基于注資-有界分紅的隨機微分投資-再保博弈

孫宗岐，劉宣會，陳思源，冀永強，婁建軍

1)西安思源學院高數(shù)教研室, 陜西西安 710038; 2)西安工程大學理學院, 陜西西安 710048

【數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 / Mathematics and Applied Mathematics】

基于注資-有界分紅的隨機微分投資-再保博弈

孫宗岐1，劉宣會2，陳思源1，冀永強1，婁建軍1

1)西安思源學院高數(shù)教研室, 陜西西安 710038; 2)西安工程大學理學院, 陜西西安 710048

研究存在模型風險時保險公司的最優(yōu)投資-再保-注資-有界分紅的策略問題．在分紅與注資之差的總量現(xiàn)值的期望最大化的準則下，使用隨機微分博弈理論建立保險公司的隨機微分博弈，通過求解Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs方程得到最優(yōu)投資-再保-注資-有界分紅策略的顯式解，采用數(shù)值算例分析驗證了本研究所提策略的合理性．

運籌學；對策論；隨機微分博弈； Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs方程；投資策略；比例再保險策略；注資-有界分紅；模型風險

隨機控制理論是研究投資組合選擇的常用方法．1994年隨機控制理論首次被運用到保險精算領(lǐng)域， Asmussen等[1-3]運用該理論研究了保險公司的投資、再保險和分紅等最優(yōu)決策問題．然而，這些研究要么在風險模型上改進，要么在狀態(tài)變量的分布上精益求精．顯然任何事先的假設(shè)都與真實世界存在差異，這種差異通常被稱為模型風險．模型風險和一般所謂的風險之間的區(qū)別在于，模型風險隨機過程的分布往往是模糊甚至未知的，因此把模型風險刻畫為概率測度的不確定性顯然是合理的，這就是隨機微分博弈的主要思想．

隨機微分博弈理論是將隨機分析與微分博弈相結(jié)合的一門數(shù)學理論．1965年，Isaacs[4]首次將數(shù)學模型運用到博弈論中．1976年，Elliote[5]建立了隨機微分博弈的值函數(shù)的存在性和Isaacs條件之間的關(guān)系，為隨機微分博弈理論在金融數(shù)學上的應(yīng)用打開了理論通道．之后，Taksar等[6]將隨機微分博弈引入到保險資金的管理中，研究了非比例再保險問題．Bensoussan[7]等研究了基于非零和隨機微分博弈的一系列最優(yōu)消費和再保險策略．Zeng[8-9]研究了隨機微分博弈下的再保險問題．Lin等[10]研究了跳-擴散模型下對一個未知模型的保險最優(yōu)投資組合問題．羅琰等[11]考慮了模型不確定性因素下基于隨機微分博弈的保險公司投資-再保問題．楊鵬等[12-13]分析了隨機微分博弈下的保險公司的資產(chǎn)負債管理問題．

以上研究都考慮了模型風險，運用隨機微分博弈理論，將經(jīng)濟環(huán)境或者再保險公司視為是博弈中虛擬的“對手”，通過建立反映“對手”狀態(tài)的隨機概率測度來度量隨機微分博弈參考準則，并在此準則下求解最優(yōu)博弈策略．然而迄今仍鮮見隨機微分博弈理論框架下討論保險公司最優(yōu)分紅策略的研究．

理論研究人員通常認為分紅機制的基本形式有閥值分紅和有界分紅．然而， Sethi等[14]指出，若單純按此策略進行紅利分配，從理論上講一定會發(fā)生破產(chǎn)．為此，建議在模型中引入注資策略，即一旦公司出現(xiàn)赤字，可通過面向股東或者其他渠道，注入一定的資金以防破產(chǎn)，從而使公司繼存下去．Sethi等[14]利用隨機控制理論研究了擴散風險模型下最優(yōu)注資-分紅策略問題，其結(jié)果具有永久不破產(chǎn)的良好屬性．該結(jié)論得到了Dickson等[15-16]的認同．近年來，中國學者也開始關(guān)注該問題，如張帥琪等[17]研究了帶注資的二維復合泊松風險模型的最優(yōu)分紅．王永茂等[18]研究了基于經(jīng)典風險模型的最優(yōu)分紅和注資策略．然而，這些研究都未考慮到競爭對手市場上不確定性因素對風險過程的影響．

為此，本研究對保險公司注資-有界分紅的隨機微分投資-再保博弈問題進行探究，將市場視作保險公司無形的競爭對手，考慮保險公司和對手之間的零和隨機微分博弈問題．假設(shè)保險公司是博弈的主導者，在市場最壞(熊市)的情況下，保險公司選擇一個最優(yōu)的投資-再保險策略，使其分紅與注資之差的累積貼現(xiàn)的期望達到最大．

