一類切線問題的類比

葉扣

【摘要】在高中數(shù)學(xué)中，經(jīng)常會(huì)遇到已知圓的方程和圓上一點(diǎn)求過這一點(diǎn)圓的切線方程的問題，并得出了相關(guān)公式.通過類比發(fā)現(xiàn)圓錐曲線也有類似結(jié)論，本文在此基礎(chǔ)上通過近年來的高考題和?？碱}介紹了這些結(jié)論的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】切點(diǎn)；切線；切線方程；曲線

直線和曲線的位置關(guān)系既是高考的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，而直線與曲線的相切是一種非常重要的位置關(guān)系，本文介紹了這一類切線問題具有的共同結(jié)論并用高中知識(shí)加以證明，希望能給大家的學(xué)習(xí)提供一些幫助.

結(jié)論1經(jīng)過圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2上一點(diǎn)p（x0，y0）的切線l方程為（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

證明若切線l的斜率存在且不為0，kcp=y0-b1x0-a，kl=-x0-a1y0-b，所以切線l的方程為y-y0=-x0-a1y0-b（x-x0），整理得（x0-a）（x-x0）+（y0-b）（y-y0）=0，變形為（x0-a）[（x-a）-（x0-a）]+（y0-b）[（y-b）-（y0-b）]=0，從而得（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=（x0-a）2+（y0-b）2，所以（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

若切線l的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，上式也成立.

綜上可見結(jié)論1成立.

說明：類似可以證明經(jīng)過圓x2+y2+Dx+Ey+F=0（其中D2+E2-4F>0）上一點(diǎn)p（x0，y0）的切線l方程為x0x+y0y+Dx+x012+Ey+y012+F=0.

結(jié)論2經(jīng)過橢圓x21a2+y21b2=1（其中a≠b）上一點(diǎn)p（x0，y0）的切線l方程為x0x1a2+y0y1b2=1.

證明若切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l方程為y-y0=k（x-x0），由方程組b2x2+a2y2=a2b2，

y=kx+y0-kx0， 得（b2+a2k2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0，令Δ=0，得[2a2k（y0-kx0）]2-4（b2+a2k2）[a2（y0-kx0）2-a2b2]=0，化簡(jiǎn)得（a2-x20）k2+2kx0y0+b2-y20=0，又由于（2x0y0）2-4（a2-x20）（b2-y20）=4（a2y20+b2x20-a2b2）=0，所以k=x0y01x20-a2，l的方程為y-y0=x0y01x20-a2（x-x0），整理得（y-y0）（x20-a2）=x0y0（x-x0），于是（x20-a2）y+y0a2=x0y0x，從而[a2（1-y201b2）-a2]y=y0（x0x-a2），化簡(jiǎn)-a2y0y=b2（x0x-a2），即x0x1a2+y0y1b2=1.

若切線l的斜率不存在時(shí)，切線方程也符合x0x1a2+y0y1b2=1.

綜上可見結(jié)論2成立.

結(jié)論3經(jīng)過雙曲線x21a2-y21b2=1上一點(diǎn)p（x0，y0）的切線l方程為x0x1a2-y0y1b2=1.

證明若切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l方程為y-y0=k（x-x0），由方程組b2x2-a2y2=a2b2，

y=kx+y0-kx0， 得（b2-a2k2）x2-2a2k（y0-kx0）x-a2（y0-kx0）2-a2b2=0，令Δ=0，得[2a2k（y0-kx0）]2-4（b2-a2k2）[-a2（y0-kx0）2-a2b2]=0，化簡(jiǎn)得（a2-x20）k2+2kx0y0-b2-y20=0，又由于（2x0y0）2-4（a2-x20）（-b2-y20）=4（b2x20-a2y20-a2b2）=0，所以k=x0y01x20-a2，所以l的方程為y-y0=x0y01x20-a2（x-x0），整理得（y-y0）（x20-a2）=x0y0（x-x0），于是（x20-a2）y+y0a2=x0y0x，從而[a2（1+y201b2）-a2]y=y0（x0x-a2），化簡(jiǎn)a2y0y=b2（x0x-a2），所以x0x1a2-y0y1b2=1.

若切線l的斜率不存在時(shí)，切線方程也符合x0x1a2-y0y1b2=1.

綜上可見結(jié)論3成立.

說明：對(duì)于焦點(diǎn)在y軸的雙曲線也有相應(yīng)結(jié)論成立.

結(jié)論4經(jīng)過拋物線x2=2py上一點(diǎn)p（x0，y0）的切線l方程為x0x=p（y0+y）.

證明若切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l方程為y-y0=k（x-x0），由方程組x2=2p，

y=kx+y0-kx0， 得x2-2pkx-2p（y0-kx0）=0，令Δ=0，得（-2pk）2-4[-2p（y0-kx0）]=0，整理得pk2-2x0k+2y0=0，又由于（-2x0）2-8py0=4（x20-2py0）=0，所以k=x01p，因此，l的方程為y-y0=x01p（x-x0），整理得x0x=p（y0+y）.

若切線l的斜率不存在時(shí)，切線方程也符合x0x=p（y0+y）.

綜上可見結(jié)論4成立.

說明：對(duì)于焦點(diǎn)在y軸的拋物線也有相應(yīng)結(jié)論成立.

當(dāng)前，素質(zhì)教育已經(jīng)向我們傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了更高的要求，也就是對(duì)教師提出了更高的要求.現(xiàn)在的學(xué)生普遍感覺高中數(shù)學(xué)難學(xué)，知識(shí)點(diǎn)多，不能把所學(xué)的知識(shí)靈活運(yùn)用.但只要我們堅(jiān)持以學(xué)生為主體，以培養(yǎng)學(xué)生的思維發(fā)展為己任，則勢(shì)必會(huì)提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，真正減輕學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的負(fù)擔(dān)，從而為提高高中學(xué)生的整體素質(zhì)做出我們數(shù)學(xué)教師應(yīng)有的貢獻(xiàn).