最小對稱κ熵鞅測度和不完全市場中的定價問題

夏鵬程

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 湖北 武漢，430000)

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最小對稱κ熵鞅測度和不完全市場中的定價問題

夏鵬程

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 湖北 武漢，430000)

在等價鞅測度Me≠?前提下,首先給出最小對稱κ熵鞅測度的定義；其次給出最小對稱κ熵鞅測度存在的充分條件，進(jìn)而再給出最小對稱κ熵鞅測度的密度表示(Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù))；最后討論最小對稱κ熵鞅測度的存在性和不完全市場的效用函數(shù)最大化是等價的.

κ熵鞅測度; 效用函數(shù); 不完全市場

0 引言

在實際金融市場環(huán)境中，不完全市場占據(jù)很大的比例.但在不完全市場中，完全的套期保值是不可能的.不同的等價鞅測度，對應(yīng)的無套利價格是一個區(qū)間[1-2].對于不同的等價鞅測度，人們也給出了一些準(zhǔn)則[3-6],例如；q最優(yōu)化鞅測度，最小方差鞅測度，最小熵鞅測度.

1 最小對稱κ熵鞅測度

(1)

注 本文中總是假定Me≠?.

(2)

如果存在概率測度Q0∈M,滿足Hκ(Q0,P)=minQ∈MHκ(Q,P), 則稱Q0是最小κ熵鞅測度.

如果存在概率測度Q0∈Me,滿足Sκ(Q0,P)=infQ∈MeSκ(Q,P), 則稱概率測度Q0為最小對稱κ熵鞅測度.特別地,當(dāng)κ=1時，稱Q0是最小方差對稱鞅測度.當(dāng)κ=0時，稱Q0是最小對稱熵鞅測度.

因為

(3)

為了方便，令

ψ(x)=(x-1)lnκ(x),x∈(0,+∞),
ψ′(x)=lnκ(x)+(x-1)lnκ(x),x∈(0,+∞),
ψ″(x)=2lnκ(x)+(x-1)lnκ(x),x∈(0,+∞)

(4)

則

(5)

令

并且等式成立的充要條件是Q=P.

定理1.1的證明 如果存在性得證，由ψ(x)是嚴(yán)格凸的，易知唯一性也是成立的.

下面論證：Q0就是我們所要找的最小對稱κ熵鞅測度.

由于X是有界的，不妨設(shè)存在常數(shù)C，使得X≤C, 對于?ε>0,存在N，當(dāng)n>N時，有

對上述的ε和N我們有

這就證明了

利用反證法：假設(shè)Q0并不是最小對稱κ熵鞅測度.

假設(shè)

(6)

得到矛盾，故原假設(shè)不成立.

注意到:expκ(x)=exp-κ(x) , lnκ(x)=ln-κ(x). 因此在下面的討論中我們只需要考慮0≤κ≤1.

證明1.1的證明

(7)

(8)

其中φ(x)=xlnκ(x).

引理1.2的證明 因為

(9)

因為lnκ(x)是凸函數(shù), 故

(10)

(11)

有引理1.1可知不等式的左邊是可積的.

綜上所述：

(12)

定理1.2的證明 必要性：

取

那么1)，2)式成立.

現(xiàn)在驗證結(jié)論3)也是成立的.

故EQ1[f0]≤0.

充分性：

-c-EQ1[f0]+c+EQ0[f0]=-EQ1[f0]

(13)

由條件3)知

Sκ(Q1,P)-Sκ(Q0,P)≥0.

這就說明了:Q0是最小對稱κ熵鞅測度.

引理1.3證明 參考文獻(xiàn)[5]中的定理，下面簡單地敘述此定理，不給出詳細(xì)的證明.

設(shè)(Ω,F,P)是一概率空間，G是L1(P)中的一凸集，且0∈E.則下面兩個條件等價：

2) 存在η∈L∞,使得η>0,a.s,且supξ∈GE[ηξ]<∞.

那么有上述的參考定理知：條件2)也成立，即存在η∈L∞,使得η>0,a.s, 且supξ∈KE[ηξ]<∞.

注意到:K是線性空間，因此supξ∈KE[ηξ]<∞等價于E[ηξ]=0,(?ξ∈K).

b) 由引理可知：存在η∈(L∞)+,使得E[ηξ]=0,?ξ∈K.

令

由于K是關(guān)于弱拓?fù)涞囊恢驴煞e族，則limn→+∞supξ∈KE[(ηn-η)ξ]=0.

那么由supξ∈KE[ηnξ]-supξ∈KE[ηξ]≤supξ∈KE[(ηn-η)ξ] 可知： 存在充分大的m0,使得supξ∈KE[ηm0ξ]≤+∞，即,E[ηm0ξ]=0,?ξ∈K.

