(shù)，所以

綜上所述，Aσ是L的Ω-模糊子代數(shù)。 □

定理7若A、B是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)，則A?B是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)。

證明若A、B是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)，則?δ∈Ω ，?x,y∈L，一方面，

另一方面，

綜上所述,A?B是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)。 □

推論2若Ai(i∈I)是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)，則?i∈IAi是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)。

引理6若Ai(i∈I)是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊集，當(dāng) i≤j時(shí),Ai?Aj,則 ?x,y∈L,?δ∈Ω,∨i∈I(Ai(x,δ)∧Ai(y,δ))=(∨i∈IAi(x,δ))∧(∨i∈IAi(y,δ))。

證明?x,y∈L ，?δ∈Ω ，顯然 ∨i∈I(Ai(x,δ)∧Ai(y,δ))≤(∨i∈IAi(x,δ))∧(∨i∈IAi(y,δ))成立。若 ∨i∈I(Ai(x,δ)∧Ai(y,δ))≠(∨i∈IAi(x,δ))∧(∨i∈IAi(y,δ))，從而有 ∨i∈I(Ai(x,δ)∧ Ai(y,δ))＜(∨i∈IAi(x,δ))∧(∨i∈IAi(y,δ))，選 取 r 滿 足∨i∈I(Ai(x,δ)∧ Ai(y,δ))＜ r＜(∨i∈IAi(x,δ))∧(∨i∈IAi(y,δ))。因?yàn)閷?duì)于所有的 i,j∈I,Ai?Aj，或者 Ai?Aj，所以存在k∈I，使得 Ak(x,δ)∧Ak(y,δ)＞r；另一方面，對(duì)于所有的i∈I,Ai(x,δ)∧Ai(y,δ)＜r，矛盾。因此，?x,y∈L，?δ∈Ω，∨i∈I(Ai(x,δ)∧ Ai(y,δ))=(∨i∈IAi(x,δ))∧ (∨i∈IAi(y,δ))。 □

定理8設(shè) Ai:L×Ω→[0,1](i∈I)是 L的 Ω-模糊集，若 Ai(i∈I)是L的Ω-模糊子代數(shù)，且當(dāng)i≤j時(shí)，Ai?Aj，則 ?i∈IAi是 L 的 Ω-模糊子代數(shù)。

證明若 Ai(i∈I)是L的Ω-模糊子代數(shù)，則?x,y,z∈L，?δ∈Ω ，由定義8可知，一方面，

(?i∈IAi)(0,δ)= ∨i∈IAi(0,δ)≥ ∨i∈IAi(x,δ)=(?i∈IAi)(x,δ)另一方面，

綜上所述，?i∈IAi是L的Ω-模糊子代數(shù)。 □

設(shè)A是X的一個(gè)Ω-模糊子集，0≤k≤1,?x∈X,?δ∈Ω ，定義 A∨k，A∧k如下：

定理9若A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)，則A∧k是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)。

證明若A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)，則?δ∈Ω ，?x,y∈L，一方面，

(A∧k)(O,δ)=A(O,δ)∧k≥A(x,δ)∧k=(A ∧ k)(x,δ)另一方面，

綜上所述,A∧k是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)。 □

定理10若A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)，則A∨k是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)。

證明若A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)，則?δ∈Ω ，?x,y∈L，一方面，

另一方面，

綜上所述,A∨k是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)。 □

定理11設(shè)L1、L2是格蘊(yùn)涵代數(shù)，映射 f:L1→L2為格蘊(yùn)涵滿同態(tài)映射，若A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L1的Ω-模糊子代數(shù)，則 f(A)是格蘊(yùn)涵代數(shù)L2的Ω-模糊子代數(shù)，其中 f(A)(y,δ)=sup{ |A(x,δ)f(x)=y,δ∈ Ω}。

證明?y1,y2∈L2，因?yàn)橛成?f:L1→L2為格蘊(yùn)涵滿同態(tài)映射，所以 ?x1,x2∈L1，使得 f(x1)=y1，f(x2)=y2，且 f(O)=O，從而?δ∈Ω，一方面，

綜上所述,f(A)是格蘊(yùn)涵代數(shù)L2的Ω-模糊子代數(shù)。 □

定理12設(shè)L1、L2是格蘊(yùn)涵代數(shù)，映射 f:L1→L2為格蘊(yùn)涵滿同態(tài)映射，若B是格蘊(yùn)涵代數(shù)L2的Ω-模糊子代數(shù)? f-1(B)是格蘊(yùn)涵代數(shù)L1的Ω-模糊子代數(shù)，其中 f-1(B)(y,δ)=B(f(y),δ),δ∈Ω 。

證明“?”若B是格蘊(yùn)涵代數(shù)L2的Ω-模糊子代數(shù)，則 ?y1,y2∈L1，?δ∈Ω，一方面，f-1(B)(O,δ)=B(f(O),δ)≥ B(f(y1),δ)=f-1(B)(y1,δ)；另 一 方 面 ， f-1(B)(y1→ y2,δ)=B(f(y1→ y2),δ)=B(f(y1)→ f(y2),δ)≥ B(f(y1),δ)∧B(f(y2),δ)=f-1(B)(y1,δ)∧ f-1(B)(y2,δ)。

