高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)知識(shí)的有效表征

唐亞平

[摘 要] 無論是課程改革，還是有效教學(xué)，抑或核心素養(yǎng)，都離不開一個(gè)最根本的基礎(chǔ)，那就是學(xué)科知識(shí)在學(xué)生大腦中的有效記憶. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中需要研究數(shù)學(xué)知識(shí)在學(xué)生的記憶中是如何表征的. 研究表明，不同類型的數(shù)學(xué)知識(shí)在學(xué)生的記憶中存在著網(wǎng)絡(luò)模型、比較模型、命題模型等方式，研究這些方式，對(duì)實(shí)際教學(xué)有顯著的意義.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)知識(shí)；有效表征

從學(xué)生學(xué)習(xí)機(jī)制的角度來研究學(xué)習(xí)，無法回避的一個(gè)重點(diǎn)就是學(xué)生所習(xí)得的知識(shí)在記憶中是如何表征的. 這是學(xué)習(xí)心理研究的一個(gè)重點(diǎn)問題，據(jù)說研究歷史已經(jīng)超過百年. 在有效教學(xué)的背景下，有效的一個(gè)重要含義就是學(xué)生在記憶學(xué)習(xí)內(nèi)容時(shí)，能夠有效地將這些知識(shí)表征出來. 在課程改革的背景下，教師追求自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式，其實(shí)是為了讓知識(shí)在學(xué)生的記憶中能夠更好地、更清晰地被表征. 而在學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)理念指引下，我們說為了讓學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)獲得一些“關(guān)鍵品格”與“必備能力”，表面上看是為了讓學(xué)生在新的問題情境中能夠更好地表現(xiàn)出某種素質(zhì)與能力，而實(shí)際上需要看到的是這些能力的支撐，離不開知識(shí)在記憶中的良好的表征.

這個(gè)時(shí)候再回過頭來看知識(shí)的表征，其實(shí)也就明白了其就是指學(xué)生在學(xué)科學(xué)習(xí)中所獲得的知識(shí)在大腦中是以什么形式、什么樣的方式存在的. 高中數(shù)學(xué)一直以所謂的“難”著稱. 何為難？通俗點(diǎn)說就是理解難、運(yùn)用難，而從學(xué)習(xí)機(jī)制的角度來看，其實(shí)也就是表征難. 因?yàn)閷W(xué)生對(duì)于所學(xué)習(xí)的知識(shí)難以在記憶中進(jìn)行有效的表示，自然就很難進(jìn)行有效的理解與運(yùn)用. 也因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)，其實(shí)就是要讓知識(shí)可以在記憶中進(jìn)行良好的表征. 根據(jù)教育心理學(xué)家研究的成果，不同類型的知識(shí)在記憶中的表征方式是有所不同的. 本文筆者嘗試對(duì)高中數(shù)學(xué)中不同類型的知識(shí)如何進(jìn)行有效表征作一個(gè)探究.

[?] 數(shù)學(xué)概念的網(wǎng)絡(luò)模型表征

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，到了高中階段，學(xué)生所需要學(xué)的數(shù)學(xué)概念非常多，數(shù)學(xué)概念之間的邏輯性也非常強(qiáng)，很多時(shí)候數(shù)學(xué)概念的形成都是依據(jù)其他概念根據(jù)一定的邏輯關(guān)系推理得出的，因此數(shù)學(xué)概念在學(xué)生的記憶中，更多呈現(xiàn)出的是一種網(wǎng)絡(luò)特征. 而實(shí)際教學(xué)中，很多學(xué)生就是因?yàn)檫@種網(wǎng)絡(luò)特征不夠明顯，使得他們對(duì)數(shù)學(xué)概念及其關(guān)系的理解顯得比較凌亂，從而影響了對(duì)這些概念的記憶與運(yùn)用.

舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子. 學(xué)生進(jìn)入高中之后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一個(gè)概念就是“集合”，集合在高中數(shù)學(xué)的概念體系中呈現(xiàn)出了比較復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)特征（篇幅限制，這里不以網(wǎng)絡(luò)圖的形式呈現(xiàn)，日常教學(xué)中用大括號(hào)等方式表現(xiàn)出來的集合與其他概念的關(guān)系，也可以是網(wǎng)絡(luò)模型表征的一種方式）：集合作為一個(gè)大的概念，其包括“集合與元素”“集合與集合”兩層關(guān)系，而“集合與元素”中學(xué)生需要理解集合與元素的屬于或不屬于關(guān)系，元素的確定性、無序性與互異性，有限集、無限集與空集，集合的列舉表示法、描述法、圖示法、區(qū)間法等；“集合與集合”中則需要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“關(guān)系”與“運(yùn)算”兩大點(diǎn)，其中“關(guān)系”涉及子集、真子集、相等的集合等，運(yùn)算則涉及交集、補(bǔ)集、并集等. 這個(gè)網(wǎng)絡(luò)模型中，每一個(gè)最小的組成單位還需要有實(shí)例的支撐，這樣建立起的網(wǎng)絡(luò)認(rèn)識(shí)，那學(xué)生對(duì)集合的概念的建構(gòu)就一定會(huì)是成功的.

