關(guān)于復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)的幾點(diǎn)思考

鐘澎洪+陳靜安

摘要：復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)系課程體系中的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課。在教學(xué)中，由于該門課的內(nèi)容專業(yè)性強(qiáng)，且知識(shí)、定理體系較為復(fù)雜，導(dǎo)致了教學(xué)效果不容樂(lè)觀。結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐與學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋，給出了如何提高課堂教學(xué)效果，讓學(xué)生掌握知識(shí)，并加深對(duì)知識(shí)的理解與運(yùn)用的幾點(diǎn)建議。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)；教學(xué)；比較法

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）27-0188-02

復(fù)變函數(shù)[2，3]是數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課，也是銜接數(shù)學(xué)分析的一門后續(xù)課程，與實(shí)變函數(shù)論可并列為分析類的一門重要課程。該課程可列為分析類的三大基礎(chǔ)課程之一。盡管復(fù)變函數(shù)的知識(shí)定理結(jié)構(gòu)表現(xiàn)在許多性質(zhì)、概念、定義與數(shù)學(xué)分析[1]課程有著相同之處，又與它在某些方面有著實(shí)質(zhì)不同。在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，教師和學(xué)生都會(huì)感到該課程具有內(nèi)容多、知識(shí)定理演繹體系龐雜、思想方法技巧性強(qiáng)、應(yīng)用廣泛等特點(diǎn)，這給教師的教學(xué)還有學(xué)生的學(xué)習(xí)都帶來(lái)了一些的困難。這門課的教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生普遍反映概念難懂，習(xí)題難做。在這樣的情形下，我們高校教師尤其是年輕的教師應(yīng)該如何提高該課程的教學(xué)效果呢？筆者根據(jù)復(fù)變函數(shù)學(xué)科的知識(shí)特點(diǎn)及實(shí)踐中的教學(xué)體會(huì)，對(duì)于提高本課程的教學(xué)的有效性，給出以下幾個(gè)方面感悟與思考。

一、在教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)史和學(xué)科背景的滲透

復(fù)變函數(shù)的理論有著歷史淵源和應(yīng)用的背景，適當(dāng)?shù)刂v解該學(xué)科的歷史和相關(guān)的背景知識(shí)，有利于學(xué)生對(duì)該門科了解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情與興趣。當(dāng)然，由于課時(shí)的限制，教師不可能花較多的時(shí)間去介紹這方面的知識(shí)。此時(shí)，要特別注重在講解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，給予適當(dāng)?shù)膶W(xué)科歷史和背景的介紹，要在非刻意中，潛移默化地讓學(xué)生了解這方面的知識(shí)。

例如，在講解“C-R條件”時(shí)，可以適當(dāng)?shù)亟榻B該方程的發(fā)現(xiàn)的歷史。介紹該條件由來(lái)時(shí)，說(shuō)明是柯西和黎曼研究流體力學(xué)時(shí)，對(duì)該方程做了更詳細(xì)的研究，從而命名的。該方程組的發(fā)現(xiàn)可追溯到歐拉，甚至是達(dá)朗貝爾。該方程最早是由法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在流體力學(xué)中的研究中得到的；另外，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分，也導(dǎo)出了的這兩個(gè)方程。在講Cauchy積分公式時(shí)，讓學(xué)生們思考如何測(cè)得球體中心點(diǎn)電額這一問(wèn)題。若能測(cè)得球體表面各點(diǎn)的電額，則可利用Cauchy積分公式來(lái)測(cè)得球體中心的電額；講保角映射時(shí)，可提到俄國(guó)的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就用該方面的知識(shí)解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問(wèn)題。

在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)中，可以適當(dāng)穿插數(shù)學(xué)史；另外，讓學(xué)生了解該學(xué)科在其他自然科學(xué)和各種工程領(lǐng)域，如理論物理、彈性理論、天體力學(xué)等方面有著廣泛的應(yīng)用。使學(xué)生真正感受到課程的理論方法的歷史和應(yīng)用，從而充分調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性。[4]