1 建立模型

假設(shè)允許連續(xù)交易且資產(chǎn)可任意分割，市場不存在摩擦，整個投資過程是自融資的且無套利．

1.1 風險模型的建立及分紅機制

模型風險產(chǎn)生的根源在于經(jīng)濟環(huán)境的不確定性，所以為刻畫這種不確定性，本研究引入?yún)⒖嫉耐陚涓怕士臻g(Ω,Ft,F,P)． 其中， ?ω∈Ω表示直到投資過程的終止時刻T為止的一個完整的經(jīng)濟環(huán)境，Ω表示截至T時刻的一個完整的經(jīng)濟環(huán)境；Ft(ω)為截至t時刻產(chǎn)生的σ-代數(shù)；F(ω)為截至T時刻產(chǎn)生的σ-代數(shù)；P為保險公司起初參考的概率測度．

1.1.1 建立參考概率測度下保險公司風險模型

參考概率空間(Ω,Ft,F,P)建立風險模型．保險公司經(jīng)典的盈余過程為

R(t)=x0+ct-S(t)

(1)

Taksar等[19]認為，經(jīng)典的盈余過程可近似地用擴散過程來描述，即

(2)

(3)

考慮保險公司可以在破產(chǎn)前將部分盈余投資于其價格為P(t)， 且滿足方程

(4)

dR(t)= [R(t)r0+π(t,x)(μ0-r0)+

(5)

繼續(xù)考慮再保險業(yè)務(wù)，設(shè)再保險的自留比例為q(t,x)， 再保險的保費安全負載為η，η>θ， 則盈余過程可描述為

dR(t)= {π(t,x)μ0+[R(t)-π(t,x)]r0+

(1+θ)α1-[1-q(t,x)(1+

(6)

整理后可得

dR(t)= [R(t)r0+π(t,x)(μ0-r0)+

(θ-η)α1+q(t,x)ηα1]dt+

(7)

稱滿足以下條件的控制策略(π(t,x),q(t,x))的全體構(gòu)成的集合為可行集Π： ① (π(t,x),q(t,x))是Ft自適應(yīng)的； ② ∫0Tπ2(t,x)dt<∞ a·e，q(t,x)≤1； ③ (π(t,x),q(t,x))是方程(1)的唯一強解．

1.1.2 自然控制的概率測度刻畫

保險公司主觀選擇的經(jīng)濟環(huán)境和市場真實的經(jīng)濟環(huán)境之間肯定存在差異，本研究將這種差異刻畫化為隨機過程θ(t)， 并在此基礎(chǔ)上給出自然控制的隨機概率測度Pθ．

(8)

顯然，Zθ(t)是(Ft,P)上的局部鞅．進一步假設(shè){θ(t):t≥0}是關(guān)于概率測度P-a.e有界的，則Zθ(t)是(Ft,P)上的鞅，因此E[Zθ(T)]=E[Zθ(0)]=1．

1.1.3 注資-有界分紅機制

(9)

在注資-分紅機制下保險公司的盈余過程為

R(t)D,Z,π,q=R(t)-D(t)+Z(t)

(10)

若策略(D,Z)滿足

P(R(t)D, Z, π, q≥0,

(11)

則稱其為允許策略，記全體允許策略的集合為H． 以下考慮的注資-分紅策(D,Z) ∈H．

1.2 保險公司的隨機微分博弈問題

考慮在有限時間段[0,T]內(nèi)，在保險公司和資本市場之間進行二人-零和隨機微分博弈，作為主導者的保險公司，其對手是市場．記值函數(shù)為

?t∈[0,T]

(12)

其中，δ為貼現(xiàn)率，δ1為懲罰因子，表示如果發(fā)生破產(chǎn)，需注入實際損失的φ倍資金作為懲罰．

保險公司的目標是通過選擇最優(yōu)的投資策略π*(t,x)和再保策略q*(t,x)， 使在市場最壞情形下的值函數(shù)最大，而市場的目標是通過選擇最壞的環(huán)境θ*(t)使值函數(shù)最小，即最優(yōu)值函數(shù)為

Jπ*, q*, θ*(t,x,z;b)

(13)

s.t. dR(t)= [R(t)r0+π(t,x)(μ0-r0)+

(θ-η)α1+q(t,x)ηα1]dt+

(14)

其中，J(t,x,z;b)為分紅與注資之差的總現(xiàn)值的期望；Jπ*, q*, θ*(t,x,z;b)為最大分紅注資之差的總現(xiàn)值期望．

式(13)和式(14)即本研究提出的隨機微分博弈問題．

2 隨機微分博弈問題的求解

2.1Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs(HJBI)方程

設(shè)函數(shù)f(t,x,z) ∈C1,2,2(R3)， 本研究定義無窮小微分算子為

Λπ,q,θf=ft+[xr0+π(t,x)(μ0-r0)+

(θ-η)α1+q(t,x)ηα1]fx+

zθ(t)(q(t,x)α2+π(t,x)σ0)fxz+

z2θ2(t,x)fzz-δf

(15)