但這里很顯然有一點(diǎn)要注意，那就是用文字或圖表或框架圖表示出來的只能說是知識(shí)結(jié)構(gòu)，是集合及其相關(guān)概念（當(dāng)然上面的網(wǎng)絡(luò)圖還可以向函數(shù)概念延伸）的一種有形的表示，而這種有形表示并不能代表學(xué)生大腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也就是說學(xué)生記憶中對(duì)集合及相關(guān)概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型是什么樣子，這才是教學(xué)中的關(guān)鍵. 研究表明，學(xué)生記憶中的結(jié)構(gòu)是依賴于上述知識(shí)網(wǎng)絡(luò)而存在的，這就提醒數(shù)學(xué)教師，在教學(xué)中要通過引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念網(wǎng)絡(luò)模型的方式，讓學(xué)生對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)概念及其聯(lián)系變得更為清晰化. 在這里，有一個(gè)很好的方法值得運(yùn)用，那就是“思維導(dǎo)圖”. 思維導(dǎo)圖最大的價(jià)值在于其能夠根據(jù)學(xué)生的思維發(fā)展，用簡(jiǎn)單的圖形網(wǎng)絡(luò)將思維的結(jié)果呈現(xiàn)出來，在思維導(dǎo)圖形成的過程中，學(xué)生的思維占據(jù)著重要的方式，而當(dāng)學(xué)生所構(gòu)建出來的思維導(dǎo)圖越來越清晰、越來越簡(jiǎn)潔時(shí)，就意味著學(xué)生記憶中的網(wǎng)絡(luò)模型很清晰了. 在這種情況下，無論是新概念的學(xué)習(xí)還是數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用，學(xué)生在從記憶中提取的時(shí)候，都將更為方便、快捷.

[?] 數(shù)學(xué)實(shí)例的特征比較表征

高中數(shù)學(xué)要想學(xué)好，一個(gè)重要的原則就是無論是數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建，還是數(shù)學(xué)規(guī)律的理解，都需要一個(gè)實(shí)例支撐. 比如說上面提及的集合概念，那學(xué)生在理解集合概念的時(shí)候要能夠自然想到一些基本的集合（可以是生活事例，也可以是數(shù)學(xué)事例）；又如在學(xué)習(xí)圓錐曲線的時(shí)候，提到圓錐曲線，學(xué)生就要能夠想到具體的雙曲線、拋物線、圓等例子，大腦里要能夠迅速地浮現(xiàn)用一個(gè)平面截圓錐面的表象. 正是這個(gè)表象事例，支撐了學(xué)生對(duì)圓錐曲線這個(gè)復(fù)雜概念的理解，當(dāng)然也可以說如果沒有這些實(shí)例的支撐，那么學(xué)生對(duì)圓錐曲線的理解只能是機(jī)械記憶性質(zhì)的，這個(gè)時(shí)候網(wǎng)絡(luò)模型圖記得再清晰，作用都不大.

研究者在對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)例對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起促進(jìn)作用的研究中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)實(shí)例在記憶中的表征更多的是以一種比較模型出現(xiàn)的. 比較原本是一種基本方法，人們說“不怕不識(shí)貨，就怕貨比貨”就是生活中最常見的一種比較. 到了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，比較也是常用的方法之一. 而當(dāng)將比較這一方法轉(zhuǎn)換成比較模型之后，人們才發(fā)現(xiàn)其原來能夠發(fā)揮更大的作用——讓數(shù)學(xué)事例在學(xué)生的記憶中進(jìn)行更好的表征. 研究者指出，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生對(duì)很多數(shù)學(xué)概念的理解與記憶是需要實(shí)例支撐的，而這個(gè)實(shí)例要想真正進(jìn)入學(xué)生的長(zhǎng)時(shí)記憶，那是需要對(duì)這些實(shí)例進(jìn)行加工的，加工的方式就是比較. 通過比較形成的模型可以被稱為比較模型. 筆者以為，盡管比較模型這個(gè)概念看起來比較新穎，但在實(shí)際教學(xué)中其實(shí)運(yùn)用得是比較多的，只是那個(gè)時(shí)候不知道自己在用比較的方法建立比較模型以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行更好的表征而已. 比如說在學(xué)習(xí)集合概念的時(shí)候，教師通常都要提供三個(gè)以上的集合事例，讓學(xué)生去分析這些事例的共同特征，從而得出集合的定義. 在這里，學(xué)生不僅要對(duì)這些事例進(jìn)行比較，其實(shí)還需要對(duì)生活或數(shù)學(xué)中的一些非集合的事例進(jìn)行分析與比較，只有經(jīng)過這種比較之后，學(xué)生才會(huì)清晰地發(fā)現(xiàn)集合所具有的特征. 于是，這些經(jīng)過比較后的事例就可以成為支撐學(xué)生對(duì)集合概念理解的重要處，比較模型也就出現(xiàn)了.

