在數(shù)與形之間感受數(shù)學(xué)的生命

朱晴

摘 要：數(shù)與形，是數(shù)學(xué)中兩個(gè)相互依存的體系。以形釋數(shù)，以數(shù)載形，數(shù)形結(jié)合，成為數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思想和方法。對(duì)于小學(xué)生而言，這種思想的滲透、方法的指導(dǎo)是循序漸進(jìn)的、潛移默化的。要從初步的感知上升到理論高度，并形成一定的意識(shí)，最終養(yǎng)成良好的習(xí)慣，需要長時(shí)間的積累和大量的實(shí)踐來完成。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；數(shù)與形；教學(xué)案例；數(shù)形結(jié)合

人教版第十一冊(cè)《數(shù)與形》是近年新增的教學(xué)內(nèi)容，嚴(yán)格地說來，它是一堂知識(shí)歸納課，更是一堂數(shù)學(xué)中的“思想品德”課。如何讓這堂“思想品德”課達(dá)到最優(yōu)境界？如何讓學(xué)生在數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化中體會(huì)它們的關(guān)系？如何讓枯燥的數(shù)字和圖形變?yōu)樯钌衿娴臄?shù)學(xué)魔方，使之說話舞蹈，成為一個(gè)鮮活的生命，增強(qiáng)它的生命力？筆者想借自己上的錄像課《數(shù)與形》和大家分享一些體會(huì)。

片段一：找準(zhǔn)“思想”原生點(diǎn)——設(shè)疑

師：（課件出現(xiàn)一個(gè)圓）這是一個(gè)圓，用數(shù)字1來表示，接著出現(xiàn)三個(gè)圓（寶塔形），用數(shù)字3來表示。請(qǐng)你猜一猜，接下來會(huì)出現(xiàn)什么樣的圖形？用數(shù)字幾來表示？請(qǐng)同學(xué)們把答案記在心里，（老師出示結(jié)果為6個(gè)圓）你猜對(duì)了嗎？那接下來又會(huì)出現(xiàn)什么樣的圖形？

生：10個(gè)。

師：（出示結(jié)果）真棒，猜對(duì)了。（如圖1）

師：看來，數(shù)與形之間的確存在著某種聯(lián)系和規(guī)律。今天這節(jié)課，我們就來研究數(shù)與形。

評(píng)析：《新課標(biāo)》指出：學(xué)生的知識(shí)技能有“生長點(diǎn)”和“最近發(fā)展區(qū)”，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)情感同樣具有較為清晰的“生長點(diǎn)”和“最近發(fā)展區(qū)”。學(xué)生們?cè)诘湍昙?jí)就學(xué)習(xí)了看圖寫數(shù)，看圖寫算式，中年級(jí)接觸了看線段圖列式，初步感知了用圖形與字母符號(hào)來表示數(shù)，先“形”后“數(shù)”的思維占主導(dǎo)地位。高年級(jí)在解應(yīng)用題、畫統(tǒng)計(jì)圖等學(xué)習(xí)實(shí)踐中慢慢實(shí)現(xiàn)“先數(shù)后形”的轉(zhuǎn)化，抽象思維開始得到培養(yǎng)。那么，學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”在哪兒呢？通過鉆研教材，課前談話，筆者把“體會(huì)數(shù)與形的聯(lián)系”“積累數(shù)形結(jié)合解決問題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”“培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想意識(shí)”作為本課的教學(xué)重點(diǎn)。那么，這一個(gè)片斷的設(shè)計(jì)既有數(shù)、又有形，既有猜想、又有印證，找準(zhǔn)了學(xué)生的思維入口，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，為后面的思維訓(xùn)練、方法訓(xùn)練做好了鋪墊。

片段二：對(duì)準(zhǔn)興趣激發(fā)點(diǎn)——活動(dòng)

