胸中有圖，見數(shù)想圖

彭尚峰

【摘要】“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要具備的重要解題意識(shí)，更是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的法寶.本文首先分析了小學(xué)、初中階段的“數(shù)形結(jié)合”運(yùn)用情況，接著重點(diǎn)分析了高中階段“數(shù)形結(jié)合”運(yùn)用的必要性、主要策略以及應(yīng)注意的事項(xiàng)，以期尋求一條高效的解題路徑.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；必要性；策略

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)的基本特征，有“數(shù)”就有“形”，“形”也離不開“數(shù)”，“以數(shù)賦形”“以形助數(shù)”是兩大解題策略.“數(shù)形結(jié)合”在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用非常普遍，它以其直觀、高效、便捷成為高中數(shù)學(xué)解決疑難問題的法寶.

一、“數(shù)形結(jié)合”的運(yùn)用剖析

（一）在小學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

在解決小學(xué)數(shù)學(xué)行程類的問題時(shí)，教師就會(huì)引導(dǎo)學(xué)生借助于“畫圖”的方式，將代數(shù)問題用幾何方法表示，從而降低問題的難度，使學(xué)生產(chǎn)生頓悟現(xiàn)象.如，小學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的相對、相向行駛的應(yīng)用題，只要輔之以圖，找出相同的要素，問題便一目了然了.不僅行程類問題，借助于“以形助數(shù)”，植樹的問題、花壇里放花的問題、串珠的問題等，都借助于圖形，使問題簡單明了.

（二）在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

如果說小學(xué)數(shù)學(xué)是初識(shí)“數(shù)形結(jié)合”，讓學(xué)生初步了解和運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”，那么初中對這一思想的運(yùn)用更為普遍.如，數(shù)軸、有理數(shù)的學(xué)習(xí)、函數(shù)、方程等，尤其是幾何題，包括解三角形、周長、面積等問題無一不用到這一理念，助力數(shù)學(xué)解題輕松簡潔.

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”運(yùn)用的必要性

“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透，對于小學(xué)生而言，無疑是“萌芽”狀態(tài)，到初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，這一理念成為數(shù)學(xué)問題解決的“利器”.那么，高中數(shù)學(xué)中，更有必要滲透和運(yùn)用這一理念，因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)更加艱澀難懂，問題深?yuàn)W不易解決，而“數(shù)形結(jié)合”使數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化、數(shù)學(xué)問題簡單化、生動(dòng)化，變抽象思維為形象思維.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用的情況總的來說有以下這些情況：（1）集合及其運(yùn)算問題（數(shù)軸與Venn圖）；（2）利用函數(shù)圖像解決的問題——方程、不等式、恒成立、范圍問題等；（3）三角函數(shù)圖像的運(yùn)用；（4）平面圖形、立體圖像的運(yùn)用問題；（5）應(yīng)用向量解決的有關(guān)問題；（6）解析幾何中的數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用問題等.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透“數(shù)形”思想更有實(shí)踐意義，用途更加廣泛.就以簡單的“集合”類的問題為例：實(shí)數(shù)集是R，M={x|-2≤x≤2}，N={x|<1}，那么（

瘙 綂 RM）∩N=？這個(gè)問題只需要在數(shù)軸上畫出集合M和N，再利用觀察法，問題就迎刃而解.的確，高中數(shù)學(xué)運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的廣度與深度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過小學(xué)、初中階段，在高中廣闊的題海中，這種意識(shí)對于提高解題的效度與準(zhǔn)確率大有意義.

三、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中使用“數(shù)形結(jié)合”的主要策略

（一）“以形助數(shù)”“以形解數(shù)”

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，“以形助數(shù)”的主要體現(xiàn)有：（1）利用曲線方程解題；（2）利用“直線的斜率”；（3）利用單位圓；（4）利用“點(diǎn)到直線的距離”……

如，一個(gè)實(shí)踐性的應(yīng)用題：教師組織10名學(xué)生進(jìn)行夏令營活動(dòng)，中午天氣特別熱，這10名學(xué)生就去商店買飲料，6人買了雪碧，5人買了綠茶，5人買了純凈水，其中3人既買了雪碧又買了綠茶，2人既買了綠茶又買了純凈水，3人既買了雪碧也買了純凈水，有1人三樣都買了，問：幾個(gè)人沒有要飲料？

這個(gè)問題，如果不借助于圖形的方式而求解，純粹用代數(shù)方法求解，問題復(fù)雜不言而喻.而如果通過Venn圖求解，方便快捷，可謂復(fù)雜問題簡單化，抽象問題直觀化.

再如，一些復(fù)雜的三角函數(shù)題也有必要運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的解題技巧.“以形助數(shù)”，可以讓三角函數(shù)的問題增強(qiáng)生動(dòng)性和直觀性.如，已知a是銳角，則sina，a，tana的關(guān)系為：A.sina

（二）“以數(shù)助形”“以數(shù)賦形”

以數(shù)助形、以數(shù)賦形在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要體現(xiàn)有：（1）向量坐標(biāo)計(jì)算；（2）立體幾何中空間向量坐標(biāo)運(yùn)算；（3）平面解析幾何.比如，立體幾何中的平行與垂直問題，建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)計(jì)算，更能體現(xiàn)出解題的方便快捷.

四、運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想解題時(shí)應(yīng)注意的事項(xiàng)

使用“數(shù)形結(jié)合”解題時(shí)，應(yīng)注意一下“數(shù)”和“形”的轉(zhuǎn)化：（1）幾何的運(yùn)算與Venn圖；（2）函數(shù)以及圖像；（3）數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征以及函數(shù)圖像；（4）直線的方程與曲線的方程（二元方程）.

如，函數(shù)y=a|x|與y=x+a的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.對于這個(gè)問題，如果從代數(shù)方面考慮，毋庸置疑難以找到解題的思路，而如果引導(dǎo)學(xué)生通過畫出y=a|x|與y=x+a的圖像，分別從a>0和a<0以及k=1和k=-1兩種情況作圖，就可根據(jù)所作的圖形的兩種情形而得到a的取值范圍.函數(shù)問題用作圖的方法更容易看清關(guān)系與條理，增強(qiáng)函數(shù)問題的直觀性和生動(dòng)性.再如，Venn圖，在集合的學(xué)習(xí)中，使用最為頻繁和廣泛，如，交集、并集、補(bǔ)集、子集、真子集等的表示，Venn圖給人一目了然之感.

“數(shù)形結(jié)合”將數(shù)學(xué)問題用“形”表示，就如同古代詩人把抽象的情感用具體的外物來表示，使學(xué)生更容易快速找準(zhǔn)問題的癥結(jié)所在，找到形與數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，從而理清題目關(guān)系，找到對癥下藥的良方.教師要讓學(xué)生養(yǎng)成胸中有圖，見數(shù)想圖的數(shù)學(xué)習(xí)慣，使學(xué)生終身受益.