專題研究：高中物理中的串并聯(lián)問題

沈陽市第二中學　沈小冬

串并聯(lián)是調(diào)節(jié)、擴大元件性能的一種方法，高中物理中除了有電阻串并聯(lián)問題以外，還牽涉電容、彈簧、電源的串并聯(lián)問題。本文先研究電阻串并聯(lián)問題，分析其連接方式界定，電壓、電流、功率等分配規(guī)律，等效值推導，高考真題解析等，再類比電阻研究方法分析電容、彈簧、電源串并聯(lián)的各項規(guī)律，最終形成類比表格，有利于提高對各種串并聯(lián)規(guī)律的理解。

電學、力學元件通過串并聯(lián)的方式來實現(xiàn)性能的調(diào)節(jié)和擴大。學習過程中對電阻串并聯(lián)的規(guī)律關(guān)注較多，而對電容、彈簧、電源等其他元件的串并聯(lián)研究較少。當教材或高考中出現(xiàn)其他元件串并聯(lián)問題時，學生們往往感覺力不從心，因此系統(tǒng)地梳理電阻串并聯(lián)的研究方法是非常有必要的，再以此類比研究其他元件的串并聯(lián)規(guī)律。

一、電阻

1.電阻串并聯(lián)判斷

（1）定義法

圖1-1　

圖1-2

圖1-3

根據(jù)串并聯(lián)的定義，當把兩個電阻首尾相連，接到電路中，這兩個電阻就是串聯(lián)，如圖1-1。兩個電阻兩端分別連在一起，然后接到電路中，這兩個電阻就是并聯(lián)，如圖1-2。

（2）物理法

有的電路圖在畫的時候，由于電阻的位置，導線的分布干擾，導致很難看清串并聯(lián)關(guān)系。這時，比較適合根據(jù)串并聯(lián)物理量關(guān)系，來判定連接方式。電阻串聯(lián)時，通過電阻的電流相同；并聯(lián)時，電阻兩端的電壓相同。圖1-3中，三個電阻都接在φA和φB之間，所以它們屬于并聯(lián)關(guān)系。

2.電阻串并聯(lián)分配規(guī)律

（1）串聯(lián)電壓、功率分配規(guī)律

根據(jù)電壓U=IR，串聯(lián)電路電流相同，電壓的分配關(guān)系為 U1∶U2∶...UN=R1∶R2∶...RN， 電壓與電阻成正比。根據(jù)電功率P=I2R，功率的分配關(guān)系為P1∶P2∶...PN=R1∶R2∶...RN，電功率與電阻成正比。

（2）并聯(lián)電流、功率分配規(guī)律

3.等效電阻的規(guī)律

（1）串聯(lián)

多個電阻串聯(lián)，在電路中對電流的阻礙作用可等效成一個電阻，根據(jù)電阻定義，U=IR+IR，12得R串=R1+R2，電阻串聯(lián)后電阻值增大。

（2）并聯(lián)

多個電阻并聯(lián)，在電路中對電流的阻礙作用也可等效成一個電阻，根據(jù)，得

（2）串并聯(lián)機理

4.串并聯(lián)機理認識

（1）影響電阻大小的因素面積電阻串聯(lián)，可以理解為長度變長，由，也可以得到串聯(lián)電路等效電阻規(guī)律。串聯(lián)就是通過改變元件的長度來改變元件性能。

兩個相同材料、相同長度電阻并聯(lián)，可以理解為截面積變大，由，也可以得到并聯(lián)電路等效電阻規(guī)律。并聯(lián)就是通過改變元件的截面積來改變元件性能。

5.高考題分析

例1（2016年海南卷第12題）某同學改裝和校準電壓表的電路圖如圖所示，圖中虛線框內(nèi)是電壓表的改裝電路。

（1）已知表頭G滿偏電流為100μA，表頭上標記的內(nèi)阻值為900Ω。R1、R2和R3是定值電阻。利用R1和表頭構(gòu)成1mA的電流表，然后再將其改裝為兩個量程的電壓表。若使用a、b兩個接線柱，電壓表的量程為1V；若使用a、c兩個接線柱，電壓表的量程為3V。則根據(jù)題給條件，定值電阻的阻值應選R1=____Ω，R2=____Ω，R3=____Ω。

