有界線性算子的a-Weyl定理及亞循環(huán)性

楊國(guó)增，孔瑩瑩，曹小紅

1)鄭州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南鄭州 450044；2)陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710062

【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) / Mathematics and Applied Mathematics】

有界線性算子的a-Weyl定理及亞循環(huán)性

楊國(guó)增1，孔瑩瑩2，曹小紅2

1)鄭州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南鄭州 450044；2)陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710062

線性算子理論；a-Weyl定理；逼近點(diǎn)譜；亞循環(huán)算子；算子函數(shù)；Fredholm算子；譜集；Browder譜

設(shè)H為無(wú)限維復(fù)可分的Hilbert空間，B(H)為H上的有界線性算子的全體．對(duì)于T∈B(H)， 令N(T)和R(T)分別表示算子T的零空間和值域，若R(T)閉且n(T)=dimN(T)有限，稱T為上半Fredholm算子；若R(T)有有限的余維數(shù)d(T)=dim(H/R(T))=codimR(T)， 則稱T∈B(H)為下半Fredholm算子．若T既為上半Fredholm算子又為下半Fredholm算子，則T∈B(H)稱為Fredholm算子．對(duì)于半Fredholm算子，其指標(biāo)定義為ind(T)=n(T)-d(T)． 其中，n(T)和d(T)分別為算子T的零空間維數(shù)和值域的余維數(shù)．特殊地，當(dāng)n(T)=0且R(T)閉時(shí)，稱T為下有界算子．指標(biāo)為0的Fredholm算子稱為Weyl算子．算子T的升標(biāo)asc(T)為滿足N(Tn)=N(Tn+1)的最小非負(fù)整數(shù)，若這樣的整數(shù)不存在，則記asc(T)=∞； 算子T的降標(biāo)為滿足R(Tn)=R(Tn+1)的最小的非負(fù)整數(shù)，同樣若這樣的整數(shù)不存在，則記des(T)=∞． 當(dāng)T為有限升標(biāo)和有限降標(biāo)的Fredholm算子時(shí)，稱T為Browder算子．

對(duì)T∈B(H)，記σ(T)，σw(T)，σp(T)，σa(T)，σb(T)，σab(T)、σSF(T)和σea(T)分別表示算子T的譜、Weyl譜、點(diǎn)譜、逼近點(diǎn)譜、Browder譜、Browder本質(zhì)逼近點(diǎn)譜、半Fredholm譜和本質(zhì)逼近點(diǎn)譜.記ρ(T)=Cσ(T)、ρa(bǔ)(T)=Cσa(T)、ρb(T)=Cσb(T)、ρa(bǔ)b(T)=Cσab(T)、ρSF(T)=CσSF(T)、ρea(T)=Cσea(T)． 令Pab(T)={λ∈σa(T):T-λI為上半Fredholm算子，且asc(T-λI)<∞}， 將T的正規(guī)特征值記作σ0(T)， 即σ0(T)=σ(T)σb(T)． 對(duì)K?C， isoK表示集合K的孤立點(diǎn)集， accK為K的聚點(diǎn)的全體；為單位圓盤；為單位圓周.

設(shè)H(T)為在σ(T)的一個(gè)鄰域上解析,但在σ(T)的任一個(gè)分支上不為常值的函數(shù)全體．本研究用譜集σvaw(T)刻畫了對(duì)任意f∈H(T)，f(T)滿足a-Weyl定理的判定方法，進(jìn)而給出當(dāng)T為亞循環(huán)算子時(shí)，f(T)滿足a-Weyl定理的充要條件.

1 預(yù)備知識(shí)

令T∈B(H), 若σ為σ(T)中的一閉開(kāi)子集,則存在一個(gè)解析的柯西鄰域Ω滿足σ?Ω， 且

(1)

(2)

按Ω的正向積分，又令H(σ;T)=R(E(σ;T))． 顯然，若λ∈isoσ(T)， 則{λ}為σ(T)中的閉開(kāi)子集，記H({λ};T)為H(λ;T)； 除此之外，若dimH(λ;T)<∞， 則λ∈σ0(T)[11]．

為便于證明，本研究首先給出引理1至引理3．

引理1[12]設(shè)T∈B(H)， 若σ(T)=σ1∪σ2， 其中，σ1和σ2為σ(T)中的閉開(kāi)子集且σ1∩σ2=?, 則

(3)

且T的分解為

(4)

其中，σ(Ti)=σi(i=1, 2)．

引理2[13]設(shè)T∈B(H)， 若asc(T)≤p(p為某個(gè)非負(fù)整數(shù))，則N(Tk)∩R(Tp)={0}． 其中，k=1, 2, …．

