借助二次函數(shù)銜接初高中數(shù)學(xué)

王克勤++梅紹蘭

【摘 要】初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接不順暢是新課標(biāo)下普遍存在的問題。二次函數(shù)是貫穿初高中數(shù)學(xué)教材的重要函數(shù)之一，是初高中數(shù)學(xué)典型的銜接知識(shí)。二次函數(shù)是初高中函數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是解決函數(shù)概念銜接的入口和突破口。教師，必要對(duì)初高中數(shù)學(xué)銜接教學(xué)進(jìn)行研究。

【關(guān)鍵詞】初高中；二次函數(shù)；教學(xué)銜接

二次函數(shù)本是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，但由于初中教學(xué)要求僅限于根據(jù)具體的表達(dá)式作圖、確定函數(shù)解析式和理解函數(shù)的基本性質(zhì)等，且受初中學(xué)生認(rèn)知水平的限制，很難從本質(zhì)上深入理解。而高中教材又沒有設(shè)計(jì)獨(dú)立的章節(jié)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的升級(jí)學(xué)習(xí)，教學(xué)預(yù)期中都認(rèn)定學(xué)生已經(jīng)對(duì)此熟練了。于是，隨著函數(shù)概念、性質(zhì)的深入學(xué)習(xí)，看似熟悉的二次函數(shù)，學(xué)生卻不能很好的借此內(nèi)化新知識(shí)，反而成為高一新生的第一個(gè)難路虎。能否順利消滅這第一個(gè)難路虎，決定著高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成敗和信心。

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中起著主導(dǎo)作用，從函數(shù)的核心概念及呈現(xiàn)方式可以發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)在其中扮演著非常重要的角色，很多數(shù)學(xué)問題因二次函數(shù)的介入和轉(zhuǎn)化變得樸實(shí)而簡(jiǎn)單。因此，以二次函數(shù)的升級(jí)教學(xué)為重要切入口，從函數(shù)與方程、不等式、數(shù)形結(jié)合、分類討論等幾個(gè)方面做好初高中數(shù)學(xué)的銜接教學(xué)，尤為有效。

一、借助二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系銜接函數(shù)與方程的思想

二次函數(shù)是初中階段最后一次研究函數(shù)的內(nèi)容，對(duì)二次函數(shù)與一元二次方程的教學(xué)，許多教師感到難以把握，主要原因之一是本節(jié)教學(xué)內(nèi)容牽扯到的知識(shí)點(diǎn)較多，有大部分學(xué)生對(duì)舊知識(shí)點(diǎn)的掌握本身就不是特別牢固，教師對(duì)教學(xué)的深淺度不太容易把握；原因之二是本節(jié)中運(yùn)用了各種數(shù)學(xué)思想方法，都是初中數(shù)學(xué)中對(duì)學(xué)生所要培養(yǎng)的重要思想?？梢哉f本節(jié)內(nèi)容是初中代數(shù)各種知識(shí)與思想的集體展現(xiàn)，是初中代數(shù)的一個(gè)總結(jié)。

本節(jié)教學(xué)可采取先通過對(duì)一次函數(shù)與一元一次方程關(guān)系的簡(jiǎn)單回顧，再通過觀察二次函數(shù)y=x+3x+2的圖象與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與一元二次方程x+3x+2=0的根有何關(guān)系，進(jìn)而總結(jié)得出一元二次方程ax+bx+c=0，當(dāng)△=b-4ac時(shí)該方程的實(shí)數(shù)根與對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=ax+bx+c的關(guān)系。內(nèi)容安排看似簡(jiǎn)單，實(shí)際卻內(nèi)涵豐富，需要教師大力挖掘，方能使學(xué)生充分掌握，并從中深切體會(huì)到其中數(shù)學(xué)思想與方法運(yùn)用。怎樣才能使學(xué)生更好的學(xué)好知識(shí)領(lǐng)會(huì)思想呢？我將從以下幾個(gè)方面對(duì)本節(jié)教學(xué)進(jìn)行探討。

（1）理解概念，抓住實(shí)質(zhì)

使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程根，使一元二次不等式成立的未知數(shù)的所有的值是一元二次不等式的解集；利用根的判別式可判斷出一元二次方程根的情況，當(dāng)△=b-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)△=b-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)△=b-4ac<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；拋物線與x軸有三種位置關(guān)系，即整個(gè)拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；拋物線位于x軸上方對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于0，拋物線位于x軸下方對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于0，拋物線與x軸相交意味著函數(shù)值等于0。教學(xué)中對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)需要做適當(dāng)?shù)膹?fù)習(xí)，只有這些基本知識(shí)學(xué)生理解透了，才容易把握二者的關(guān)系。

（2）類比一次函數(shù)與一元一次方程關(guān)系攻破難點(diǎn)