師：老師這兒有一個(gè)正方形，用數(shù)字幾表示？

生：用數(shù)字1表示。

師：如果老師再增加三個(gè)正方形，一共有幾個(gè)正方形？怎樣列式計(jì)算？

生：一共四個(gè)正方形，用1+3來計(jì)算。

師：它的和能拼成一個(gè)什么樣的圖形？

（學(xué)生分組進(jìn)行拼一拼，擺一擺。有的拼成了一個(gè)長方形，有的拼成了一個(gè)正方形，還有的拼成一個(gè)寶塔形，還有個(gè)別的學(xué)生拼成了一個(gè)不規(guī)則圖形）

師：如果再增加5個(gè)正方形，又能拼成一個(gè)什么圖形呢？

（學(xué)生繼續(xù)拼、擺，請(qǐng)部分學(xué)生把拼、擺的圖形呈現(xiàn)在展臺(tái)上）

師：比較、觀察，這兩組圖形中，哪一種圖形可以很清楚簡便地計(jì)算出總數(shù)？

生：正方形。

師：為什么？

生：因?yàn)檎叫蔚拿娣e等于邊長乘邊長，只要數(shù)出一條邊的長度，就可以很快地計(jì)算出面積。

師：（展示拼圖：一個(gè)小正方形再加三個(gè)不同顏色的小正方形得到一個(gè)較大的正方形，可以用2乘2來計(jì)算，也可以用2的平方來表示；一個(gè)小正方形再加三個(gè)不同顏色的小正方形再加五個(gè)不同顏色的小正方形得到一個(gè)有著三種顏色的較大正方形，可以用3乘3來計(jì)算，也可以用3的平方來表示。分別展示在黑板上。）想象一下，1+3+5+7的和也可以是個(gè)什么圖形？

生：正方形。

生：一個(gè)邊長是4的正方形。

師：（把1+3+5+7的和所拼成的正方形展示出來，如圖2）是這樣嗎？和可以用多少來表示？

生：1+3+5+7=4的平方。

師：觀察三個(gè)算式和圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：有幾個(gè)加數(shù)結(jié)果就等于幾的平方。

生：有幾個(gè)加數(shù)就可以拼成一個(gè)有幾層的正方形。

生：要從1加起。

生：從1加起，連續(xù)幾個(gè)奇數(shù)相加就等于幾的平方。

師：同學(xué)們觀察得真仔細(xì)，對(duì)，從1開始連續(xù)幾個(gè)奇數(shù)相加就等于幾的平方。

評(píng)析：在探究中發(fā)現(xiàn)，在實(shí)踐中體驗(yàn)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最佳途徑。在這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者特意做了三件事：一是給每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備了充足的學(xué)具，每個(gè)孩子都有邊長是2厘米的小正方形若干，這樣便于學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，給學(xué)生創(chuàng)造探究的條件。二是將教材中的深紅色正方形與淺紅色的正方形分步擺放，并且分別用了不同的顏色區(qū)分。課件上也將擺放的過程進(jìn)行分解，而不是“依教材畫瓢”，給學(xué)生足夠的探究空間。三是在擺放過程中組織學(xué)生“想一想”“說一說”，將學(xué)生的活動(dòng)思維、表達(dá)條理化。這樣的設(shè)計(jì)和組織讓圖形動(dòng)起來，讓學(xué)生動(dòng)起來。學(xué)生全體投入，全心投入，探究過程生動(dòng)有趣，內(nèi)心的體驗(yàn)也就豐富多彩了。

片段三：抓住能力增長點(diǎn)——運(yùn)用

師：其實(shí)數(shù)與形之間有著許多聯(lián)系，有些特殊的數(shù)與特殊的形之間還存在著密切的聯(lián)系。（展示引入時(shí)找規(guī)律填的圖形，如圖1）上面有圖形，下面有數(shù)字，那這些數(shù)與圖有什么規(guī)律呢？

