芻議初中數(shù)學(xué)開放題的編制

鮑露露

[摘 要] 本文將開放題按要素進(jìn)行分類，整合相關(guān)具體題目，從四個(gè)類別詳細(xì)闡述開放題的編制方法，以及平時(shí)課堂中教師對(duì)習(xí)題的改編策略，期望能夠啟發(fā)和幫助廣大教師更好地教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 開放題；初中；數(shù)學(xué)

開放題是相對(duì)于封閉題而言的，是指題目中的條件或結(jié)論不完全確定的題目. 近些年，在各地的中考題中都有開放題的影子，對(duì)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)開放題有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展各方面的思維能力；對(duì)教師而言，教師應(yīng)精于開放題的研究，學(xué)習(xí)開放題的編制策略，這樣既可以幫助學(xué)生從容應(yīng)對(duì)中考，更能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力、解題能力. 下面采用戴再平的分類方法，按命題要素分為條件開放題、策略開放題、結(jié)論開放題、綜合開放題，給出四種教師可以借鑒的開放題編制方法.

條件開放題

題目中的條件沒有給出或者部分給出，結(jié)論是固定的，要求學(xué)生從不同角度嘗試尋找使結(jié)論成立的條件，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性以及主動(dòng)分析問題、解決問題的能力.

案例1 已知3×3的網(wǎng)格圖都是由9個(gè)相同的小正方形組成的，每個(gè)網(wǎng)格圖中有3個(gè)小正方形已涂上陰影（如圖1～圖3），請(qǐng)?jiān)谟嘞碌?個(gè)空白小正方形中按下列要求涂上陰影：

（1）選取1個(gè)涂上陰影，使4個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形；

（2）選取1個(gè)涂上陰影，使4個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形；

（3）選取2個(gè)涂上陰影，使5個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形.

（請(qǐng)將三個(gè)小題依次作答在圖1、圖2、圖3中，均只需畫出符合條件的一種情形）

這道題是2016寧波中考第20題，既是一道條件開放題，又是一道設(shè)計(jì)題. 作為一道中考題，首先答案具備規(guī)范性，便于批卷老師評(píng)分，也符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，能夠讓學(xué)生從多個(gè)角度探索問題. 本題考查學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí)，學(xué)生平常接觸到的題目往往是判斷一個(gè)圖形是否是軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形，此題反向出題，讓學(xué)生自己去構(gòu)造出滿足條件的圖形，更能考查學(xué)生的探索創(chuàng)新能力. 題目的要求是使陰影部分成為一個(gè)滿足條件的圖形，學(xué)生可采用枚舉法在空白處依次涂陰影來(lái)判斷. 由于題目要求“只需畫出符合條件的一種情形”，因此學(xué)生考慮的不全面也不會(huì)影響此題的答案. 但如果將此題進(jìn)行變式，改為“符合條件的畫法共有幾種”或“將所有畫法全部畫出”，則對(duì)學(xué)生要求較高，需要學(xué)生思維全面. 作為教師，在對(duì)開放題進(jìn)行講解以后，若進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖兪?，更能充分發(fā)揮開放題的用處，以拓展學(xué)生的思維能力.

結(jié)論開放題

結(jié)論作為未知要素，題目的條件是固定的，要求學(xué)生在已知條件下探索結(jié)論的多樣性，能夠培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)基本知識(shí)的應(yīng)用能力以及發(fā)散思維，這也是中考中出現(xiàn)頻率較高的一類開放題，經(jīng)常出現(xiàn)在填空題中，有多種答案可供學(xué)生選擇.

案例2 存在兩個(gè)變量x與y，y是x的函數(shù)，該函數(shù)同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）；②當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小，請(qǐng)各寫出一個(gè)滿足條件的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的解析式.

本題來(lái)自一道中考真題的改編，讓學(xué)生寫出三個(gè)分別滿足條件的函數(shù)解析式，答案不唯一，重點(diǎn)在于學(xué)生能否把握這三個(gè)函數(shù)的特點(diǎn). 要使得x>0時(shí)，y隨x的增大而減小，那么學(xué)生要知道一次函數(shù)必須滿足條件k<0，再代入點(diǎn)（1，1），求出滿足條件的b即可，滿足條件的一次函數(shù)有無(wú)限個(gè). 反比例函數(shù)的表達(dá)式是y=，首先，當(dāng)k>0時(shí)y隨x的增大而減小，又需經(jīng)過(guò)（1，1），則k=1，滿足條件的反比例函數(shù)只有一個(gè). 二次函數(shù)的一般表達(dá)式是y=ax2+bx+c，需滿足a<0且對(duì)稱軸x=-≤0兩個(gè)條件，即a<0，b≤0， 答案也有無(wú)限個(gè)，學(xué)生若能把握函數(shù)滿足條件的本質(zhì)，題目的解答便一擊即破.

