探一道中考題與模擬題的相似之處

謝賽琴

[摘 要] 中考數(shù)學(xué)命題者最擔(dān)心的是壓軸題出現(xiàn)雷同題. 本文通過(guò)分析浙江省衢州市2016年一道中考題與模擬題的相似之處，警示我們——命題者最擔(dān)心的事也有可能很巧合地發(fā)生，要增強(qiáng)防范意識(shí).

[關(guān)鍵詞] 中考題；模擬題；相似；垂直四邊形

筆者在翻閱寧夏人民教育出版社2016年7月出版發(fā)行的《2016年浙江中考試卷匯編·中考卷+模擬卷·數(shù)學(xué)》時(shí)驚奇地發(fā)現(xiàn)，浙江省衢州市2016年數(shù)學(xué)中考試卷第23題（以下簡(jiǎn)稱中考題）與衢州市菁才中學(xué)2016年數(shù)學(xué)中考模擬卷第23題（以下簡(jiǎn)稱模擬題）有許多相似之處，故錄下以探討.

題目呈現(xiàn)

模擬題 定義：對(duì)角線互相垂直的凸四邊形叫作“垂直四邊形”.

（1）理解：如圖1，已知四邊形ABCD是“垂直四邊形”，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC=8，BD=7，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_____；

（2）探究：小明對(duì)“垂直四邊形”ABCD（如圖1）進(jìn)行了深入探究，發(fā)現(xiàn)其一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和，即AB2+CD2=AD2+BC2. 你認(rèn)為他的發(fā)現(xiàn)正確嗎？試說(shuō)明理由.

（3）應(yīng)用：①如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0

②如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=3AC，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，請(qǐng)直接寫出線段EG與BC之間的數(shù)量關(guān)系.

中考題 如圖4，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫作“垂直四邊形”.

（1）概念理解：如圖5，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問(wèn)：四邊形ABCD是垂直四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）性質(zhì)探究：試探索垂直四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，猜想結(jié)論（要求用文字語(yǔ)言敘述）并寫出證明過(guò)程（先畫出圖形，寫出已知、求證）.

（3）問(wèn)題解決：如圖6，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE的長(zhǎng).

題目的相似之處

1. 題干部分

模擬題給出了“垂直四邊形”的定義，即對(duì)角線互相垂直的凸四邊形叫作“垂直四邊形”. 中考題給出的定義是：如圖4，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫作“垂直四邊形”. 中考題雖然沒(méi)有像模擬題那樣加上“凸四邊形”，但它加上了“如圖4”，已經(jīng)明確是凸四邊形，所以可以說(shuō)題干部分兩題完全相同.

2. 第（1）小題

對(duì)于第（1）小題，兩道題都是對(duì)新概念的簡(jiǎn)單理解，所不同的是，模擬題是利用垂直四邊形的性質(zhì)——對(duì)角線互相垂直，求四邊形的面積；中考題則是利用垂直平分線的判定證明四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，從而得出四邊形ABCD是垂直四邊形.

3. 第（2）小題

兩題都是探究垂直四邊形的性質(zhì)——垂直四邊形一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和. 所不同的是，模擬題是直接給出這一性質(zhì)，要求學(xué)生證明；中考題則是讓學(xué)生先探索，然后猜想結(jié)論，最后寫出已知、求證和證明過(guò)程. 其求解的基本思路是相同的，但難易有所不同.

4. 第（3）小題

兩題都是“垂直四邊形”性質(zhì)的應(yīng)用. 模擬題多了①，其②與中考題都是以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，這樣得到的圖3與圖6很相似. 不同的是，模擬題中的AB=3AC，中考題利用勾股數(shù)賦值A(chǔ)C=4，AB=5. 中考題連接了CE，BG，而模擬題沒(méi)有，故模擬題的EG與BC之間的數(shù)量關(guān)系更難求.

解法的相似之處

通過(guò)上述分析，我們發(fā)現(xiàn)兩題有很多相似之處，因而其解法也有許多相似之處.