生：每次都會(huì)多出一排。

生：多出來的一排總比上一排多一個(gè)。

生：都是三角形，而且是正三角形。

師：照這樣的規(guī)律往下畫，第5個(gè)、第6個(gè)、第7個(gè)圖你能畫出來嗎？

（學(xué)生動(dòng)手畫，并計(jì)算出每個(gè)圖形小圓形的總數(shù)，完成練習(xí)卡第2題，展示學(xué)生畫的作品，并匯報(bào)計(jì)算過程）

師：如果不讓你畫，你能想象得出第十個(gè)圖形是什么樣子嗎？會(huì)有多少個(gè)小圓形呢？

生：可以，還會(huì)是個(gè)大三角形。

生：小圓形的個(gè)數(shù)就是從1加到10的和。

生：是個(gè)大正三角形，小圓形個(gè)數(shù)只要在第7個(gè)圖形的后面再接著加8加9加10就可以了。

師：這些小圓形最后都拼成了一個(gè)大的三角形（如圖3）。像這樣的數(shù)，我們就叫它三角形數(shù)。

評(píng)析：數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的終極目標(biāo)是培養(yǎng)有思想的學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用這種思想去解決問題。蘇霍姆林斯基認(rèn)為，真正有生命力的課堂是思考的課堂、是運(yùn)用的課堂。在運(yùn)用中強(qiáng)化意識(shí)，在運(yùn)用中培養(yǎng)技能。

該片斷教學(xué)中，學(xué)生尋找到圖形排列的規(guī)律后，運(yùn)用這一規(guī)律解決問題，體驗(yàn)進(jìn)一步加深，數(shù)形結(jié)合的意識(shí)得以強(qiáng)化。當(dāng)筆者重新展示引入部分的“找規(guī)律猜圖形”，學(xué)生都踴躍發(fā)言，大膽猜想，思維的大門完全打開。

案例反思：

下課鈴聲響了，孩子們依然不肯離開教室。有的在稿紙上畫著圖形，有的在交流適于數(shù)與形的故事，有幾個(gè)學(xué)生又重新找開課件，問筆者：“老師，我是這樣想的……”望著他們專注的眼神，筆者的內(nèi)心被深深觸動(dòng)：如果每一堂課都能牢牢地抓住學(xué)生的心，都能激發(fā)他們的求知欲，都能讓他們感受到數(shù)學(xué)的魅力，該是一個(gè)多么成功多么幸福的事！那么，我們的責(zé)任就是尊重他們，引導(dǎo)他們，讓學(xué)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，成為自己學(xué)習(xí)的主人。

一、備課，學(xué)生是主體

學(xué)生是課堂教學(xué)的生命線，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，在積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的過程中不斷得到發(fā)展。而數(shù)學(xué)思想的形成與發(fā)展是日積月累的，是情感與意識(shí)的浸潤?！稊?shù)與形》這一內(nèi)容安排在人教版教材小學(xué)數(shù)學(xué)第十一冊(cè)，目的是對(duì)整個(gè)小學(xué)階段學(xué)生初步感知的數(shù)與形的思想加以歸納，提煉，并進(jìn)一步滲透與強(qiáng)化?；谶@樣的出發(fā)點(diǎn)，筆者力求把這堂“思品課”上得形象活潑、深入淺出，讓它成為一個(gè)生動(dòng)傳神的“例子”。這是符合小學(xué)六年級(jí)孩子身心特點(diǎn)的，也是符合小學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的。

本次教學(xué)設(shè)計(jì)，筆者特別注意了兩個(gè)字：“趣”和“異”。

“趣”即趣味。因?yàn)橄瘛稊?shù)與形》這種課很容易變成教師的一言堂，變成優(yōu)秀學(xué)生的表演場。教材上已有現(xiàn)成的彩色方塊組圖，只要引導(dǎo)學(xué)生看一看，想一想，說一說也可以得出結(jié)論。但仔細(xì)推敲，筆者重新設(shè)計(jì)為：把彩色方塊從“1”開始拼擺，由少到多，學(xué)生先動(dòng)手隨意拼，接著教師再演示拼，邊拼邊觀察，將“比一比，說一說”融于其中。這樣設(shè)計(jì)，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的感官與思維，經(jīng)歷了知識(shí)形成的原始過程。