進(jìn)一步的研究表明，在高中數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建中，很多時(shí)候比較模型要比冰冷的數(shù)學(xué)語言描述更有用，尤其是在新知識(shí)的初學(xué)階段，用比較的方法對(duì)具體的事例進(jìn)行思維加工，使之發(fā)揮比較模型的作用，能夠更好地讓學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)在記憶中獲得表征.

[?] 數(shù)學(xué)判斷的命題模型表征

這里的數(shù)學(xué)判斷是一個(gè)寬泛的概念，主要是數(shù)學(xué)中的一些定理、規(guī)律、定律等的綜合性描述. 作為一個(gè)判斷，其往往是通過嚴(yán)格的語言格式呈現(xiàn)的. 實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生對(duì)這些語言往往表現(xiàn)出一種自然而然的拒絕，原因就在于數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)與學(xué)生的生活語言系統(tǒng)之間存在難以銜接的地方，有的時(shí)候甚至有一些沖突. 反之，如果教師在這一塊下足功夫，讓學(xué)生的生活語言能夠很好地容納數(shù)學(xué)語言，那數(shù)學(xué)知識(shí)就可以得到更好的表征，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自然也就會(huì)輕松一些.

那么，好的方法是什么呢？根據(jù)教育心理學(xué)家的研究成果，這就需要通過命題模型的方式，來促進(jìn)判斷類的數(shù)學(xué)知識(shí)在學(xué)生的記憶中進(jìn)行表征. 所謂命題模型，需要建立的最重要的理解就是：要想方設(shè)法讓學(xué)生在回憶起某個(gè)重要的數(shù)學(xué)判斷的時(shí)候，不是機(jī)械地背誦出原句，而是對(duì)其中的一些關(guān)鍵做出清晰的理解. 從教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的角度來看，這是強(qiáng)調(diào)對(duì)關(guān)鍵詞的記憶；從學(xué)習(xí)心理的角度來看，這是提醒學(xué)生要抓住數(shù)學(xué)判斷中的“思想或命題”，也就是說要讓學(xué)生能夠回憶起“命題結(jié)構(gòu)”而不是“句子結(jié)構(gòu)”，這就是人們所說的理解記憶與機(jī)械記憶的區(qū)別.

例如，我們?cè)谧寣W(xué)生回憶拋物線的定義的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)將重心放在學(xué)生以拋物線定義中的“定點(diǎn)”“定直線”“距離相等的（點(diǎn)的軌跡）”的認(rèn)識(shí)上，有了這三個(gè)關(guān)鍵詞，再加上上面第二點(diǎn)提到的比較模型表征方法的運(yùn)用，就可以在學(xué)生的記憶中形成一個(gè)清晰的“到一個(gè)定點(diǎn)F與一條定直線l（點(diǎn)F不在l上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡”，而定點(diǎn)與定直線的意義也同樣可以清晰起來. 實(shí)際教學(xué)中要做到這一點(diǎn)并不困難，只要教師在教學(xué)中多一個(gè)小小的動(dòng)作：隨著對(duì)這個(gè)定義的描述，教師加重語氣強(qiáng)調(diào)“定點(diǎn)”“定直線”“距離相等的（點(diǎn)的軌跡）”，同時(shí)畫出圖形，學(xué)生自然就可以形成這樣的表象.

總的來說，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中確實(shí)要重視數(shù)學(xué)知識(shí)是怎樣進(jìn)入學(xué)生的記憶的，忽視了這個(gè)根本，再多的教學(xué)方式的變革，再多的核心概念的敘述，都無法發(fā)揮作用.