基于“最值”問題，開展變式教學(xué)

賈林

[摘 要] 新課標(biāo)大綱注重問題的變式探究，變式問題的本質(zhì)是圍繞教材的基本概念和原理開展的，這對教師的教學(xué)備課提出了更高的要求，筆者認(rèn)為作為教師有必要圍繞教學(xué)內(nèi)容進行設(shè)計和變式教學(xué)，提升學(xué)生的探究能力. 本文整理了最近的一次關(guān)于“解析幾何最值問題”的教學(xué)設(shè)計，與同行研討.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何；最值；變式探究

解析幾何的最值問題是教材內(nèi)容的變式拓展，在考題中出現(xiàn)的頻次很高，考查學(xué)生的變式探究能力，這也是當(dāng)下課改的主體思想，作為教師也需要關(guān)注變式問題，并以此進行教學(xué)設(shè)計，圍繞相關(guān)的問題開展變式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的變式思維.

[?] 教學(xué)流程

1. 問題引入

在公路a兩旁有兩所學(xué)校S和T，現(xiàn)將要在公路上建一個公交站臺B，讓兩所學(xué)校的學(xué)生到這個站臺的距離之和為最小，現(xiàn)設(shè)計該站臺的具體位置，并說出理由.

預(yù)設(shè)問題：解決最值問題的基本原理是什么？兩點之間線段最短如何證明？有人提出應(yīng)該放在三角形中進行求解，你是如何思考的？

預(yù)設(shè)意圖：本節(jié)主要學(xué)習(xí)解析幾何中的最值問題，通過生活中的實際問題，讓學(xué)生對最值問題有個初步的認(rèn)識，理解最值問題的基本原理，然后以此為線索開展課題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，以學(xué)生為教學(xué)的主體，這樣的設(shè)計有助于培養(yǎng)學(xué)生的思考能力，以及變式思維，為今后的教學(xué)做準(zhǔn)備.

探究：當(dāng)定點S和T位于動點所在直線的異側(cè)時可求距離之和，解決最值問題，可以根據(jù)原理：兩點之間線段最短，證明上可借助三角形的兩邊之和不小于第三邊.

解析：如圖1所示，連接直線ST，線段ST和直線a的交點為B′，在直線a上任取一點B，則根據(jù)三角形邊的關(guān)系有：SB+TB≥ST，所以SB+TB的最小值就是線段ST的長度.

[?] 典例講評與變式

預(yù)設(shè)問題：動點M和N的軌跡是什么樣的曲線？如果當(dāng)點P靜止的時候，線段PM和PN的大小有聯(lián)系嗎？求PM+PN的最小值，是否可以實現(xiàn)PM和PN都達到最小值？

預(yù)設(shè)意圖：由生活中的最值問題轉(zhuǎn)化為解析幾何中常見的求解動點的最值問題，通過逐步的設(shè)問來引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)正確的解題思路，這里以圓上的動點為例，引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)形結(jié)合，通過分析判斷求解最值問題的特定情形.

（3）經(jīng)過點F1（-2，0）作兩條互相垂直的直線，直線分別交橢圓C于A，B和D，E點，求AB+DE的最小值.

設(shè)計意圖：經(jīng)過對解析幾何最值問題的基礎(chǔ)講解以及變式后，有必要對學(xué)生進行視野拓展，通過對高考歷年真題的賞析使學(xué)生深入理解解析幾何中的最值問題的考查要求，扎實基礎(chǔ)，進一步提升綜合解題能力.

[?] 教學(xué)立意的進一步解讀

1. 重視概念，重視原理

學(xué)習(xí)概念和數(shù)學(xué)原理是求解問題的基礎(chǔ)，在理解原理的基礎(chǔ)上才可以實現(xiàn)變式拓展，例如題課中關(guān)于最值問題，兩點之間線段最短則是最值問題的理論依據(jù). 在教學(xué)過程中不可忽視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，即使是原本枯燥無味的概念原理課，通過精心的課程設(shè)計也可以變得生動，在教授過程中要有準(zhǔn)備有意識地引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造，筆者認(rèn)為新課標(biāo)更應(yīng)該注重教材的原理和概念教學(xué)，重視問題的外延本源，從問題的出發(fā)點進行教學(xué)更加有利于學(xué)生掌握基礎(chǔ)，拓展變式. 在講授解析幾何問題時要研究曲線的性質(zhì)以及求解方法的原理. 解題的步驟是：作圖、分析、化簡、求解. 問題的產(chǎn)生和發(fā)展都應(yīng)以教材的概念和原理作為載體，所以課堂教學(xué)必須以教材的基礎(chǔ)知識作為出發(fā)點.

2. 探究問題，拓展變式

解析幾何的問題都可以在教材中找到原理依據(jù)，僅對一道例題的講解是無法使學(xué)生掌握原理，理解教材概念的. 特別是解題背后所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法技巧，所以對于教材的探究則變得非常重要. 在本節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)進行了典題變式和銜接高考真題，都是為了使學(xué)生在理解最值的基礎(chǔ)上進行深入探究，在訓(xùn)練中抓住問題的本質(zhì)，理解高考命題策略. 對問題的拓展，都是對問題的進一步解讀和探索；對新問題的思考，將問題的條件和結(jié)論進行類比和聯(lián)想，都可以使學(xué)生產(chǎn)生新的解題思路，這是變式的核心內(nèi)容. 探索問題的過程是一種發(fā)掘的過程，可以徹底地理解課本原理，拓展學(xué)生的思維，提升解題能力.

3. 系統(tǒng)思考，總結(jié)歸納

問題的產(chǎn)生是一個系統(tǒng)的過程，所以解題的目的也是為了通過思考分析，層層推進，形成一個系統(tǒng)的思維體系. 在教學(xué)過程中，教師要善于利用教學(xué)資源，讓學(xué)生以一個研究者的身份去思考問題，敏銳觀察，系統(tǒng)歸納，讓教學(xué)成為一個系統(tǒng)探究的過程. 教師要讓學(xué)生學(xué)會總結(jié)歸納，發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會從不同的角度進行分析和綜合，從整體上把握解題思路，只有從整體出發(fā)，進行的創(chuàng)作認(rèn)知才可以透過問題的表象深入精髓. 在數(shù)學(xué)解題中要鼓勵學(xué)生去深入探究，每一次思考都是一次成功的探究，每一次總結(jié)歸納都可以獲得思維上的提升，讓學(xué)生學(xué)會系統(tǒng)的思考才是教學(xué)的重點.

[?] 寫在最后

教學(xué)設(shè)計是教師能力的體現(xiàn)，一堂好的教學(xué)課可以使學(xué)生在理解基本知識的基礎(chǔ)上，獲得探究能力的提升，對于解析幾何的相關(guān)問題，筆者認(rèn)為應(yīng)該落實到課堂中，每一次課堂講授都值得精心設(shè)計.