類比一次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)一元一次方程的解，那么拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)一元二次方程的解，由于拋物線與x軸可能會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)、一個(gè)交點(diǎn)或沒有交點(diǎn)，那么對(duì)應(yīng)一元二次方程相應(yīng)的就有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或者沒有解；類比一次函數(shù)位于x軸上方則對(duì)應(yīng)的一元一次不等式大于0，自變量的取值范圍就是對(duì)應(yīng)的一元一次不等式的解集，那么拋物線位于x軸上方對(duì)應(yīng)的一元二次不等式大于0，自變量的取值范圍就是對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集，其余類推。類比用一次函數(shù)的圖象求解一元一次方程的近似解理解用二次函數(shù)圖象求解一元二次方程的近似解，等等。

二、借助二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)銜接數(shù)形結(jié)合思想

對(duì)二次函數(shù)圖象，在初中主要以描點(diǎn)法畫出其“精確”圖象，但是這種做法缺乏“參數(shù)意識(shí)”，即系數(shù)與圖象特征的聯(lián)系，就是要明確二次函數(shù)y=ax+bx+c中確定圖象開口大小及方向的參數(shù)是什么？以及確定圖象位置的參數(shù)是什么？學(xué)生還要清楚的知道二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象可以怎樣快速的畫出，并要理解完成這種過程的依據(jù)。對(duì)于此過程教師可以用幾何畫板向?qū)W生展示，使學(xué)生可以從直觀感受上升到理論認(rèn)知。比如，圖象與x軸的交點(diǎn)情況，定義域有限制的圖象畫法與應(yīng)用，圖象隨著參數(shù)怎么改變等，這些都是如何將初中二次函數(shù)過渡到高中的根本。

例1.若函數(shù) 的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

對(duì)于該題， 鑒于學(xué)生對(duì)圖象畫法的熟悉即可輕而易舉解決，如果沒有對(duì)二次函數(shù)圖象的“升級(jí)”認(rèn)知過程，自然解題方法就難以確定了。

三、借助二次函數(shù)的單調(diào)性與最值銜接分類討論思想

教材是以y=x為對(duì)象來學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性的。學(xué)生從其圖象的直觀判斷就很容易求出某一函數(shù)的最值，但教學(xué)中往往忽略了讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax+bx+c在區(qū)間（-∞，-]及[-，+∞）上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，特別是結(jié)合函數(shù)圖象的直觀性，利用單調(diào)性解釋函數(shù)的最值的意義。

例2.已知函數(shù) ，求f（x）在[0，m]上的最小值。

分析：向這種含有參數(shù)又與二次函數(shù)的圖象和單調(diào)性有關(guān)的問題就要考察學(xué)生有沒有深入地了解二次函數(shù)的單調(diào)性了。讓學(xué)生獨(dú)立完成后，并說說理由，今后才可能靈活地運(yùn)用圖象與二次函數(shù)有關(guān)的一些數(shù)學(xué)問題。

四、借助判別式和根與系數(shù)關(guān)系銜接函數(shù)與不等式思想

因一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系在初中新課標(biāo)中要求不高，常被淡化，但高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中卻經(jīng)常用到。若不熟練一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，這對(duì)學(xué)生來說學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)就是難上加難了。所以有必要對(duì)此作進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)，同時(shí)利用二次函數(shù)根的個(gè)數(shù)以及根與系數(shù)關(guān)系來解決一類幾何問題就輕而易舉了。這樣一來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解用代數(shù)方法解決幾何問題的思想，從而使學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的認(rèn)識(shí)有一個(gè)升華。

縱觀整個(gè)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，二次函數(shù)問題的綜合性強(qiáng)，因?yàn)樗c實(shí)踐階段的很多知識(shí)都可以有機(jī)地結(jié)合起來。根據(jù)我的實(shí)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和對(duì)教材的研讀發(fā)現(xiàn)它可以與一次函數(shù)、反比例函數(shù)整合出新的問題，也可以與幾何中的圓、三角形、四邊形等加以整合，還可以與一元二次方程等知識(shí)聯(lián)系起來，一道題也可能包含以上所有知識(shí)。所以，在教學(xué)過程中就要求教師有意識(shí)地參透這方面的思想。提高二次函數(shù)綜合問題的解題能力、解題技巧是一個(gè)真正的教學(xué)難點(diǎn)，只要學(xué)生能夠把這方面的知識(shí)真正掌握了，并且能夠做到靈活熟練地運(yùn)用起來，這將對(duì)整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供強(qiáng)有力的武器。

總之，從思維發(fā)展特征看，初中學(xué)生正處在以形象思維為主，逐步向經(jīng)驗(yàn)型的抽象思維過度階段，而高中學(xué)生處于以經(jīng)驗(yàn)型為主的抽象思維想理論抽象思維過渡階段。通過對(duì)二次函數(shù)的深入學(xué)習(xí)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到同樣的二次函數(shù)問題，到了高中就必須從更深層次、更廣角度，以更嚴(yán)密的推理、更靈活的方法去分析、解決。

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