高中數(shù)學概念的特征及教學對策研究

夏國祥

[摘 要] 熟悉高中數(shù)學概念的特征才能更好地促進學生理解和掌握數(shù)學概念，有效的概念教學應該關注學生的學習過程，應該關注整個概念體系的結構，應該借助于變式訓練來強化訓練，提升學生的科學素養(yǎng).

[關鍵詞] 高中數(shù)學；概念；構建

概念學習是高中數(shù)學學習的核心，如何組織有效的概念教學呢？應該從數(shù)學概念的特征出發(fā)優(yōu)化高中概念學習的形式，監(jiān)控數(shù)學概念學習的過程，最大限度地優(yōu)化教學.

高中數(shù)學概念的特征分析

要實現(xiàn)概念教學有效性的提升，并監(jiān)控學生的概念學習過程，我們首先對高中數(shù)學概念的特點要有所了解，下面筆者根據(jù)實踐和經(jīng)驗將其特點做以下小結：

1. 數(shù)學概念的抽象性

在數(shù)量關系和空間表現(xiàn)形式上數(shù)學概念是抽象的，形式化和符號化是概念所用的專業(yè)語言表示，對象的物質性質往往與其沒有關聯(lián)，抽象性很強，因為這個特點，應用數(shù)學知識概念的領域才更加廣泛.

2. 數(shù)學概念的相對具體性

從概念體系這個層面來看，數(shù)學概念體系的構成是逐層深入的，高層次概念構成的基礎是數(shù)學對象和低層次概念. 但從另一層面來說，相對于數(shù)學判斷和推理來講概念是知識體系中實在的具體知識.

3. 數(shù)學概念的邏輯聯(lián)系性

各個概念在邏輯上都有著很強的內在關聯(lián)，以邏輯定義后才能建立新的概念，從概念體系的角度來看，數(shù)學邏輯體系需要各個相互關聯(lián)的概念.

數(shù)學概念學習有哪些形式

通過理論性研究和實踐操作，我們不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律始終是其特性，有意義構建概念有“概念形成”與“概念同化”兩種形式.

1. 概念形成的含義

在例證中運用“歸納”這一方法把同一類數(shù)學對象的本質屬性進行提煉繼而形成新的概念的過程叫作概念形成.

2. 概念同化的含義

學生在概念陳述時主動運用定義的形式并借助于頭腦中的認知表象，將新舊知識進行有意義的聯(lián)系、作用的過程叫作概念的同化，我們通常把其學習方法叫作“邏輯法”，學生原有概念體系的牢固與否，以及學生遷移和邏輯思維能力是決定學生學習效率的關鍵性因素.

高中數(shù)學概念教學策略研究

1. 關注學生的認知基礎

學生是學習的主體，因此我們在概念教學時必須從學生的認知基礎出發(fā)，感性材料、問題的設置都應該從學生熟悉的情境或原有的認知基礎出發(fā)，通過有效問題情境的創(chuàng)設來激活學生的思維，將學生帶入數(shù)學知識探究活動中來.具體而言，有如下幾種方法：

（1）教師要善于挖掘新、舊概念之間的關聯(lián)

數(shù)學概念具有其特有的邏輯性與整體性且自成體系，所以，我們要注重挖掘新、舊概念之間的關聯(lián).

比如，教師可以把“并集”和“交集”的聯(lián)系挖掘出來并進行正方向的概念聯(lián)結；也可以把“橢圓”和“圓”建立聯(lián)結展開學習，“雙曲線”和“橢圓”建立聯(lián)結展開學習.

（2）關注數(shù)學概念的形成過程

數(shù)學概念是如何形成的？關注形成過程，即帶領學生一起追本溯源，回顧數(shù)學史，通過這個過程讓學生感受到生活與數(shù)學之間、數(shù)學概念體系內部的結構和發(fā)展脈絡，繼而實現(xiàn)對數(shù)學概念的認識逐漸地深化.

例如，“復數(shù)”概念的師生共學中，與學生回憶“實數(shù)”概念的發(fā)展史成為筆者第一時間做的事情. 繼而用問題來引導：“如何解決實數(shù)集中對負數(shù)開偶數(shù)次方不能實施這一問題呢？” 引進一種“新數(shù)”在數(shù)的發(fā)展角度層面也就很自然了，那么這種新數(shù)又應該符合哪些條件呢？在學生建立各運算方法均能運用的認知以后，教師適時引進虛數(shù)單位i，學生在心理上有了適應，復數(shù)概念也就得到了真正的落實.

2. 關注數(shù)學問題涉及的概念“本源”

概念學習效果最終是通過數(shù)學問題的解決來檢驗的，我們在教學過程中應該借助于數(shù)學問題來引導學生一起探尋問題所涉及的概念的本源.

例題：曲線C是平面內與定直線x= -2和定點F（2，0）的距離之積等于4的點的軌跡，根據(jù)上述條件，你能得到以下哪些結論是正確的？

（1）曲線C經(jīng)過坐標原點；（2）x軸是曲線C的對稱軸；（3）y軸與曲線C存在3個交點；（4）對于曲線C上的一點M，有MF≥2（ -1）.