其中，f為f(t,x,z)；ft為f(t,x,z)關(guān)于t的導數(shù)；fx為f(t,x,z)關(guān)于x的導數(shù)；fxx為f(t,x,z)關(guān)于x的二階導數(shù)；fzz為f(t,x,z)關(guān)于z的二階導數(shù)；δ為貼現(xiàn)率常數(shù)．

于是，得到緊湊形式HJBI方程為

(16)

2.2 最優(yōu)投資-再保策略和最優(yōu)值函數(shù)的求解

記所有滿足以下條件的控制策略(π(t,x),q(t,x))的集合為可行集Π．

HJBI方程具有如下形式

1) 當0≤x

π(t)σ0]Vxz+z2θ2(t)Vzz-δV}

(17)

其中，V為值函數(shù)；Vt為V關(guān)于t的一階導數(shù)；Vx為V關(guān)于x的一階導數(shù)；Vxx為V關(guān)于x的二階導數(shù);Vxz為V關(guān)于x再關(guān)于z的二階偏導．

2) 當x≥b時，有

V(t,x,z;b)=x-b+V(t,b,z;b)

(18)

其中，V(t,x,z;b)為最優(yōu)值函數(shù)；b為分紅邊界；V(t,b,z;b)為修正盈余為b時的最優(yōu)值函數(shù)的值．其邊界條件為Vx(T, 0, 1;b)=φ和Vx(T,b, 1;b)=1.

2.2.1 當0≤x

考慮到要滿足引理中的各個條件，以及文獻[21]的結(jié)果，猜測值函數(shù)需具有以下形式

V(t,x,z;b)=g(t)z×

(19)

其中， 0≤x

Vzz=0

將V(t,x,z;b)的各階導數(shù)代入方程(17)，可得

(20)

其中，g(t)為時間函數(shù)；g′(t)為g(t)的一階導數(shù)；h(t)為另一時間函數(shù)；h′(t)為h(t)的一階導數(shù)；k為常數(shù)；σ0為風險資產(chǎn)收益的波動率．

由一階最優(yōu)性條件可得

(21)

(22)

將式(21)和式(22)代入方程(20)，可得

(23)

對方程(23),由一階最優(yōu)性條件可得

(24)

將式(24)代入方程(20)，可得

(25)

于是得到常微分方程

(26)

(27)

g(T)=1

(28)

h(T)=0

(29)

因此可解得

(30)

(31)

最后，將式(24)代入式(21)和(22)，可得

(32)

(33)

由式(25)、式(30)和式(31)可得，當t=T時，有

(34)

整理后有

δ=0

(35)

顯然

4r0δ>0

(36)

則

(37)

此時，可驗證Vx(T,b, 1;b)=1成立．

由邊界條件(6)中Vx(T, 0, 1;b)=φ可得

(38)

2.2.2 當x≥b時的最優(yōu)投資-再保博弈策略和最優(yōu)值函數(shù)

當x≥b時，最優(yōu)投資-再保險策略和最優(yōu)市場策略與0≤x

V(t,x,z;b)=x-b+g(t)z×

(39)

綜上可見，當保險公司選擇的經(jīng)濟環(huán)境與市場真實的經(jīng)濟環(huán)境吻合，即θ(t)=0時，g(T)=1和h(T)=0， 此時最優(yōu)投資-再保策略的解析表達與文獻[21]中不考慮模型風險時的結(jié)果一致，因此，文獻[21]的結(jié)果可視為本研究結(jié)果的特殊情形．

3 數(shù)值算例及結(jié)果分析

通過算例分析存在模型風險時財富x對最優(yōu)投資-再保策略的影響．

當θ(t)=0時，方程(17)和方程(18)就是一般的最優(yōu)控制問題，此時根據(jù)式(21)和式(22)可得到在保險公司初始選擇的概率測度就是自然控制的概率測度時，最優(yōu)控制策略為

(40)

(41)

算例 設(shè)m=0.5，λ=1，θ=0.3，η=0.5，μ0=0.1，σ0=0.1，b=1，r0=0.025． 利用Matlab軟件可得如圖1的最優(yōu)投資策略π*(x)的圖像，以及如圖2的最優(yōu)比例再保險策略1-q*(x)的圖像．

圖1 最優(yōu)投資策略π*(x)與財富x之間的函數(shù)關(guān)系Fig.1 Function relation between the optimal investment strategy π*(x) and wealth x

圖2 最優(yōu)再保策略1-q*(x)與財富x之間函數(shù)關(guān)系Fig.2 Function relation between the optimal reinsurance strategy 1-q*(x) and wealth x

