試分析“構(gòu)造法”在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

劉玲

摘 要：在運(yùn)用構(gòu)造法的解題過(guò)程中，學(xué)生其實(shí)主要就是要實(shí)現(xiàn)“未知量”與“已知量”之間的轉(zhuǎn)化，然后獲取更多的有利于解題的條件，從而更為快速地解決難題。因而教師在介紹“構(gòu)造法”時(shí)，會(huì)著重突出它的核心思想——轉(zhuǎn)化相關(guān)條件，只有構(gòu)造出與原問(wèn)題相關(guān)的輔助問(wèn)題，才能探索出解題的奧妙，進(jìn)而逐步發(fā)現(xiàn)構(gòu)造法解題的優(yōu)勢(shì)，久而久之，學(xué)生就會(huì)將此種解題方法的思想牢記于心，自然也就為自己解題的正確率增設(shè)了一道屏障。本文主要從三個(gè)反面分析了在高中數(shù)學(xué)解題中如何巧妙運(yùn)用“構(gòu)造法”的方法達(dá)成目的，并結(jié)合典型的教學(xué)案例呼吁高中數(shù)學(xué)教師不能忽略這一重要解題思想。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；高中數(shù)學(xué)；解題

全新的課程教育改革對(duì)高中生的學(xué)習(xí)狀態(tài)提出了明確的要求：基于一定量的數(shù)學(xué)題之上，學(xué)生要學(xué)會(huì)從另一個(gè)角度思考并解決問(wèn)題。這一明令的潛在要求就是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，高中生需要掌握轉(zhuǎn)化思維的解題能力，將一個(gè)問(wèn)題的共通性質(zhì)串聯(lián)起來(lái)，這樣更有利于解題的全面性與規(guī)范性。出于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的目標(biāo)，構(gòu)造法恰好能夠較好地應(yīng)對(duì)這一問(wèn)題。數(shù)學(xué)題目原先一定是枯燥的，因?yàn)樗狈σ欢ǖ膯?wèn)題情境，在進(jìn)行一番構(gòu)造之后，學(xué)生可以列出相應(yīng)的函數(shù)方程或不等式，或者畫出對(duì)應(yīng)的圖形，而后才能在此基礎(chǔ)之上繼續(xù)學(xué)習(xí)活動(dòng)，這一過(guò)程非常考驗(yàn)學(xué)生的觀察能力、分析能力及創(chuàng)造能力，與現(xiàn)代素質(zhì)教育的要求完全吻合。

一、依據(jù)已知條件構(gòu)造相關(guān)函數(shù)

簡(jiǎn)而言之，“構(gòu)造法”就是指根據(jù)題目中的已知條件或結(jié)論，再結(jié)合其特有的性質(zhì)進(jìn)而構(gòu)造出滿足已知條件的數(shù)學(xué)模型。在學(xué)習(xí)《解不等式》這一內(nèi)容時(shí)，學(xué)生通常會(huì)選擇直接法來(lái)解題，但是直接法解題的過(guò)程又來(lái)得很煩瑣，中間也易導(dǎo)致錯(cuò)誤，所以很多學(xué)生在解多元不等式時(shí)總是無(wú)法靜下心來(lái)，導(dǎo)致錯(cuò)誤率激增。自從“構(gòu)造法”創(chuàng)造出來(lái)，數(shù)學(xué)教師將其運(yùn)用到例題講解中之后，學(xué)生的正確率明顯有了上升的趨勢(shì)。因?yàn)椤安坏仁健眴?wèn)題通常建立在函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)之上，因此除去直接證明不等式的成立，還可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法證明其單調(diào)性，然后通過(guò)畫圖來(lái)解釋結(jié)論的正確性。在《不等式》問(wèn)題中，構(gòu)造法的突出效果就是簡(jiǎn)潔明了，具有較大的靈活性與技巧性，但同時(shí)構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)也是具有一定難度的，因?yàn)椴坏仁降挠疫呉欢ㄒ詈?jiǎn)便，正常情況下為1，只有這樣才能夠通過(guò)畫圖來(lái)判斷不等式最終是否成立。

例如，已知x，y，z均屬于區(qū)間（0，1），求證：x（1-y）+y（1-z）+x（1-x）<1。這是一道含有三個(gè)變?cè)牟坏仁阶C明題，如果高中生采用直接證明法的話會(huì)出現(xiàn)解到一半無(wú)法繼續(xù)的問(wèn)題，因此我們可以采取構(gòu)造法解決問(wèn)題。

證明：先構(gòu)造一個(gè)函數(shù)：f（x）=（y+z-1）x+（yz-y-z+1）。然后針對(duì)這一函數(shù)進(jìn)行分析，給出以下證明過(guò)程：因?yàn)閥，z∈（0，1），所以f（0）=yz-y-z+1>0恒成立， f（1）=（y+z-1）+（yz-y-z+1）>0也恒成立，而易得f（x）就是一個(gè)單調(diào)遞增的一次函數(shù)，它所得的圖線就是一條直線。所以綜上所述，f（x）>0恒成立，從而不等式恒成立，整理可得出結(jié)論：x（1-y）+y（1-z）+x（1-x）<1。

