含參函數(shù)的零點問題的處理策略

東北育才雙語學?！●R江寧

函數(shù)是每年高考數(shù)學中的必考問題.“含有參數(shù)的零點問題”涉及等式的分拆與變形、函數(shù)圖像和性質(zhì)的探究，往往要求考生利用多種手段對函數(shù)的圖像、性質(zhì)進行研究，并且問題的解決往往涵蓋函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等四種數(shù)學思想，因此備受命題人的青睞，成為近年高考數(shù)學中的熱點問題.

含參函數(shù)的零點問題的特點是參數(shù)的不同取值對函數(shù)的零點產(chǎn)生影響.從題目形式上看分為兩種：一是可分離參數(shù)的函數(shù)，二是不可分離參數(shù)的函數(shù)，而后者往往以復合函數(shù)的形式出現(xiàn).下面我們對這兩類問題舉例研究.

一、可分離參數(shù)的函數(shù)零點問題的處理策略

例1函數(shù)f（x）=x2-ax+1在區(qū)間上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是____.

【解析】題意等價于方程x2-ax+1=0，在區(qū)間內(nèi)有解，又x=0不是方程的解，

則f（x）=x2-ax+1的零點問題等價于y=a與y=的交點個數(shù)問題，

其圖像如下圖所示：

【總結(jié)提升】可以分離參數(shù)的函數(shù)的零點問題往往是：已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)取值范圍.解決這類問題，我們可以先把所求變量進行分離，然后畫出分離變量后的函數(shù)圖像 （函數(shù)確定，圖像固定——靜），最后通過平移直線（參數(shù)變化，直線平動——動），采用動靜結(jié)合的方式，形象直觀地找符合題意的交點情況進行解答.

同時要學會辯證地處理問題，比如有些題目分離出簡單的含參函數(shù)更為簡潔，接下來只需要考查該函數(shù)隨著參數(shù)的變化規(guī)律即可，看下面的例子.

例2已知函數(shù)，若函數(shù)g（x）=f（x）-k（x-1）恰有兩個零點，則實數(shù) k 的取值范圍為____.

【解析】題意即求直線 y=k（x-1）與函數(shù) y=f（x）何時有兩個交點.

其圖像如下圖所示：

觀察圖像可知：

①直線 y=k（x-1）過原點或與函數(shù) y=f（x）的圖像相切時，函數(shù) g（x）=f（x）-k（x-1）恰有兩個零點.

令 Δ=（2-k）2-4k=0，

③直線y=k（x-1）過原點時，即k3=0也符合題意.

綜上，所求實數(shù)的范圍是

【總結(jié)提升】同例1一樣，例2利用分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)換成兩個函數(shù)在定義域內(nèi)的交點個數(shù)問題，不同之處在于例2中分離出的是個一次函數(shù)，進而將函數(shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化成繞一定點的動直線與函數(shù)的交點的個數(shù)問題.同學們在處理具體問題時，要以分離出哪種形式更簡潔、更利于研究函數(shù)的性質(zhì)為原則.

例3已知函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是____.

【解析】因為x=0不是函數(shù)f（x）的零點，

m=0 時，函數(shù) f（x）無零點，

故只需討論x，m≠0的情況即可.

綜上，m的取值范圍是m＞1.

【總結(jié)提升】例3分離參數(shù)時，同學們可能采用了不同的分離參數(shù)方式，如分離出等，但是為了方便畫函數(shù)圖像，這里采取了分離出.對比以上三個例題，同學們在分離參數(shù)時要學會權衡拆分成何種形式更為簡潔.

在這里還要提醒同學們在轉(zhuǎn)化與化歸過程中，注意方程的等價性，請看下面的例子.

例4若關于x的方程有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是____.

【總結(jié)提升】例4和例3的分離參數(shù)的方法相同，但是在化簡時，兩邊同時約掉了，注意x=0就是方程的一個解，我們只需要研究化簡后的方程有三個不為零的解即可.對比以上兩個問題，在分離參數(shù)時不僅僅要注意分離的形式不同，還要注意在整理變形時可能會出現(xiàn)導致零點個數(shù)發(fā)生改變的情況.