又因為|ηnf0|≤|ηf0|,而不等式的左邊是可積的. 利用控制收斂定理可得: 存在充分大的m1,使得EQ[ηm1]>0.

由EQ1[f]=0,知Q1∈Me.

(14)

由于-lnκ(x)是單調(diào)遞減的函數(shù)， 故：

(15)

1) 如果gκ∈K,Q是最小對稱κ熵鞅測度.

2 最小對稱κ熵鞅測度的金融解釋

考慮具有實際背景的金融市場，一般投資組合的最優(yōu)化取決于效用函數(shù)期望的最大化.從這個角度出發(fā)，考慮最小對稱κ熵鞅測度和投資組合最優(yōu)化之間的聯(lián)系.

定義2.1 設(shè)μ是R→R的函數(shù)，并且滿足

1)μ是二次可微的，

2)μ是單調(diào)遞增的凹函數(shù)，

3) limn→+∞=0，

則稱μ是效用函數(shù).

考慮實際的金融背景，因此我們只考慮滿足Ep[|VT(φ)|]≤+∞的所有投資組合φ,滿足這樣的φ的全體記為G.

現(xiàn)在考慮最小對稱κ熵鞅測度.

μ1(x)=exp(-x-1),μ2(x)=xp-1.

從圖1(a)中可知:當(dāng)x值越來越大時,y+xy+ylny=1和y-x-0.5=0越來越接近.這就說明了我們給出的最小κ熵鞅測度更加貼近實際的金融市場.

圖1 不同k值曲線變化圖

從圖1(a)中可知:我們選取不同的κ進(jìn)行比較，κ分別?。害?0,κ=-0.5,κ=-0.25,κ=0,κ=0.25(注意；這條曲線沒有在圖像中顯示出來，這是因為它和κ=0.25重合了.),κ=0.5進(jìn)行比較，當(dāng)x越來越大時，并不是κ=0時，它和實際的金融市場是最貼近的. 圖2是取不同的κ值(分別取:κ=0,κ=0.5,κ=-0.5)和最小κ熵鞅測度進(jìn)行的比較.圖像中的3條曲線分別是取值為κ的最小κ熵鞅測度對應(yīng)的效用函數(shù)，取值為κ最小對稱κ熵鞅測度所對應(yīng)的效用函數(shù)和取值q=0.5的,效用函數(shù)形式為μ(x)=xpp,從圖中可以看到對于不同的κ而言，最小對稱κ熵鞅測度對應(yīng)的效用函數(shù)比最小κ熵鞅測度對應(yīng)的效用函數(shù)更加貼近于取值q=0.5 的,效用函數(shù)形式為μ(x)=xpp，也就是說最小對稱κ熵鞅測度在特定場合定價將優(yōu)于最小κ熵鞅測度.

圖2 不同κ值與最小熵鞅測度比較a) κ=0；b) κ=0.5；

3 參考文獻(xiàn)

[1] Frittelli M.The minimal entropy martingale measure and the evaluation problem in incomplete markets[J].Math Finance,2000,10(1):39-52.

[2] Schachermayer M.A counterexample to several problems in the theory of asset pricing[J].Math Finance,1993,3(2):217-229.

[3] Barbara Trivellato,The minimal κ entropy martingale measure[J].World Scientific,2012,15(5):1-23.

[4] Grandits P and Rnlander T.On the minimal entropy martingale measure[J].Ann Prob 2012,30(2):1003-1038.

[5] 嚴(yán)加安.測度論講義[M].北京:科學(xué)出版社，2004:222-224.

[6] Pistone G.κ-exponential models from the geometrical viewpoint[J].Eur.Phys,2009,70(2):29-37.

[7] 湯思英，劉繼春，杜麗金.最小對稱熵鞅測度和不完全市場的定價問題[J].廈門大學(xué)學(xué)報,2004,43(4):1-4.

[8] 王江.金融經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京:中國人民大學(xué),2006:87-98.

(責(zé)任編輯 趙燕)

The minimal symmetrickentopy martingale measure and valuation problem incomplete market

XIA Pengcheng

(School of Mathematics and Statistics,Wuhan University,Wuhan 430000,China)

Under the assumption that the setMe≠? of equivalent martingale measures ,the concept of the minimal symmetricκentropy martingale was brought out , we find a sufficient condition for the existence of a unique equivalent martingale measure that minimizes the symmetricκentropy ,moreover the characterization of the density of the minimal symmetricκentropy martingale measure was provided.Finally we discuss the relationship between the minimization symmetricκentropy and the maximization of the utility function.

κentropy martingale measure; utility function;incomplete market

2016-06-30

夏鵬程(1991-), 男，碩士生， E-mail:2014202010052@whu.edu.cn

1000-2375(2017)04-0429-08

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A DOI：10.3969/j.issn.1000-2375.2017.04.017