引理3[14]設(shè)T∈B(H)， 若λ∈isoσ(T)，則下列敘述是等價(jià)的：①λ∈ρSF(T)； ②λ∈ρw(T)； ③λ∈σ0(T)．

2 定理與證明

定理1 設(shè)T∈B(H)， 則下列敘述是等價(jià)的：

1)σ(T)=σa(T)且T滿足a-Weyl定理；

2)ρvaw(T)={λ∈isoσ(T)∶n(T-λI)=0}∪σ0(T)∪ρ(T)；

3)σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈isoσ(T)∶n(T-λI)=0}∪σ0(T)．

【證】首先證明 1)?2)．這只需證明

ρvaw(T)= {λ∈isoσ(T)∶n(T-λI)=

0}∪σ0(T)∪ρ(T)

(5)

假設(shè)λ∈ρvaw(T)且λ?ρ(T)， 則根據(jù)引理2，n(T-λI)<∞且λ∈isoσa(T)∪ρa(bǔ)(T)， 由于σ(T)=σa(T)， 則有λ∈isoσ(T)． 若n(T-λI) =0， 則λ∈{λ∈isoσ(T)∶n(T-λI)=0}； 若0

其次，證明 2)?1)．若T-λI為下有界算子，則λ∈ρvaw(T)． 當(dāng)λ∈{λ∈isoσ(T)∶n(T-λI)=0}， 根據(jù)引理3，λ∈ρ(T)， 這與λ∈isoσ(T)矛盾；而當(dāng)λ∈σ0(T)，λ∈ρ(T)， 同樣得到與λ∈σ0(T)矛盾．于是σ(T)=σa(T)．

最后證明 2)?3)．對(duì)2)中的等式變形，可得該式等價(jià)于

C=σvaw(T)∪{λ∈isoσ(T)∶n(T-λI)=

0}∪σ0(T)∪ρ(T)

(6)

上式等價(jià)于σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈isoσ(T)∶n(T-λI)=0}∪σ0(T)．

注解1

1) 在定理1中，σ(T)=σa(T)是本質(zhì)的．例如，設(shè)T∈B(l2)定義為T(x1,x2, …)=(0,x1,x2, …)， 則有σ(T)=，σa(T)=σea(T)=，?， 以及ρvaw(T)={λ∈C于是可得σ(T)≠σa(T)，T滿足a-Weyl定理，但因

{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}∪σ0(T)∪

(7)

則有

ρvaw(T)≠ {λ∈isoσ(T)∶n(T-λI)=

0}∪σ0(T)∪ρ(T)

(8)

推論1 當(dāng)且僅當(dāng)σ(T)∈{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}∪σ0(T)時(shí)，σvaw(T)=?，σ(T)=σa(T)且T滿足a-Weyl定理．

注解2

1) 在推論1中, 當(dāng)σvaw(T)=?，σ(T)=σa(T)且T滿足a-Weyl定理時(shí)，σ(T)為有限集．

推論2 當(dāng)且僅當(dāng)σ(T)為有限集且σp(T)=σ0(T)時(shí)，σvaw(T)=?，σ(T)=σa(T)且T滿足a-Weyl定理．

下面給出算子函數(shù)滿足a-Weyl定理的判斷方法．

定理2 若σ(T)=σa(T)，則對(duì)任意的f∈H(T)，f(T)滿足a-Weyl定理當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立：

1) 對(duì)任意給定f∈H(T)， 有f(σvaw(T))?σvaw(f(T))；

2)T滿足a-Weyl定理；

3)σa(T)=σea(T)或ρvaw(T)=ρa(bǔ)(T)∪Pab(T)．

【證】 必要性.

由于f(T)滿足a-Weyl定理，根據(jù)引理2，則μ0∈isoσa(f(T))∪ρa(bǔ)(f(T))．

設(shè)f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T)， 其中，λi≠λj(i≠j, 1≤i,j≤k)，g(T)可逆． 若μ0∈ρa(bǔ)(f(T))， 則λi∈ρa(bǔ)(T)，λi∈ρvaw(T)， 故μ0?f(σvaw(T))； 若μ0∈isoσa(f(T))， 則λi∈isoσa(T)∪ρa(bǔ)(T)． 又因n(T-λiI)

條件 2)顯然成立．

條件 3)分兩種情況討論．

令σ1={λ1}，σ2={λ2}， 則σ1和σ2為σ(T)中的閉開(kāi)子集，根據(jù)引理1，T有分解

其中，σ(T1)={λ1}；σ(T2)={λ2}；σ(T3)=σ(T){λ1,λ2}；M為H(λ1;T1)與H(λ2;T2)的正交補(bǔ)空間．

令f(T)=(T-λ1I)(T-λ2I)， 由于

充分性.