（2）用量程為3V，內(nèi)阻為2500Ω的標準電壓表V對改裝表3V擋的不同刻度進行校準。所用電池的電動勢E為5V；滑動變阻器R有兩種規(guī)格，最大阻值分別為50Ω和5kΩ。為方便實驗中調(diào)節(jié)電壓，圖中R應選用最大阻值為____Ω的滑動變阻器。

【答案】（1）1009102000（2）50

【解析】本道高考題中，將R1和表頭并聯(lián)構(gòu)成1mA的電流表，就是利用并聯(lián)的分流效果。再將其和R2和R3串聯(lián)，改裝為兩個量程的電壓表，是利用串聯(lián)的分壓作用。本題還考查了兩種常見控制電流中的分壓式連接方式，分壓式控制方法是利用混聯(lián)電路的作用，實現(xiàn)小電阻對大電阻上電壓的調(diào)節(jié)。

二、電容

1.電容串并聯(lián)判斷

圖2-1　

圖2-2

按照串并聯(lián)的定義，圖2-1的電容屬于串聯(lián)關(guān)系，圖2-2的電容屬于并聯(lián)關(guān)系。電容串聯(lián)時，相鄰電容的正極和負極連在一起，原本兩極是電中性，現(xiàn)在電荷發(fā)生移動，所以正極和負極帶電量相同。所以串聯(lián)的電容帶電量相同。電容并聯(lián)時，電容兩端電壓相同。所以也可以根據(jù)電量和電壓關(guān)系判斷串并聯(lián)。

2.電容串并聯(lián)分配規(guī)律

（1）串聯(lián)電壓分配規(guī)律

（2）并聯(lián)電量分配規(guī)律

根據(jù)Q=CU，并聯(lián)電容器的電壓相等，Q1∶Q2=C1∶C2，電量與電容成正比。

3.等效電容的規(guī)律

（1）串聯(lián)

（2）并聯(lián)

4.串并聯(lián)機理認識

（1）影響平行板電容器電容大小的因素

平行板電容器電容大小跟兩板的正對面積s、兩板的間距d，以及板間的電介質(zhì)相對介電常數(shù)εr有關(guān)，表達式為

（2）串并聯(lián)機理

5.高考題分析

例2（2008年寧夏卷第21題）如圖所示，C為中間插有電介質(zhì)的電容器，a和b為其兩極板；a板接地；P和Q為兩豎直放置的平行金屬板，在兩板間用絕緣線懸掛一帶電小球；P板與b板用導線相連，Q板接地。開始時懸線靜止在豎直方向，在b板帶電后，懸線偏轉(zhuǎn)了角度α。在以下方法中，能使懸線的偏角α變大的是

A.縮小 a、b 間的距離

B.加大 a、b 間的距離

C.取出a、b兩極板間的電介質(zhì)

D.換一塊形狀大小相同、介電常數(shù)更大的電介質(zhì)

【答案】BC

【解析】本題中的兩個電容，很多學生從連接方式中看，誤以為是串聯(lián)關(guān)系，但從物理量關(guān)系可知，這兩個電容屬于電壓相同，而不是帶電量相同，所以是并聯(lián)關(guān)系。并聯(lián)電容，每個電容帶電量與電容值成正比，題中兩板電荷量Q視為不變。要使懸線的偏角增大，就是增加右側(cè)電容帶電量，即減小左側(cè)電容帶電量，所以要減小左側(cè)電容器的電容C值。根據(jù)可知，可以增大板間距d、減小相對介電常數(shù)εr，減小板的正對面積s。也可通過等效電容來理解，要使懸線的偏角增大，就是使得電容器電壓變大，并聯(lián)電容電壓相同，等效電容C并=C1+C2，根據(jù)，減小左側(cè)電容值，就可以減少等效電容值，從而提高電壓，增大懸線的偏角。