二、運(yùn)用類比教學(xué)法幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系

在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中，類比思維有利于在較短的時(shí)間內(nèi)吸收和掌握知識(shí)，并能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。在課堂的教學(xué)中，要充分引導(dǎo)學(xué)生去找尋和發(fā)掘復(fù)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析中的定義、定理的異同。要使學(xué)生不但能看出顯而易見(jiàn)的相同，也要讓他們看出知識(shí)的異中之同或是同中之異。有了這種較有深度的認(rèn)知，可以加深學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)概念、公式、定理的記憶，更能加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思維的能力。

類比教學(xué)的例子非常多，可以說(shuō)復(fù)變函數(shù)的整個(gè)知識(shí)體系和數(shù)學(xué)分析是大體一致的，當(dāng)然，相似之中也存在著差異。例如，講解極限定義的時(shí)候，可以給出它和數(shù)學(xué)分析中極限概念的類比。事實(shí)上，從定義的文字?jǐn)⑹錾峡?，?fù)函數(shù)和實(shí)函數(shù)極限除了個(gè)別字母表示不同之外，二者完全一樣。然而符號(hào)和形式上的一致性并不意味著其內(nèi)涵也一樣。實(shí)函數(shù)在自變量為一維的情形下是有左右極限的，部分學(xué)生會(huì)想當(dāng)然地認(rèn)為復(fù)函數(shù)也有左右極限，這就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)函數(shù)與二維的實(shí)函數(shù)來(lái)作比較，學(xué)生會(huì)更清晰地了解到復(fù)函數(shù)實(shí)際等價(jià)于兩個(gè)二維的實(shí)函數(shù)這一本質(zhì)的特點(diǎn)。最好在課堂上畫出復(fù)函數(shù)的圖像，圖像的直觀、可視化，學(xué)生會(huì)有更深的感知，了解到不能照搬以往的概念來(lái)理解復(fù)函數(shù)，從而克服自身的思維定式。

在講解一致收斂級(jí)數(shù)和函數(shù)的時(shí)候也可做類比的講解。我們可以引導(dǎo)學(xué)生把實(shí)數(shù)域上級(jí)數(shù)的性質(zhì)列出來(lái)，這時(shí)學(xué)生會(huì)列出連續(xù)性、逐項(xiàng)可微性定理和逐項(xiàng)可積性定理。然后可以讓學(xué)生分析復(fù)數(shù)域上的級(jí)數(shù)是否也有相同的性質(zhì)。最后，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在實(shí)數(shù)域上的逐項(xiàng)可微的外爾斯特拉斯定理在復(fù)數(shù)域上有何不同：被求和函數(shù)只要在區(qū)域內(nèi)解析且級(jí)數(shù)內(nèi)閉一致收斂，復(fù)變函數(shù)便可求任意次導(dǎo)數(shù)；而實(shí)函數(shù)級(jí)數(shù)即使一致收斂，且各項(xiàng)可導(dǎo)，也并不能保證可逐項(xiàng)微分。在該過(guò)程中學(xué)生既能復(fù)習(xí)已有的知識(shí)，又能發(fā)現(xiàn)復(fù)級(jí)數(shù)的特性，調(diào)動(dòng)了學(xué)生積極性的同時(shí)又鍛煉了類比的思維技巧。

可以使用比較教學(xué)法的知識(shí)點(diǎn)是非常多的，教師要善于挖掘并將此運(yùn)用到教學(xué)中來(lái)。在教學(xué)中，類比的方式也是非常多的，除以上知識(shí)的橫向類比外，還可以在復(fù)變函數(shù)知識(shí)體系內(nèi)做類比，例如數(shù)與形的類比，一般與特殊的類比等。好的類比可以簡(jiǎn)化學(xué)生的思維負(fù)擔(dān)，學(xué)生在類比探究的過(guò)程中調(diào)動(dòng)了積極性，學(xué)習(xí)了知識(shí)的同時(shí)也鍛煉了思維能力。

三、培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)力思考、總結(jié)