從圖1可見，最優(yōu)投資策略π*(x)是財富x的減函數(shù)，這是因為保險公司的財富越多，賠付能力就越強，在盈余充足的保證下，為降低整體的風險水平，會減少風險投資；由圖1還可見，在惡劣市場環(huán)境下，保險公司在風險資本上的投資要比良好市場時低，這是因為在惡劣經(jīng)濟環(huán)境下，保險公司面臨的風險水平很高，為降低風險水平，會持保守態(tài)度，減少其風險資本投資．

從圖2可見,當保險公司選擇的概率測度與自然控制的概率測度一致，即市場良好時，公司盈余充足，此時為降低整體風險水平，最優(yōu)投資策略π*(x)應(yīng)隨財富x的增大而減小，最優(yōu)再保險策略1-q*(x)隨財富x的增大而增大；而在惡劣市場環(huán)境下，最優(yōu)再保策略大于1，說明此時保險公司不僅會將全部投保風險轉(zhuǎn)嫁給再保險公司，而且會為部分風險資本購買保險(如跌停險)，以達到轉(zhuǎn)移風險，降低保險公司整體風險水平的目的．同時也可看出，隨著財富x的增加，再保險策略會逐漸減小，這是因為公司盈余逐漸充足，公司賠付能力漸增，自然也會漸減再保險的比例．

結(jié) 語

通過分析具有模型風險的保險公司最優(yōu)投資-比例再保策略和最大注資-有界分紅問題發(fā)現(xiàn)，保險公司在惡劣市場下，應(yīng)持有保守態(tài)度，即減少風險投資增加再保險比例；隨著保險公司財富的增加，抗風險能力得到提高，此時不論是惡劣市場下，還是良好市場下，為降低整體風險水平，風險投資都應(yīng)隨著公司財富的增加而減??；對于再保險比例而言，在惡劣市場情形下，保險公司的盈余增加，抗風險能力提高，再保險比例應(yīng)降低，但在良好市場情形下，公司盈余充足，財富雖然增加，但是風險投資減少，再保險比例增加，方能達到財富充足時降低整體風險水平的目的．在保險資金的實際管理中，閥值分紅和線性有界分紅也是保險公司常?？紤]的分紅機制，此外，除了比例再保險策略，超額損失再保險同樣也是保險公司常用的再保險策略，因此，研究閥值分紅和線性有界分紅機制下的保險公司注資-分紅準則的隨機微分投資-再保策略問題將是下一步研究的重點．

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【中文責編：英 子；英文責編：木 南】

2016-10-21；Accepted：2017-01-20

Assocoate professor Liu Xuanhui. E-mail: lxhlll2011@163.com

Stochastic differential investment-reinsurance games with capital injection-barrier dividend

Sun Zongqi1, Liu Xuanhui2, Chen Siyuan1, Ji Yongqiang1, and Lou Jianjun1

1) Department of Mathematics, Xi’an Siyuan University, Xi’an 710038, Shaanxi Province, P.R.China 2) College of Science, Xi’ an Polytechnic University, Xi’an 710048, Shaanxi Province, P.R.China

To better reflect the insurance practice and help insurance company make more robust strategy, we investigate the optimal investment-reinsurance-capital injection-barrier dividend problem when model risk exists. Based on the criterion of maximizing the expected total present value of the difference between barrier dividend and capital injection, the stochastic differential game model is utilized based on stochastic differential game principle, and the optimal policy is obtained by solving the Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs (HJBI) equation. The closed-form optimal investment-reinsurance-capital injection-barrier dividend strategies are derived. The economic analyses illustrate the reasonableness of the obtained theoretical results.

operations research; game theory; stochastic differential game; Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs equation; investment strategies; proportional reinsurance; capital injection-barrier dividend; model risk

：Sun Zongqi, Liu Xuanhui, Chen Siyuan, et al. Stochastic differential investment-reinsurance games with capital injection-barrier dividend[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2017, 34(4): 364-371.(in Chinese)

O 211.63

A

10.3724/SP.J.1249.2017.04364

國家自然科學基金資助項目(71371152)；陜西省教育廳自然科學專項基金資助項目(2016JK2150)；西安思源學院2016年度科研基金資助項目(XASY-B1617)

孫宗岐(1979—)，男，西安思源學院講師．研究方向：隨機分析與隨機運籌．E-mail:szqi200679@sina.com

Foundation：National Natural Science Foundation of China (71371152); Natural Science Foundation of the Education Department of Shaanxi Province (2016JK2150 ); Xi’an Siyuan University Research Fund 2016 Annual (XASY-B1617)

引 文：孫宗岐，劉宣會，陳思源，等．基于注資-有界分紅的保險公司隨機微分投資-再保博弈[J]. 深圳大學學報理工版，2017，34(4)：364-371.