鞏固練習

參考答案：

1.A2.B3.0，1]（4.（-∞，0）∪（0，1）

二、不可分離參數(shù)的函數(shù)零點問題的處理策略

不可分離參數(shù)的函數(shù)零點問題往往以復合函數(shù)的形式出現(xiàn)，處理這類問題的關鍵是采用換元法將內(nèi)外層函數(shù)分開，再利用分離參數(shù)的方法研究.這類問題的處理方式有兩種：一是由內(nèi)而外分析.研究由于自變量的變化導致內(nèi)層函數(shù)變化，再研究由內(nèi)層函數(shù)的變化導致外層函數(shù)變化；二是將內(nèi)層函數(shù)進行換元，由外而內(nèi)進行研究.下面我們對這兩種研究方式舉例說明.

例5已知函數(shù)若f（f（x））=t有 3 個零點，則 t的取值范圍是 ____.

【解析】f（x）的圖像如圖所示：

令 f（x）=m，

則由于x的變化，m隨之變化，進而f（m）隨之變化.

其變化情況如下表：

x 0→1　1→3 m=f（x）　1→3　3→0 f（m）　3→0　0→3→1

因此 f（f（x））=t解的情況可由下圖分析：

由圖像分析得，要使 f（f（x））=t有 3 個零點，只需 1≤t＜3 即可.

例6已知y=f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，當，若關于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0（a，b∈R）有且僅有6個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是____.

【解析】作出函數(shù) f（x）的圖像如下：

如圖可知， f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上遞增，在（-2，0）和（2，+∞）上遞減，

當 x=0 時，函數(shù)取得最小值 f（0）=0.

要使關于x的方程

有且僅有6個不同實數(shù)根，

設 t=f（x），

當 t＜0，方程 t=f（x）有 0 個根，

當 t=0，方程 t=f（x）有 1 個根，

則t2+at+b=0必有兩個根t1、t2，

則有兩種情況符合題意：

例7已知函數(shù)，方程 f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數(shù)根，則t的取值范圍是____.

其函數(shù)圖像如圖所示：

要使方程 f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實根，令f（x）=m，則方程m2+tm+1=0應有兩個不等根m1，m2，且

【總結(jié)提升】

1.復合函數(shù)的零點問題處理方法有兩種：

一是由內(nèi)及外的分析方法，例5研究的思路是由x的變化分析m的變化情況，再研究f（m）的變化規(guī)律.進而利用分離參數(shù)的方法解決.

二是由外及內(nèi)的分析方法，如例6設t=f（x），進而將問題轉(zhuǎn)換成t2+at+b=0的兩個實根t1、t2與f（x）的交點個數(shù)問題.

2.例7和例6相比區(qū)別在于：m1，m2的范圍不僅僅是，還要滿足 mm=1，這樣才12導致了t的范圍發(fā)生了進一步的改變.同學們思考一下將例6中的b改成又會有什么改變？（提示：兩根之差為定值）

鞏固練習

1.已知函數(shù)f（x）=3sin2x-sinx+a在x∈0，2π）[有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案：

2.c=0，-1＜b＜0；

3.b＜-2；

4.[1，54）

本文主要針對含參函數(shù)的零點問題進行研究，考生要把握好怎樣分離參數(shù)，分離出哪種形式才能使問題的解決更加簡潔，同時注意整理化簡時零點個數(shù)是否發(fā)生改變，最終把問題轉(zhuǎn)換成兩個函數(shù)圖像相交交點個數(shù)問題來處理，采用動靜結(jié)合的方式，形象直觀地找出符合題意的解.對于復合函數(shù)的零點問題要把握好內(nèi)外兩層函數(shù)之間的關系，采用由內(nèi)而外或者由外而內(nèi)的思路，利用換元法轉(zhuǎn)換成可以分離參數(shù)的形式去解決.只要我們適當轉(zhuǎn)換靈活應對，相信在考試中一能取得優(yōu)異成績，祝同學們2017高考成功！