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    芻議初中數(shù)學(xué)開放題的編制

    2017-07-06 19:17:49鮑露露
    關(guān)鍵詞:開放題初中數(shù)學(xué)

    鮑露露

    [摘 要] 本文將開放題按要素進(jìn)行分類,整合相關(guān)具體題目,從四個(gè)類別詳細(xì)闡述開放題的編制方法,以及平時(shí)課堂中教師對(duì)習(xí)題的改編策略,期望能夠啟發(fā)和幫助廣大教師更好地教學(xué).

    [關(guān)鍵詞] 開放題;初中;數(shù)學(xué)

    開放題是相對(duì)于封閉題而言的,是指題目中的條件或結(jié)論不完全確定的題目. 近些年,在各地的中考題中都有開放題的影子,對(duì)學(xué)生而言,數(shù)學(xué)開放題有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,發(fā)展各方面的思維能力;對(duì)教師而言,教師應(yīng)精于開放題的研究,學(xué)習(xí)開放題的編制策略,這樣既可以幫助學(xué)生從容應(yīng)對(duì)中考,更能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力、解題能力. 下面采用戴再平的分類方法,按命題要素分為條件開放題、策略開放題、結(jié)論開放題、綜合開放題,給出四種教師可以借鑒的開放題編制方法.

    條件開放題

    題目中的條件沒有給出或者部分給出,結(jié)論是固定的,要求學(xué)生從不同角度嘗試尋找使結(jié)論成立的條件,有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性以及主動(dòng)分析問題、解決問題的能力.

    案例1 已知3×3的網(wǎng)格圖都是由9個(gè)相同的小正方形組成的,每個(gè)網(wǎng)格圖中有3個(gè)小正方形已涂上陰影(如圖1~圖3),請(qǐng)?jiān)谟嘞碌?個(gè)空白小正方形中按下列要求涂上陰影:

    (1)選取1個(gè)涂上陰影,使4個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形,但不是中心對(duì)稱圖形;

    (2)選取1個(gè)涂上陰影,使4個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形,但不是軸對(duì)稱圖形;

    (3)選取2個(gè)涂上陰影,使5個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形.

    (請(qǐng)將三個(gè)小題依次作答在圖1、圖2、圖3中,均只需畫出符合條件的一種情形)

    這道題是2016寧波中考第20題,既是一道條件開放題,又是一道設(shè)計(jì)題. 作為一道中考題,首先答案具備規(guī)范性,便于批卷老師評(píng)分,也符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),能夠讓學(xué)生從多個(gè)角度探索問題. 本題考查學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí),學(xué)生平常接觸到的題目往往是判斷一個(gè)圖形是否是軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形,此題反向出題,讓學(xué)生自己去構(gòu)造出滿足條件的圖形,更能考查學(xué)生的探索創(chuàng)新能力. 題目的要求是使陰影部分成為一個(gè)滿足條件的圖形,學(xué)生可采用枚舉法在空白處依次涂陰影來(lái)判斷. 由于題目要求“只需畫出符合條件的一種情形”,因此學(xué)生考慮的不全面也不會(huì)影響此題的答案. 但如果將此題進(jìn)行變式,改為“符合條件的畫法共有幾種”或“將所有畫法全部畫出”,則對(duì)學(xué)生要求較高,需要學(xué)生思維全面. 作為教師,在對(duì)開放題進(jìn)行講解以后,若進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖兪?,更能充分發(fā)揮開放題的用處,以拓展學(xué)生的思維能力.

    結(jié)論開放題

    結(jié)論作為未知要素,題目的條件是固定的,要求學(xué)生在已知條件下探索結(jié)論的多樣性,能夠培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)基本知識(shí)的應(yīng)用能力以及發(fā)散思維,這也是中考中出現(xiàn)頻率較高的一類開放題,經(jīng)常出現(xiàn)在填空題中,有多種答案可供學(xué)生選擇.

    案例2 存在兩個(gè)變量x與y,y是x的函數(shù),該函數(shù)同時(shí)滿足兩個(gè)條件:①圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1);②當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小,請(qǐng)各寫出一個(gè)滿足條件的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的解析式.

    本題來(lái)自一道中考真題的改編,讓學(xué)生寫出三個(gè)分別滿足條件的函數(shù)解析式,答案不唯一,重點(diǎn)在于學(xué)生能否把握這三個(gè)函數(shù)的特點(diǎn). 要使得x>0時(shí),y隨x的增大而減小,那么學(xué)生要知道一次函數(shù)必須滿足條件k<0,再代入點(diǎn)(1,1),求出滿足條件的b即可,滿足條件的一次函數(shù)有無(wú)限個(gè). 反比例函數(shù)的表達(dá)式是y=,首先,當(dāng)k>0時(shí)y隨x的增大而減小,又需經(jīng)過(guò)(1,1),則k=1,滿足條件的反比例函數(shù)只有一個(gè). 二次函數(shù)的一般表達(dá)式是y=ax2+bx+c,需滿足a<0且對(duì)稱軸x=-≤0兩個(gè)條件,即a<0,b≤0, 答案也有無(wú)限個(gè),學(xué)生若能把握函數(shù)滿足條件的本質(zhì),題目的解答便一擊即破.