綜上所述，f-1(B)是格蘊(yùn)涵代數(shù)L1的Ω-模糊子代數(shù)。

“?”若 f-1(B)是格蘊(yùn)涵代數(shù)L1的Ω-模糊子代數(shù)，?y1,y2∈L2，因?yàn)?f:L1→L2為格蘊(yùn)涵滿同態(tài)映射，所以 ?x1,x2∈L1，使得 f(x1)=y1，f(x2)=y2，且 f(O)=O，從而 ?δ∈Ω，一方面，B(O,δ)=B(f(O),δ)=f-1(B)(O,δ)≥f-1(B)(x1,δ)=B(f(x1),δ)=B(y1,δ)；另一方面，B(y1→ y2,δ)=B(f(x1)→f(x2),δ)=B(f(x1→ x2),δ)=f-1(B)(x1→ x2,δ)≥f-1(B)(x1,δ)∧f-1(B)(x2,δ)。

綜上所述,B是格蘊(yùn)涵代數(shù)L2的Ω-模糊子代數(shù)。 □

設(shè)A、B分別是非空集合L1、L2的Ω-模糊子集，定義映射?(x,y)∈L1×L2，?δ∈Ω ，

則稱 A×B為L(zhǎng)1×L2的Ω-模糊子集，并稱A×B為A、B關(guān)于Ω的直積。

定理13若 A、B分別是格蘊(yùn)涵代數(shù)L1、L2的Ω-模糊子代數(shù)，則A×B是L1×L2的Ω-模糊子代數(shù)。

證明若A、B分別是格蘊(yùn)涵代數(shù)L1、L2的Ω-模糊子代數(shù)，則一方面，?(x,y)∈L1×L2，?δ∈Ω ，

另一方面，?(x1,y1),(x2,y2)∈L1×L2，?δ∈Ω ，

綜上所述，A×B是L1×L2的Ω-模糊子代數(shù)?！?/p>

定義9設(shè)A×B是非空集合L1×L2的Ω-模糊子集，則定義L1的Ω-模糊子集：

A1(x,δ)= ∨z∈L2(A × B)((x,z),δ)

定義L2的Ω-模糊子集：

定理14若A×B是L1×L2的Ω-模糊子代數(shù)，則A1(x,δ)是 L1的 Ω-模糊子代數(shù)，B1(y,δ)是 L2的 Ω-模糊子代數(shù)。

證明若A×B是L1×L2的Ω-模糊子代數(shù)，則一方面，?(x,y)∈L1×L2，?δ∈Ω ，

由z的任意性可知：

另一方面，

由z1的任意性知：

再由z2的任意性知：

綜上所述，A1(x,δ)是L1的Ω-模糊子代數(shù)。

同理可證B1(y,δ)是L2的Ω-模糊子代數(shù)。 □

4 結(jié)束語(yǔ)

本文將Ω-模糊集的思想與方法應(yīng)用于格蘊(yùn)涵代數(shù)，引入了Ω-模糊子代數(shù)的概念，并討論了它的性質(zhì)及其與格蘊(yùn)涵代數(shù)子代數(shù)間的相互關(guān)系，獲得了若干有意義的結(jié)果。這些結(jié)論有助于進(jìn)一步認(rèn)識(shí)格蘊(yùn)涵代數(shù)，促進(jìn)了格蘊(yùn)涵代數(shù)的發(fā)展；此外，還可以用類(lèi)似的方法研究格蘊(yùn)涵代數(shù)的其他子結(jié)構(gòu)，將在后續(xù)工作中進(jìn)行討論。

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FU Xiaobo was born in 1980.He is a lecturer atWuxi Institute of Technology,and themember of CCF.His research interests include artificial intelligence and granular computing,etc.

傅小波（1980—），男，江蘇灌云人，無(wú)錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，CCF會(huì)員，主要研究領(lǐng)域?yàn)槿斯ぶ悄?，粒?jì)算等。

LIAO Zuhuawasborn in 1957.He isa professor and M.S.supervisor at Jiangnan University.His research interests include artificial intelligence and granular computing,etc.

廖祖華（1957—），男，江西奉新人，江南大學(xué)教授、碩士生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域?yàn)槿斯ぶ悄?，粒?jì)算等。發(fā)表學(xué)術(shù)論文100多篇。

Ω-Fuzzy Subalgebra in Lattice Im plication Algebra*

FU Xiaobo1,LIAO Zuhua2+
1.Wuxi Instituteof Technology,Wuxi,Jiangsu 214121,China
2.Schoolof Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China

LetΩbe a set.By combining theΩ-fuzzy setsand the lattice implication algebras,this paper introduces the concepts ofΩ-fuzzy subalgebra in the lattice implication algebra,and investigates some related properties.Beside,this paper obtains some equivalent descriptions of theΩ-fuzzy subalgebra in the lattice implication algebra,and gives the relationsbetweenΩ-fuzzy subalgebra and the subalgebra in the lattice implication algebra.Then this paper studies some basic properties of theΩ-fuzzy subalgebra under the intersection,union and other operationsof Ω-fuzzy sets,and discusses some basic propertiesof homomorphic image and homomorphic preimage ofΩ-fuzzy subalgebra.Finally,thispaperstudies theΩ-fuzzy subalgebra directproduct in the lattice implication algebra.

lattice implication algebra;Ω-fuzzy subalgebra;homomorphic;directproduct

2016-04,Accepted 2016-06.

A

：TP18

*The National Natural Science Foundation of China under Grant Nos.611702121,11401259(國(guó)家自然科學(xué)基金);the Natural Science Foundation of Jiangsu ProvinceunderGrantNo.BK2015117(江蘇省自然科學(xué)基金).

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版:2016-06-27,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20160627.0929.004.htm l