異即異步分層，對(duì)全體學(xué)生的高度關(guān)注，對(duì)不同層次學(xué)生提出不同要求。教案完成后，筆者仔細(xì)設(shè)想：哪些教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)生會(huì)積極主動(dòng)一些？是否還可以重新設(shè)計(jì)？哪些地方學(xué)生會(huì)出現(xiàn)新的想法？哪些地方學(xué)生會(huì)遇到新的困難？該怎樣引導(dǎo)？如果學(xué)生實(shí)在弄不明白該怎么辦……針對(duì)這些“預(yù)設(shè)”，筆者都擬出了不同的方案。二次備課能更加有效地實(shí)施教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生個(gè)體的知識(shí)生成和思維生長，讓數(shù)學(xué)充滿生命的魅力，讓數(shù)學(xué)課堂充滿生機(jī)。

二、課堂，學(xué)生是主角

真正做到“以學(xué)生為本”并不容易。我們總是習(xí)慣于強(qiáng)硬地灌輸或美其名曰“啟發(fā)式”引導(dǎo)。這堂課，筆者雖然制作了很多課件，但在講解時(shí)，特別注意“把問題拋給學(xué)生”，把“問”和“想”的權(quán)力給學(xué)生。在學(xué)生探究合作時(shí)，筆者將教材的主題圖分步中的小方塊進(jìn)行拼擺展示，一步一步，水到渠成，把“做”和“想”的時(shí)間還給學(xué)生。在指導(dǎo)學(xué)生拼擺、比對(duì)的過程中，筆者積極參與小組的活動(dòng)，和他們一起拼擺，并不急于展示結(jié)果，把“比”和“說”的空間還給學(xué)生。這樣做，看起來是教師主導(dǎo)地位削弱了，實(shí)際上，學(xué)生的“主體”地位增強(qiáng)了。有效發(fā)揮主導(dǎo)作用的標(biāo)志，是學(xué)生能夠真正成為學(xué)習(xí)的主體，得到全面的發(fā)展。試想：一堂課，沒有探究與思考的時(shí)間和空間，學(xué)生怎么去經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程？內(nèi)心的體驗(yàn)從何而來？更不用說思考的權(quán)力、學(xué)習(xí)的快樂了。不擔(dān)心教材內(nèi)容完成不了，不擔(dān)心學(xué)生弄不懂的課堂才是數(shù)學(xué)的課堂，“師生互動(dòng)、生生互動(dòng)”的課堂才是有生命力的數(shù)學(xué)課堂。

三、課后，學(xué)生是主人

如果一堂數(shù)學(xué)課，教師熱情洋溢，學(xué)生也歡欣雀躍，課堂上滿堂生花，它可能具有一定的時(shí)效性。但我們的責(zé)任是讓孩子們愛上數(shù)學(xué)，用上數(shù)學(xué)，成為數(shù)學(xué)的主人。這一堂課通過直觀形象的學(xué)具運(yùn)用，活潑清晰地在孩子們的頭腦里留下深刻印象，從形象思維上激發(fā)孩子的熱情，積累了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在“問、想、做、說、用”的過程中，抽象思維也得到發(fā)展，“合情推理”能力進(jìn)一步增強(qiáng)。這樣的課堂不但解決了目前的疑惑，又產(chǎn)生了新的問題：“973是一個(gè)三角形數(shù)嗎？”“我看見初中的哥哥姐姐經(jīng)常畫圖，他們專門研究圖形嗎？”

這樣的一堂課，是中轉(zhuǎn)站，是里程碑，更是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的航標(biāo)，是開啟智慧大門的金鑰匙。我希望孩子們?cè)谶@樣的引領(lǐng)和熏陶下，勇于質(zhì)疑，勤于探索，感受數(shù)學(xué)思想的神奇與偉大，感受學(xué)習(xí)的成功與快樂！