本題的原題是只要寫出一個(gè)滿足條件的任意函數(shù)即可，難度較低，學(xué)生容易想到一次函數(shù)或反比例函數(shù)，寫出一個(gè)二次函數(shù)具有一定的挑戰(zhàn)性. 但在此基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)行變式，教師可以啟發(fā)學(xué)生想出更多滿足條件的函數(shù)，既可以啟發(fā)思維又可以在一道題目中回顧舊知，達(dá)到一道開放題應(yīng)有的作用.

策略開放題

解題的策略和方法是未知要素，題目的條件和結(jié)論固定，要求學(xué)生根據(jù)題目給出的信息，找出切合題意的多種解題策略，有利于幫助學(xué)生從多角度探索不同的解題方法，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性.

案例3 用兩種方法證明“三角形的外角和等于360°”. 如圖4，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個(gè)外角，求證：∠BAE +∠CBF+∠ACD=360°.

證法1：因?yàn)開__________，

所以∠BAE+∠1 +∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°.

所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-（∠1 +∠2+∠3）.

因?yàn)開__________，

所以∠BAE +∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.

請(qǐng)把證法1補(bǔ)充完整，并用不同的方法完成證法2.

這道題是2016南京中考第21題，作為一個(gè)大題，開放題出現(xiàn)的頻率是較低的，此題給出了一種證明方法，先讓學(xué)生補(bǔ)充完整，再給出另一種證法. 其中證法1采用的是平角為180°，結(jié)合三角形的內(nèi)角和為180°進(jìn)行證明，此外，可以考慮三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，即∠BAE，∠CBF，∠ACD可以分別看作∠2+∠3，∠1+∠3，∠1+∠2，轉(zhuǎn)化成內(nèi)角和. 還可以過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線AG（圖5），通過(guò)平行線的性質(zhì)得到∠CBF=∠GAB，∠ACD=∠EAG，因?yàn)椤螧AE+∠GAB+∠EAG=360°，所以∠BAE +∠CBF+∠ACD=360°.

對(duì)于策略開放題，要求給出多種解題策略，教師若能在平常的上課和作業(yè)講解中就有意識(shí)地發(fā)展學(xué)生一題多解，那么學(xué)生遇到此類問題時(shí)就能得心應(yīng)手地從各個(gè)方面入手給出解答，這對(duì)學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng)大有裨益.

綜合開放題

只給出一定的情境，題目的條件、結(jié)論和解題策略都需要學(xué)生自行設(shè)定和尋找，這是四種開放題中開放性最強(qiáng)的一種，對(duì)學(xué)生的考查更具綜合性，能促使學(xué)生綜合地運(yùn)用已有知識(shí)進(jìn)行分析，有利于訓(xùn)練學(xué)生思維的深刻性.

案例4 請(qǐng)你編寫一個(gè)故事，使故事情境中出現(xiàn)的一對(duì)變量x，y滿足圖6所示的函數(shù)關(guān)系，要求：

（1）指出變量x和y的含義；

（2）利用圖6中的數(shù)據(jù)說(shuō)明這對(duì)變量變化過(guò)程的實(shí)際意義，其中需涉及“速度”這個(gè)量.

本題是2012年南京中考題第23題，題目給出一個(gè)函數(shù)圖像，讓學(xué)生自己創(chuàng)造符合題意的故事情境，考查學(xué)生的遷移能力. 題目也給出了提示，涉及“速度”，學(xué)生很容易想到路程、時(shí)間、速度之間的關(guān)系. 綜合開放題往往具有設(shè)計(jì)性，把題目的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生來(lái)做出題人，以此達(dá)到鍛煉學(xué)生應(yīng)用能力的目的. 教師在平常上課時(shí)可以隨時(shí)穿插讓學(xué)生出題的情境，讓學(xué)生感受自己出題的樂趣，這會(huì)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)題目的應(yīng)用性有更深層次的理解.

除了上述詳細(xì)闡述的四種開放題分類之外，教師應(yīng)了解各種開放題的編制方法，并靈活運(yùn)用，更要細(xì)心對(duì)待各類習(xí)題，因?yàn)樯宰髯兪骄涂赡茏兂梢坏滥軌蚩疾楹吞嵘龑W(xué)生能力的開放題. 在課堂上探討開放題時(shí)，教師也要注意開放度適中，便于起到引導(dǎo)、把握課堂節(jié)奏的目的，讓開放題發(fā)揮其應(yīng)有功能，開拓學(xué)生的創(chuàng)新能力和思維能力.