復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)要加強(qiáng)學(xué)生的自我學(xué)習(xí)和獨(dú)立思考探究能力的培養(yǎng)，注重啟發(fā)與討論。教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)過(guò)程，課本的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)固然重要，但是不能只讓學(xué)生通過(guò)機(jī)械的記憶來(lái)掌握，要注重學(xué)習(xí)過(guò)程。由于課時(shí)較緊，可以根據(jù)教學(xué)進(jìn)度，給出預(yù)習(xí)內(nèi)容和布置一些思考題，這樣的處理可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)新課之前就發(fā)現(xiàn)自己知識(shí)中存在的問(wèn)題，從而在聽(tīng)課的時(shí)候有重點(diǎn)有目的，達(dá)到更好的聽(tīng)課效果。

學(xué)習(xí)不是一味地輸灌，要加強(qiáng)學(xué)生自我學(xué)習(xí)過(guò)程的體驗(yàn)。在傳授知識(shí)的時(shí)候，不妨給學(xué)生一定的任務(wù)，去完成課本內(nèi)容的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在嘗試動(dòng)手中學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)，加強(qiáng)學(xué)習(xí)的有效性。但是，考慮到有部分學(xué)生的自覺(jué)性較差，故不能將課本中的重點(diǎn)的、較難的知識(shí)模塊交給學(xué)生自學(xué)。課本知識(shí)的部分內(nèi)容是較為容易且與以前知識(shí)有重疊的，可以交給學(xué)生自學(xué)。例如，有關(guān)復(fù)數(shù)定義及其基本性質(zhì)的內(nèi)容與高中的知識(shí)有重疊；復(fù)平面點(diǎn)集的內(nèi)容與數(shù)學(xué)分析中多元函數(shù)章節(jié)中的平面點(diǎn)集部分非常相似；這兩部分內(nèi)容可交給學(xué)生提前去預(yù)習(xí)，在講解的時(shí)候簡(jiǎn)單羅列相關(guān)概念、性質(zhì)或者不講解這些部分都可以。這樣處理比去詳細(xì)講解要節(jié)省時(shí)間，且學(xué)生不會(huì)覺(jué)得內(nèi)容單調(diào)重復(fù)。

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)各類知識(shí)，只有學(xué)生通過(guò)自己思考糾正才能夠獲得較深的認(rèn)識(shí)和記憶。經(jīng)過(guò)自己動(dòng)手，才能加深理解和記憶，從而真正掌握各知識(shí)點(diǎn)，不斷地提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

四、結(jié)束語(yǔ)

復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要課程，是后續(xù)更專業(yè)性課程的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)了這門課，有利于學(xué)生在后續(xù)課程中進(jìn)一步提高自身專業(yè)知識(shí)與素養(yǎng)。在教學(xué)中要善于比較這門課與數(shù)學(xué)分析專業(yè)課知識(shí)結(jié)構(gòu)的相同之處，同時(shí)也要突出內(nèi)容的特異之處，既善于比較相同，也要善于發(fā)掘不同；另外，在教學(xué)中教師需要注重學(xué)科歷史和應(yīng)用背景，加強(qiáng)背景知識(shí)的滲透；在知識(shí)講解的同時(shí)也不要忽略引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)力思考、總結(jié)知識(shí)，不要忽略學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力的培養(yǎng)，要激發(fā)學(xué)生獨(dú)立探索的欲望，從而使學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)和素養(yǎng)上得到提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2000.

[3]李慶忠.復(fù)變函數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2000.

[4]谷群輝，鄭洲順，何勇，等.本科應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)方法的改革與實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2002，22（4）：23-25.

Abstract：The complex variable function is an important basic course in mathematics course system. In teaching，due to the content of the course is professional，and the knowledge，theorem system is more complex，leading to a not optimistic teaching effect. Combined with own teaching practice and students' learning feedback，this paper gives some suggestions on how to improve the effect of classroom teaching to make students master the knowledge and deepen the understanding and application of knowledge.

Key words：Complex Variable Function；teaching；comparison method