三、彈簧

1.彈簧串并聯(lián)判斷

圖3-1　

圖3-2

圖3-3

根據(jù)定義圖3-1兩個彈簧為串聯(lián)關(guān)系，圖3-2為并聯(lián)關(guān)系。串聯(lián)彈簧，力相同；并聯(lián)彈簧，長度變化相同。圖3-3長度變化相同，共同作用于一個物體，效果等同于彈簧在一側(cè)，是并聯(lián)關(guān)系。

2.彈簧串并聯(lián)分配規(guī)律

（1）串聯(lián)形變量、彈性勢能分配規(guī)律

根據(jù)胡克定律F=kx，串聯(lián)彈簧的彈力相同，x1k1=x2k2，得，形變量與勁度系數(shù)成反比。根據(jù)彈性勢能表達式，得，彈性勢能也與勁度系數(shù)成反比。

（2）并聯(lián)彈力、彈性勢能分配規(guī)律

根據(jù)胡克定律F=kx，原長相同的彈簧并聯(lián)，形變量相同，得，彈力與勁度系數(shù)成正比。根據(jù)彈性勢能表達式，得彈性勢能也與勁度系數(shù)成正比。

3.等效彈簧的規(guī)律

（1）串聯(lián)

（2）并聯(lián)

4.串并聯(lián)機理認識

（1）影響彈簧勁度系數(shù)的因素

彈簧的勁度系數(shù)表示彈簧的一種屬性，其大小與彈簧的材料、彈簧絲的粗細、彈簧圈的直徑、彈簧的原長等因素有關(guān)，此外，彈簧所處的環(huán)境溫度也對勁度系數(shù)有影響，這是由彈簧材料性質(zhì)決定的。在教學和生活中經(jīng)常使用的圓柱形彈簧，通常是由細絲密繞而成，其勁度系數(shù)可以近似表示為k=，G為彈簧材料的剪切模量，r為彈簧絲半徑，n為有效圈數(shù)，R為彈簧的半徑，有效圈數(shù)與圓柱形彈簧的原長的關(guān)系為L=2rn，因為這類彈簧是密繞而成的，帶入上式可得

（2）串并聯(lián)機理

兩個完全相同的彈簧串聯(lián)，可以理解為彈簧長度L或者理解為有效圈數(shù)n加倍，根據(jù)或，則勁度系數(shù)變?yōu)樵瓉淼囊话?。反之，一個圓柱形的彈簧截成兩個原長相等的彈簧，那么得到的新彈簧的勁度系數(shù)比原來大，因為長度變?yōu)樵瓉硪话耄詣哦认禂?shù)變?yōu)樵瓉?倍。

5.高考題分析

例3（2014年新課標Ⅱ卷第23題）某實驗小組探究彈簧的勁度系數(shù)k與其長度（圈數(shù)）的關(guān)系。實驗裝置如圖（a）所示：一均勻長彈簧豎直懸掛，7個指針 P0、P1、P2、P3、P4、P5、P6分別固定在彈簧上距懸點 0、10、20、30、40、50、60 圈處；通過旁邊豎直放置的刻度尺，可以讀出指針的位置，P0指向0刻度。設彈簧下端未掛重物時，各指針的位置記為x0；掛有質(zhì)量為0.100kg的砝碼時，各指針的位置記為x。測量結(jié)果及部分計算結(jié)果如下表所示（n為彈簧的圈數(shù)，取重力加速度為9.80m/s2）。已知實驗所用彈簧總?cè)?shù)為60，整個彈簧的自由長度為11.88cm。

P1　P2　P3　P4　P5　P6x0（cm）　2.04　4.06　6.06　8.05　10.03　12.01 x（cm）　2.64　5.26　7.81　10.30　12.93　15.41 n　10　20　30　40　50　60 k（N/m）　16.3?、佟?6.0　43.6　33.8　28.8 1/k（m/N） 0.0061?、凇?.0179　0.0229　0.0296　0.0347