第（1）小題略.

對(duì)于第（2）小題，兩道題的解法如下——

模擬題 （2）正確. 理由如下：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是垂直四邊形，所以AC⊥BD. 所以AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2. 所以AB2+CD2=AD2+BC2.

中考題 （2）猜想結(jié)論：垂直四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等.

已知：如圖7，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為O.

求證：AB2+CD2=AD2+BC2.

證明：因?yàn)锳C⊥BD，所以AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2. 所以AB2+CD2=AD2+BC2.

對(duì)于第（3）小題，模擬題①略. 模擬題②的解法隱藏得比較深，這里要上下聯(lián)系，要想到利用（2）中垂直四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解. 而圖3中找不到垂直四邊形，所以要去探索出隱藏的垂直四邊形，這就需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線. 結(jié)合以往的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，連接BG和CE覺(jué)得可能垂直，于是給以證明，再連接BE，CG，垂直四邊形就有了. 接著利用（2）中的性質(zhì)，就可以求得EG與BC的關(guān)系. 下面給出求解方法——

模擬題 （3）②如圖8，連接BG，CE，BE，CG. 設(shè)CE與BG交于點(diǎn)M，與AB交于點(diǎn)N. 因?yàn)锳B=3AC，設(shè)AC=a，則AB=3a. 因?yàn)椤螦CB=90°，所以BC==2a. 在正方形ABDE和正方形ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，所以BE=3a，CG=a，∠BAG=∠CAE. 所以△AEC≌△ABG. 所以∠AEC=∠ABG. 又因?yàn)椤螦NE=∠BNM，所以∠BME=∠BAE=90°. 所以EC⊥BG. 所以四邊形BCGE為垂直四邊形. 由（2）知BC2+EG2=BE2+CG2，即（2a）2+EG2=（3a）2+a2，因此EG2=12a2=BC2.

中考題 （3）如圖9，連接BE，CG，設(shè)CE與BG交于點(diǎn)M，AC與BG交于點(diǎn)N. 接下來(lái)證四邊形BCGE為垂直四邊形（與上述模擬題最后一小問(wèn)②相同，此處不再贅述）. 由（2）知BC2+EG2=BE2+CG2，又因?yàn)锽C2=52-42=9，BE2=52+52=50，CG2=42+42=32，所以9+EG2=50+32，因此EG2=73，EG=.

反思

中考數(shù)學(xué)命題權(quán)現(xiàn)在大部分省都下放到地級(jí)市，由此培養(yǎng)了一大批一線中考命題教師，通過(guò)這些教師的指導(dǎo)和帶動(dòng)，初中教師整體的命題水平已得到提高. 但中考命題隊(duì)伍中也存在水平的高低，有些命題者有待進(jìn)一步磨煉. 本例中的中考題與模擬題如此高度相似，與中考命題者所選題的思路單一和撞車風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)不夠有關(guān). 中考命題者可能查閱有關(guān)成題沒(méi)有發(fā)現(xiàn)類似題，但不知道他們閉門命題時(shí)，有同行編題并朝著中考命題者同一思路編出了高度雷同題（這可能連模擬題的編制者也難以置信）. 大家看到，本例定義對(duì)角線互相垂直的凸四邊形為垂直四邊形，這樣就易編出：新概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用；性質(zhì)探究，而這性質(zhì)也是比較單一的，大家都易想到垂直有直角，想到用勾股定理構(gòu)造題，于是就容易撞在一起；所編題怎樣應(yīng)用，也集中指向上一小題得到的性質(zhì)，這就要有垂直四邊形，也就是有兩線段互相垂直并可進(jìn)一步求值，這些都有一定的指向性，于是又容易撞在一起. 模擬題和中考題第（3）小題的撞車嚴(yán)重影響了試卷的公平性. 通過(guò)本例，希望能給以后命題者在命題時(shí)有所警醒. 本文不妥之處，敬請(qǐng)各位同行和專家指出.