二、根據(jù)等量關(guān)系構(gòu)造方程式

對(duì)于比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，一定會(huì)運(yùn)用到自變量與因變量這一概念，因此也可以根據(jù)需要結(jié)合有利的條件進(jìn)行思路框架的設(shè)計(jì)。無(wú)論是“一元二次方程”還是“二元二次方程”，都是為解決未知量的值服務(wù)的，所以在遇到具有定量關(guān)系式的題目時(shí)，我們可以利用構(gòu)造方程式的方法來(lái)解決問(wèn)題。

例如，在學(xué)習(xí)《一元二次方程》的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，商店里的某商品進(jìn)價(jià)為50元，要是按50元的單價(jià)出售可以賣出400臺(tái)，每漲1元，銷售量就會(huì)少10臺(tái)，問(wèn)價(jià)格為多少時(shí)利潤(rùn)最大？遇到這種題目時(shí)，如果不借助設(shè)變量的話是很難解決的。因此我們可以設(shè)利潤(rùn)為W，設(shè)漲價(jià)x元，可以列出一下方程式：W=（50+x）（400-10x）-50（400-10x）=x（400-10x）=-10x2+400x。由此可得一個(gè)關(guān)于x的方程，然后求得其對(duì)稱軸，得出最大利潤(rùn)的取值x即可。

三、按照題目要求構(gòu)造平面圖形

一般而言，高中數(shù)學(xué)中的代數(shù)問(wèn)題如果單單從代數(shù)這一角度來(lái)尋求解題的方法，學(xué)生是很難找到解題的突破口的，往往都比較困難或者過(guò)程很復(fù)雜。數(shù)學(xué)解題思想中，“數(shù)形結(jié)合”的方法也尤為重要。所謂數(shù)形結(jié)合，就是要求學(xué)生能夠把數(shù)學(xué)代數(shù)問(wèn)題將平面圖形或者空間立體圖形結(jié)合起來(lái)，在腦海中構(gòu)建出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后在該圖形的基礎(chǔ)之上解題。這樣通常都能增加問(wèn)題的直觀程度，讓學(xué)生的解題思路更為清晰，從而答題過(guò)程中取得事半功倍的佳績(jī)。

例如，在解答上述那道不等式題目時(shí)，不僅可以運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的方法解決，也可以利用構(gòu)造平面圖形的方法解決，雖然這類解題方法不易敘述，但是卻更能直觀地標(biāo)明不等式的正確性，因此也是一種非常有效的解題方法。在解題時(shí)，我們可以構(gòu)造三邊相等，長(zhǎng)度為1的等邊三角形△ABC，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，AC邊上的三點(diǎn)，設(shè)BD長(zhǎng)度為x，CE長(zhǎng)度為y，AF長(zhǎng)度為z，然后通過(guò)三角形的面積公式S=底乘以高除以2，求得各三角形的形狀，然后兩兩相加，比較出不等式的答案。構(gòu)造法通常都能打破常規(guī)的解題方式，給學(xué)生帶來(lái)一片嶄新的天地，便于學(xué)生精巧、便捷地解答，以達(dá)訓(xùn)練解題能力的目的。

四、結(jié)語(yǔ)

“構(gòu)造法”給高中生數(shù)學(xué)解題提供了很大的便利，它的核心解題思想著重突出了“他山之石，可以攻玉”的特點(diǎn)，因此當(dāng)學(xué)生看到一道數(shù)學(xué)題目之后無(wú)從下手時(shí)，不妨首先想想構(gòu)造法可不可以解決。不難發(fā)現(xiàn)，在用構(gòu)造法解題的過(guò)程中，問(wèn)題會(huì)變得迎刃而解，且方法巧妙，引人入勝。因此在高中數(shù)學(xué)中，教師要將“構(gòu)造法”歸為教學(xué)的一大重點(diǎn)，注重對(duì)高中生解題方法中“構(gòu)造意識(shí)”的建立。其實(shí)構(gòu)造法也是切換問(wèn)題形式的方式之一，這類解題方法考驗(yàn)的是學(xué)生的聯(lián)想想象、另辟蹊徑以及換化條件的能力，若學(xué)生能夠?qū)?gòu)造法運(yùn)用得出神入化，就證明他們已經(jīng)具備了基本的創(chuàng)新意識(shí)與探究意識(shí)，智力也得到了一定開發(fā)。

參考文獻(xiàn)：

1.耿燕.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中如何巧用構(gòu)造法[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)教育，2013，02.

2.德吉.試論高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用構(gòu)造法的措施[J].西藏科技，2015，03.

（作者單位：湖北省襄陽(yáng)東風(fēng)中學(xué)）