（1）將表中數(shù)據(jù)補充完整：①____，②____。

（2）以 n 為橫坐標，1/k 為縱坐標，在圖（b）給出的坐標紙上畫出1/k-n圖像。

（3）圖（b）中畫出的直線可近似認為通過原點，若從實驗中所用的彈簧截取圈數(shù)為n的一段彈簧，該彈簧的勁度系數(shù)k與其圈數(shù)n的關(guān)系的表達式為k=____N/m；該彈簧的勁度系數(shù)k與其自由長度l0（單位為m）的關(guān)系的表達式為k=____N/m。

【答案】（1）①81.7②0.0122

（2）略

【解析】本題是實驗題，目的是考查通過實驗歸納找尋規(guī)律的能力。雖然只有一根彈簧，但可以理解為長短不同的6根彈簧。彈簧串聯(lián)可以理解為增加長度，根據(jù)，兩個相同彈簧串聯(lián)，勁度系數(shù)減半，N個相同彈簧串聯(lián)，勁度系數(shù)減為原來的，所以勁度系數(shù)與自由長度l0（圈數(shù)n）成反比就好理解了。

四、電源

1.電源串并聯(lián)判斷

圖4-1　

圖4-2

圖4-3

根據(jù)定義，圖4-1中兩個電源是串聯(lián)關(guān)系，也可通過串聯(lián)電源的電流相同來判斷。圖4-2中兩個電源是并聯(lián)關(guān)系，也可通過并聯(lián)電源的路端電壓相同來判斷。

2.電源串并聯(lián)電流、電壓、功率分配規(guī)律及等效電動勢內(nèi)阻

（1）理想恒流電源串聯(lián)

恒流電源相當于內(nèi)阻無窮大，兩個恒流電源IA=IB=I并聯(lián)，外接線性電阻元件R，如圖4-1。通過電阻的電流為I，電源路端電壓U=IR，這種情況等效于兩個電源內(nèi)阻比外電路電阻大得多，電源的能量基本消耗在內(nèi)電路上。恒流電源IA≠IB串聯(lián)沒有事實基礎，這樣的物理模型沒有意義。

（2）理想恒壓電源并聯(lián)

恒壓電源相當于內(nèi)阻為零，兩個恒壓電源EA=EB=E（rA=rB=0）并聯(lián)，外接線性電阻元件R，如圖4-2。電源路端電壓U=E，通過負載電阻的電流這種情況等效于兩個電源共同為外電路提供能量，且電源的能量消耗在外電路上，內(nèi)部幾乎沒有能量消耗。恒壓電源EA≠EB并聯(lián)沒有事實基礎，這樣的物理模型沒有意義。

（3）實際電源串聯(lián)

兩個實際電源串聯(lián)，電動勢EA≠EB，內(nèi)阻不為零且 rA≠rB，如圖 4-1，IA=IB=I，Uac=IR，Uab=EA-IArA，Ubc=EB-IBrB，Uac=Uab+Ubc，解之得 Uac=（EA+EB）-I（rA+rB），I=。電動勢等效成E=EA+EB，內(nèi)阻等效成 rA和 rB串聯(lián)，r等效=rA+rB。 電源總功率 P=EI，得兩個電源總功率之比。

（4）實際電源并聯(lián)（等電動勢）

兩個實際電源并聯(lián)，電動勢EA=EB=E，內(nèi)阻不為零且 rA≠rB，如圖 4-2。 U=IR，I=IA+IB，U=EA-IArA，U=EB-IBrB。解之得

電動勢等效成一個電動勢E，內(nèi)阻等效成rA和rB并聯(lián)，。電源總功率P=EI，得兩個電源總功率之比。

（5）實際電源反向串聯(lián)

兩個實際電源反向串聯(lián)，如圖4-3，以順時針為正方向。將（3）實際電源串聯(lián)的推導中，方程中的EB改寫成-EB， 結(jié)果得 Uac=（EA-EB）-I（rA+rB），I=。電動勢等效成E=EA-EB。

3.串并聯(lián)機理認識

化學電池的電動勢取決于陽極和陰極材料，跟材料化學反應面積沒有關(guān)系，電源并聯(lián)，等效成改變反應面積，所以電動勢不變。電池內(nèi)阻跟材料的截面積有關(guān)，所以并聯(lián)后截面積變大，等效電源的內(nèi)阻減小。