事實(shí)上，設(shè)f(T)-μ0I為上半Fredholm算子且ind (f(T)-μ0I)≤0， 并設(shè)f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T)， 其中，λi≠λj(i≠j, 1≤i,j≤k)，g(T)可逆． 由μ0?σvaw(f(T))可知

λi∈ρvaw(T)=ρa(bǔ)(T)∪{λ∈isoσa(T):

n(T-λI)=0}∪Pab(T)

(9)

綜上可知，對(duì)任意給定的f∈H(T)，f(T)滿足a-Weyl定理．

下面研究算子的亞循環(huán)性與a-Weyl定理的關(guān)系．

注解3

例如，設(shè)T∈B(l2)定義為T(x1,x2, …)=(0,x1,x2, …)， 通過(guò)計(jì)算可得σ(T)=σw(T)=，σa(T)=σea(T)=，?，σ0(T)=?，σvaw(T)=． 于是有但T滿足a-Weyl定理．

定理3 設(shè)T∈B(H)， 則下列敘述等價(jià).

3)σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}，且σw(T)∪?連通；

4)σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}， 且σ(T)∪?連通；

5)ρvaw(T)=ρ(T)∪{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}， 且σw(T)∪?連通．

【證】2)? 3)．

由于σ0(T)=σ0(T)∩σ(T)， 而σ0(T)∩σvaw(T)=?，σ0(T)∩{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}=?，于是有σ0(T)=σ0(T)∩σ(T) =?．

又由于ρSF(T)∩σ(T)=[ρSF(T)∩σvaw(T)]∪[ρSF(T)∩{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}]， 而[ρSF(T)∩{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}]=?， 于是有ρSF(T)∩σ(T)=[ρSF(T)∩σvaw(T)]．

1)? 2)，顯然成立．

(10)

(11)

同理可知，λi∈isoσ(T)∪ρ(T)， 其中2≤i≤m. 顯然，n(T-λiI)≤n(f(T)-μ0I)<∞． 因此λ0?isoσvaw(T)， 1≤i≤m． 于是有任給f∈H(T)，f(σvaw(T)) ?σvaw(f(T))． 根據(jù)定理2，任給f∈H(T)，f(T)滿足a-Weyl定理．

3)? 4)．因?yàn)棣?T)=σvaw(T)∪{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0} 而σw(T)∩σvaw(T)=σvaw(T)，σw(T)∩{λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}={λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}，則σw(T)=σw(T)∩σ(T)=σ(T)， 故結(jié)論成立．

4)? 5)顯然成立．

推論3 下列敘述是等價(jià)的.

3)σ(T)={λ∈isoσ(T):n(T-λI)=0}且σw(T)∪?連通．

推論4 下列敘述是等價(jià)的.

3)σ(T)為有限集，σp(T)=?且σw(T)∪?連通．

因此可證明，在推論4中，“σw(T)∪?連通”可改為“σ(T)∪?連通”．

結(jié) 語(yǔ)

本研究基于新定義的譜集σvaw(T)， 給出了對(duì)任意的f∈H(T)，f(T)滿足a-Weyl定理的判定方法，進(jìn)而研究了當(dāng)T為亞循環(huán)算子時(shí)，f(T)滿足a-Weyl定理的充要條件．下一步，我們將對(duì)一般的算子T的函數(shù)演算滿足Weyl’s定理進(jìn)行刻畫．

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【中文責(zé)編：英 子；英文責(zé)編：木 南】

2016-12-22；Accepted：2017-04-18

Professor Cao Xiaohong. E-mail: xiaohongcao@snnu.edu.cn

A-Weyl’s theorem and hypercyclic property for bounded linear operators

Yang Guozeng1, Kong Yingying2, and Cao Xiaohong2

1)School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou Normal University, Zhengzhou 450044, Henan Province, P.R.China； 2) Shaanxi Normal University, Institute of Mathematics and Information Science, Xi’an 710062, Shaanxi Province, P.R.China

linear operator theory; a-Weyl’s theorem; approximate point spectrum; hypercyclic operators; operator function; Fredholm operator; spectrum set; Browder spectrum

：Yang Guozeng, Kong Yingying, Cao Xiaohong. A-Weyl’s theorem and hypercyclic property for bounded linear operators[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2017, 34(4): 372-377.(in Chinese)

O

A

10.3724/SP.J.1249.2017.04372

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471200)

楊國(guó)增(1980—)，男，鄭州師范學(xué)院講師．研究方向：泛函算子理論．E-mail：ygz_0907@163.com

Foundation：National Natural Science Foundation of China (11471200)

引 文：楊國(guó)增，孔瑩瑩，曹小紅．有界線性算子的a-Weyl定理及亞循環(huán)性[J]. 深圳大學(xué)學(xué)報(bào)理工版，2017，34(4)：372-377.