那么這個數(shù)學問題能不能在我們數(shù)學教材中找到與之有關的概念原型呢？只有找到了原型，才能將正確的方法遷移過來. 如果我們有這方面的思考，很自然地會將學生的關注點引向“曲線對應的幾何性質”中去，繼而找到模型，如焦點在x軸上的橢圓方程，學生的思維切換到此類問題的解法，所涉及的概念也就自然浮現(xiàn)于腦海之中，有：橢圓上的點（x，y）的坐標取值范圍；橢圓的頂點；橢圓的對稱性；橢圓上的點到橢圓焦點之間距離的最值問題. 在找到數(shù)學概念本源后，下面問題的解決就顯得有序了.

首先，“曲線C是平面內與定直線x=-2和定點F（2，0）的距離之積等于4的點的軌跡”這個條件我們應怎么處理？設曲線C上的任意一點M（x，y），我們可以將這個文字表達轉化為符號語言 ·x+2=4，從該方程出發(fā)對題目中所給的4個結論進行辨析.

對于（1），我們可以將“橢圓頂點”的求解方法遷移過來. 曲線C是否經(jīng)過坐標原點？可以將原點的坐標代入前面得到的方程 ·x+2=4，等式成立則說明結論（1）是正確的.

對于（2），我們可以將“橢圓的對稱性”判斷的方法遷移過來. x軸是否是曲線C的對稱軸？可以令-y代換方程 ·x+2=4中的y，結果發(fā)現(xiàn)方程沒有發(fā)生改變，說明結論（2）是正確的.

對于（3），我們可以將“橢圓頂點”的求解方法遷移過來. 令 ·x+2=4中x=0，可得2 =4，y2=0，y=0，由此可見y軸與曲線C只存在1個交點，結論（3）是錯誤的.

對于（4）我們可以將“橢圓上點的坐標取值范圍”、“橢圓上的點與焦點間距離的最值”這兩個問題的求解方法遷移過來. 對于曲線C上的一點M，則有MF= ，結合曲線方程 ·x+2=4可得MF= ，如何求其最小值？將問題直接引向如何確定x的取值范圍，由方程 ·x+2=4可知y2= -（x-2）2≥0，且x≠-2，即 ≥0（x≠-2），得16-（x2-4）2≥0，（x2-4）2≤16，-4≤x2-4≤4，解得-2 ≤x≤2 （x≠2），所以當x=2 時，MF= 取最小值，最小值為2（ -1），結論（4）是正確的.

3. 加強變式訓練

從接觸概念到學生吸收內化概念的整個過程中，變式和比較這兩種數(shù)學學習中慣常所用的方式對于學生掌握數(shù)學概念本質特征是有利的.

（1）加強變式訓練應用

“變式”教學有利于概念本質特征的突出，能夠借力于概念正向變化使得學生輕松排除跟概念沒有關系的特征.

比如，“復數(shù)”學習時，2+3i，-5i， -4i等例子可能使得學生產(chǎn)生錯誤的認知，繼而把b≠0看成為a+bi（a，b∈R）的本質特征，因此，教師在這幾個例子之外還應補充2-3 等例子，使得學生輕松排除與之無關的特征，使得復數(shù)這個概念得以順利構建.

（2）加強比較練習應用

正向例子之間以及正反兩向例子之間的比較都是存在的，共同本質特征在正向比較中獲得，而對于本質和非本質特征的深度理解則可以從后者的比較中獲得.

比如，點、線、面各個不同空間距離的知識體系中，筆者曾經(jīng)梳理了不同空間“距離”概念的比較，整個知識梳理涵蓋了共性和區(qū)別的比較，有效促進了學生對這個知識體系中各個概念的理解，也使得空間距離這個整體概念得以順利、完整地構建.

如果要使學生對于數(shù)學概念的掌握比較牢固且運用靈活，強化訓練也是必需的. 到了學習的一定程度，歸納、分類、概括、提高等都是促進學生深層次思考的強化手段，為了促進學生知識的內化吸收，反復強化是必不可少的. 不斷重復、有針對性的強化練習也使得學生真正系統(tǒng)地掌握了學過的概念，并做到融會貫通.

對于高中數(shù)學概念教學而言，我們在教學資源的選擇、情境的選擇時都應該從學生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，只有重視學生的學習心理特點和原有的認知基礎，學生才能將現(xiàn)學的數(shù)學概念與原有的概念有效聯(lián)結形成結構化的、整體的概念體系. 我們的概念教學應該引導學生關注概念的形成過程，和學生一起追溯數(shù)學問題的本源，只有這樣才能豐富學生的過程體驗，促進學生的過程目標和情感目標的有效達成，此外，還必須強化變式訓練，借此提高學生對數(shù)學概念理解的穩(wěn)固度.