導體棒切割引起的電動勢大小E=BLV。雙導體棒在磁場中切割，串聯(lián)時可以理解成棒長變長，所以電動勢變大，內(nèi)阻也變大；并聯(lián)時可以理解為截面積變大，電動勢跟截面積無關(guān)，所以等效電動勢不變，等效內(nèi)阻變小。

4.高考題分析

例4（2011年海南卷第16題）如圖，ab和cd是兩條豎直放置的長直光滑金屬導軌，MN和 M′N′是兩根用細線連接的金屬桿，其質(zhì)量分別為m和2m。豎直向上的外力F作用在桿MN上，使兩桿水平靜止，并剛好與導軌接觸；兩桿的總電阻為R，導軌間距為l。整個裝置處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向與導軌所在平面垂直。導軌電阻可忽略，重力加速度為g。在t=0時刻將細線燒斷，保持F不變，金屬桿和導軌始終接觸良好。求

（1）細線燒斷后，任意時刻兩桿運動的速度之比；

（2）兩桿分別達到的最大速度。

【答案】（1）v1∶v2=2∶1

【解析】本題細線燒斷后，桿MN在外力F作用下向上運動，電動勢方向為逆時針，桿M′N′在重力作用下，向下運動，電動勢方向也為逆時針，兩個棒電動勢屬于同向串聯(lián)，等效電動勢等于E=Blv1+Blv2，等效內(nèi)阻為兩個電阻的和。

2016年新課標Ⅱ卷第20題，考查了法拉第圓盤發(fā)動機，如圖4-4所示。圓盤切割，可以理解為半徑在磁場中旋轉(zhuǎn)切割，電動勢，所有半徑形成切割電動勢屬于并聯(lián)關(guān)系，等效成一個半徑切割的電動勢。

圖4-4　

圖4-5

2016年新課標Ⅲ卷第25題，考查了感生電動勢和動生電動勢同時存在的情況，如圖4-5。瞬時感生電動勢E感=ks，瞬時動生電動勢E動=B0lv0，根據(jù)楞次定律和右手定則，電動勢的方向相同，所以電路中的等效電動勢E=E感+E動=ks+B0lv0。

五、結(jié)論

根據(jù)上述分析的結(jié)論，將電阻、電容、彈簧、電源串并聯(lián)規(guī)律進行類比，總結(jié)見表1。包括串并聯(lián)的相同量，分配規(guī)律，等效值等。

表1　電阻、電容、彈簧、電源串并聯(lián)規(guī)律類比分析

通過類比，可以看出電阻、電容、彈簧、電源串并聯(lián)規(guī)律有很多相似的地方，利用較熟悉的結(jié)論，啟發(fā)學生掌握新的知識，有利于理解和記憶，降低難度。

以電容為例，確定串并聯(lián)關(guān)系，不應只簡單從結(jié)構(gòu)上看電容連結(jié)方式，更應該從連結(jié)電容的相同之處入手，串聯(lián)電容的帶電量相同，并聯(lián)電容的電壓相同，這樣分析有利于復雜結(jié)構(gòu)或混聯(lián)情況下確定串并聯(lián)關(guān)系。等效值也不應停留在定義上，應該學會推導等效電容與分電容值之間的關(guān)系，可以從影響電容值因素出發(fā)，再分析串并聯(lián)對其因素的影響，從而理解串并聯(lián)等效值結(jié)論。平行板電容器電容值與正對面積成正比，并聯(lián)電容相當于增加正對面積，所以等效電容值等于電容相加。這樣有利理解串并聯(lián)等效值的本質(zhì)。串并聯(lián)的目的，不是簡單的增強或削弱功能，還具有對原有元件的調(diào)節(jié)作用。通過電容的并聯(lián)，可以對原有電容上的電壓和電量起到調(diào)節(jié)作用，所以，串并聯(lián)不僅要研究等效值問題，還要重視、參與串并聯(lián)元件間各物理的分配規(guī)律，全面理解串并聯(lián)功能。