可伴算子保持Hilbert C*-模中g(shù)-框架的充要條件

相中啟，喻曉，袁鄧彬，黃飛鴻

(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，江西 上饒 334001)

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可伴算子保持HilbertC*-模中g(shù)-框架的充要條件

相中啟，喻曉，袁鄧彬，黃飛鴻

(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，江西 上饒 334001)

利用算子理論方法證明了可伴算子保持HilbertC*-模中的g-框架當且僅當它是單射且有閉的值域，這修正了已有的一個結(jié)果。

HilbertC*-模;g-框架;可伴算子;閉值域

Hilbert空間中的框架 (經(jīng)典框架) 是規(guī)范正交基的推廣，它由Duffin和Schaeffer[1]于1952年引入，當時被用于處理非調(diào)和Fourier級數(shù)中的一些深刻問題。1986年，Daubechies等[2]的突破性工作奠定了框架理論在小波分析中的重要地位。目前，框架作為一個重要工具已被廣泛應(yīng)用于信號編碼、圖像和數(shù)據(jù)處理、抽樣理論等方面[3-5]。一些研究者將框架概念進行離散推廣，于是產(chǎn)生了多種廣義框架形式，Sun W C將已有的幾種框架作統(tǒng)一討論，提出了g-框架的概念[6]。

近些年來，一些學(xué)者將框架和g-框架理論推廣到HilbertC*-模的情形并取得了一些重要結(jié)果[7-13]，這豐富了框架理論。雖然HilbertC*-模是Hilbert空間的一般化，但二者之間還是有著一些本質(zhì)的差異。例如，適用于有界線性泛函的Riesz表示定理在HilbertC*-模中并不成立，這隱含著HilbertC*-模上的一些有界線性算子不可伴；HilbertC*-模中的閉子模未必正交可補等。同時需要指出，由于HilbertC*-模所嵌入的C*-代數(shù)的結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，致使HilbertC*-模中的框架和g-框架問題處理起來要比Hilbert空間情形困難得多。此外，越來越多的研究成果表明框架理論和HilbertC*-模理論在多個方面有著緊密的聯(lián)系，彼此都會因?qū)Ψ降陌l(fā)展而獲益。因此，作為二者有機結(jié)合的產(chǎn)物，HilbertC*-模中框架和g-框架的研究工作重要且有意義。

在文獻[14]中，姚喜妍討論了HilbertC*-模中的g-框架在可伴算子作用下的一些表現(xiàn)。特別地，她斷言：可伴算子保持HilbertC*-模中的g-框架當且僅當它是可逆的 (文獻[14]，定理2.4)。然而一個反例 (本文例2.2) 表明上述結(jié)論的必要條件不成立，本文的目的是修正該結(jié)論。

1 記號及引理

(1)

(2)

為了證明主要結(jié)論，需要如下的引理。

(1) 如果T是滿射，則TT*可逆且

‖(TT*)-1‖-1·IdK≤TT*≤‖T‖2·IdK，

(2) 如果T是單射且有閉的值域，則T*T可逆且

‖(T*T)-1‖-1·IdH≤T*T≤‖T‖2·IdH，

其中IdH和IdK分別表示H和K上的恒等算子。

證明：(1) 因為T是滿射，所以

N(T*)⊕R(T)=K,N(T)⊕R(T*)=H。

設(shè)f∈K使得TT*f=0，則T*f∈N(T)⊕R(T*)，因此T*f=0?，F(xiàn)在

f∈N(T*)=(R(T))⊥=K⊥={0}，

即f=0，故TT*是單射。任意g∈K，存在h∈H使得g=Th。又有h1∈N(T),h2∈K使得h=h1⊕T*h2，故此g=Th=T(h1⊕T*h2)=TT*h2，這說明TT*是滿射。綜上可知TT*是可逆可伴算子。易見

0≤(TT*)-1≤‖(TT*)-1‖·IdK，

因此TT*≥‖(TT*)-1‖-1·IdK。又因為

〈T*f,T*f〉≤‖T‖2〈f,f〉, ?f∈K，

所以TT*≤‖T‖2·IdK。

(2) 由 (1) 立即可得。

2 主要結(jié)果及其證明

下面的結(jié)果即為文獻[14]中的定理2.4：

例子2.2 設(shè)l是所有有界復(fù)值序列的集合。任意j∈N∈l，定義

則A={l,‖·‖}是一C*-代數(shù)。

設(shè)H=C0表示所有收斂于零的序列的全體。任意u,v∈H，定義

則H是A上的HilbertC*-模。

因為

所以

定義移位算子如下：

L∶H→H,Lej=ej+1,j∈N。

任意f,g∈H，由于

所以L*SL=IdH是可逆算子。然而，L*e1=0，故此L不可逆。

斷言2.1可修正為如下形式，其證明過程無需框架算子信息。

證明：首先設(shè)L是單射且有閉的值域。任意f∈H有

于是

由引理1.3可知

(3)

先證明L是單射。如果對某個f∈H有Lf=0，則由 (3) 式左邊的不等式知C′〈f,f〉=0，所以f=0。定義算子：

所以U是可伴的。因為任意f∈H，

C‖f‖2‖‖=‖〈Uf,Uf〉‖=‖Uf‖2，

因此U是單射且有閉的值域。設(shè){Lfn}是R(L)中的序列使得Lfn→g,n→。由引理1.3以及 (3) 式知：

C′‖〈fn-fm,fn-fm〉‖≤‖〈U(Lfn-Lfm),U(Lfn-Lfm)〉‖≤‖U‖2‖Lfn-Lfm‖2。

‖(U*U)-1‖-1‖Lfn-Lf‖2≤‖〈U(Lfn-Lf),U(Lfn-Lf)〉‖≤D′‖fn-f‖2。

所以由‖Lfn-Lf‖→0,n→知Lf=g，這表明R(L)是閉的。

[1] DUFFIN R J,SCHAEFFER A C.A class of nonharmonic Fourier series[J].Transactions of the American Mathematical Society,1952,72(2):341-366.

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[14] 姚喜妍.HilbertC*-模中g(shù)-框架的一些性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2011,54(1):1-8.

A Necessary and Sufficient Condition on the Preservation of g-Frames in HilbertC*-Modules with Adjointable Operators

XIANG Zhongqi,YU Xiao,YUAN Dengbin,HUANG Feihong

(School of Mathematics and Computer Science, Shangrao Normal University, Shangrao Jiangxi 334001, China)

The present paper proves, by utilizing the method of operator theory, that an adjointable operator preserves g-frames in HilbertC*-modules if and only if it is an injective operator with closed range, which provides a correction to one existing corresponding result.

HilbertC*-module; g-frame; adjointable operator; closed range

2017-03-28

國家自然科學(xué)基金(11461055,11561057)；江西省自然科學(xué)基金(20151BAB201007,20151BAB211002)；江西省教育廳科技項目(GJJ151061,GJJ161051)

相中啟(1979-)，男，山東臨沂人，講師，博士，研究方向：分形理論與小波分析。E-mail:lxsy20110927@163.com

O177.1

A

1004-2237(2017)03-0007-04

10.3969/j.issn.1004-2237.2017.03.002