    本題的原題是只要寫出一個(gè)滿足條件的任意函數(shù)即可,難度較低,學(xué)生容易想到一次函數(shù)或反比例函數(shù),寫出一個(gè)二次函數(shù)具有一定的挑戰(zhàn)性. 但在此基礎(chǔ)上,還可以進(jìn)行變式,教師可以啟發(fā)學(xué)生想出更多滿足條件的函數(shù),既可以啟發(fā)思維又可以在一道題目中回顧舊知,達(dá)到一道開放題應(yīng)有的作用.

    策略開放題

    解題的策略和方法是未知要素,題目的條件和結(jié)論固定,要求學(xué)生根據(jù)題目給出的信息,找出切合題意的多種解題策略,有利于幫助學(xué)生從多角度探索不同的解題方法,使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造,培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性.

    案例3 用兩種方法證明“三角形的外角和等于360°”. 如圖4,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三個(gè)外角,求證:∠BAE +∠CBF+∠ACD=360°.

    證法1:因?yàn)開__________,

    所以∠BAE+∠1 +∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°.

    所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-(∠1 +∠2+∠3).

    因?yàn)開__________,

    所以∠BAE +∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.

    請(qǐng)把證法1補(bǔ)充完整,并用不同的方法完成證法2.

    這道題是2016南京中考第21題,作為一個(gè)大題,開放題出現(xiàn)的頻率是較低的,此題給出了一種證明方法,先讓學(xué)生補(bǔ)充完整,再給出另一種證法. 其中證法1采用的是平角為180°,結(jié)合三角形的內(nèi)角和為180°進(jìn)行證明,此外,可以考慮三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系,即∠BAE,∠CBF,∠ACD可以分別看作∠2+∠3,∠1+∠3,∠1+∠2,轉(zhuǎn)化成內(nèi)角和. 還可以過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線AG(圖5),通過(guò)平行線的性質(zhì)得到∠CBF=∠GAB,∠ACD=∠EAG,因?yàn)椤螧AE+∠GAB+∠EAG=360°,所以∠BAE +∠CBF+∠ACD=360°.

    對(duì)于策略開放題,要求給出多種解題策略,教師若能在平常的上課和作業(yè)講解中就有意識(shí)地發(fā)展學(xué)生一題多解,那么學(xué)生遇到此類問題時(shí)就能得心應(yīng)手地從各個(gè)方面入手給出解答,這對(duì)學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng)大有裨益.

    綜合開放題

    只給出一定的情境,題目的條件、結(jié)論和解題策略都需要學(xué)生自行設(shè)定和尋找,這是四種開放題中開放性最強(qiáng)的一種,對(duì)學(xué)生的考查更具綜合性,能促使學(xué)生綜合地運(yùn)用已有知識(shí)進(jìn)行分析,有利于訓(xùn)練學(xué)生思維的深刻性.

    案例4 請(qǐng)你編寫一個(gè)故事,使故事情境中出現(xiàn)的一對(duì)變量x,y滿足圖6所示的函數(shù)關(guān)系,要求:

    (1)指出變量x和y的含義;

    (2)利用圖6中的數(shù)據(jù)說(shuō)明這對(duì)變量變化過(guò)程的實(shí)際意義,其中需涉及“速度”這個(gè)量.

    本題是2012年南京中考題第23題,題目給出一個(gè)函數(shù)圖像,讓學(xué)生自己創(chuàng)造符合題意的故事情境,考查學(xué)生的遷移能力. 題目也給出了提示,涉及“速度”,學(xué)生很容易想到路程、時(shí)間、速度之間的關(guān)系. 綜合開放題往往具有設(shè)計(jì)性,把題目的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生,讓學(xué)生來(lái)做出題人,以此達(dá)到鍛煉學(xué)生應(yīng)用能力的目的. 教師在平常上課時(shí)可以隨時(shí)穿插讓學(xué)生出題的情境,讓學(xué)生感受自己出題的樂趣,這會(huì)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)題目的應(yīng)用性有更深層次的理解.

    除了上述詳細(xì)闡述的四種開放題分類之外,教師應(yīng)了解各種開放題的編制方法,并靈活運(yùn)用,更要細(xì)心對(duì)待各類習(xí)題,因?yàn)樯宰髯兪骄涂赡茏兂梢坏滥軌蚩疾楹吞嵘龑W(xué)生能力的開放題. 在課堂上探討開放題時(shí),教師也要注意開放度適中,便于起到引導(dǎo)、把握課堂節(jié)奏的目的,讓開放題發(fā)揮其應(yīng)有功能,開拓學(xué)生的創(chuàng)新能力和思維能力.

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