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    與格林L-關系相關的半環(huán)簇研究

    2017-07-06 11:02:55王麗麗王立群
    關鍵詞:王麗麗半環(huán)格林

    王麗麗,王立群

    (重慶理工大學 理學院, 重慶 400054)

    ?

    與格林L-關系相關的半環(huán)簇研究

    王麗麗,王立群

    (重慶理工大學 理學院, 重慶 400054)

    半環(huán); 簇; 格林關系

    1 引言及預備知識

    設(S,+,·)是(2,2)-型代數(shù)。若(S,+,·)的加法導出(S,+)和乘法導出(S,·)都是半群,并且(S,+,·)滿足等式x(y+z)≈xy+xz和(x+y)z≈xz+yz,則稱(S,+,·)是半環(huán)。格林關系在半群代數(shù)理論的發(fā)展中有著至關重要的作用, 而半環(huán)是滿足分配律的同一集合上的兩個半群, 因此有必要對半環(huán)上的格林關系進行研究[1-3]。文獻[4]對冪等元半環(huán)上的格林關系進行了的研究,并借助冪等元半環(huán)的格林關系研究了這類半環(huán)簇的L-子簇和D-子簇,得到了許多重要的結論。

    設(S,+,·)是半環(huán),且滿足下列附加恒等式:

    xn≈x

    (1)

    x+x≈x

    (2)

    (x+y)n-1≈xn-1+yn-1

    (3)

    (4)

    (5)

    由文獻[3]可知完全正則半群的每個H-類都是群,并且每一個完全正則半群S都是完全單半群的半格S=(Y,Sα),這里Y與S/J同構,Sα是S的J-類。且有

    2 主要結果

    定理1

    1)L0是由以下等式所確定的V的子簇:

    xyn-1≈yxn-1yn-1

    (6)

    2)L1是由以下等式所確定的V的子簇:

    xyn-1≈x

    (7)

    3)L是由以下等式所確定的V的子簇:

    (xyn-1+z)(yxn-1yn-1+z)n-1≈xyn-1+z

    (8)

    (z+xyn-1)(z+yxn-1yn-1)n-1≈z+xyn-1

    (9)

    zxyn-1(zyxn-1yn-1)n-1≈zxyn-1

    (10)

    4)L=L1°L0。

    證明 只證明1),其他情況類似可證。

    以下定理的證明比較簡單,故省略。

    定理2

    x+y≈y+x+y

    (11)

    x+y≈x

    (12)

    z+x+y+z+y+x+y≈z+x+y

    (13)

    從而

    因此:

    (abn-1+c)=

    (abn-1+c)((abn-1+c)(ban-1bn-1+c)n-1)n-1=

    (abn-1+c)(ban-1bn-1+c)n-1

    (c+abn-1)=

    (c+abn-1)((c+abn-1)(c+ban-1bn-1)n-1)n-1=

    (c+abn-1)(c+ban-1bn-1)n-1

    (cabn-1)=

    (cabn-1)((cabn-1)(cban-1bn-1)n-1)n-1=

    (cabn-1)(cban-1bn-1)n-1所以S滿足等式(8)~(10)。因此,由定理1得:S∈L。

    a=abn-1,b=ban-1

    從而

    an-1=(abn-1)n-1=an-1(bn-1)n-1

    bn-1=bn-1(an-1)n-1

    cn-1+an-1cn-1+cn-1bn-1)=((an-1+

    cn-1+cn-1bn-1)

    因此有

    從而推出

    即有

    cn-1an-1=cn-1an-1+cn-1bn-1+cn-1an-1

    cn-1bn-1=cn-1bn-1+cn-1an-1+cn-1bn-1

    (an-1+bn-1)(bn-1+an-1)n-1=an-1+bn-1

    (bn-1+an-1)(an-1+bn-1)n-1=bn-1+an-1

    推出

    因此

    cn-1an-1=cn-1an-1+cn-1bn-1+cn-1an-1

    cn-1bn-1+cn-1an-1+cn-1bn-1=cn-1bn-1

    另外,有:

    (an-1+cn-1)(bn-1+cn-1)n-1=

    an-1+cn-1bn-1+an-1cn-1+cn-1

    an-1+cn-1

    類似地

    因此

    (an-1+cn-1)(bn-1+cn-1)=(an-1+cn-1)

    類似地

    (bn-1+cn-1)(an-1+cn-1)=(bn-1+cn-1)

    因此

    在上述推導過程中已經(jīng)證明了

    [1] BURRIS S,SANKAPPANAVAR H P.A Course in Universal Algebra[M].New York:Springer,1981.

    [2] HOWIE J M.Fundamentals of Semigroup Theory[M].Oxford:Oxford Science Publication,1995.

    [3] PETRICH M,REILLY N R.Completely Regular Semigroups[M].New York:Wiley,1999.

    [4] ZHAO X Z,SHUM K P,GUO Y Q.L-subvarieties of the variety of idempotent semirings[J].Algebra Univers,2001,46:75-96.

    (責任編輯 陳 艷)

    On Semiring Varieties Related to Green’sL-Relations

    WANG Li-li, WANG Li-qun

    (College of Science, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

    semiring; variety; green’s relation

    2017-04-25

    重慶市教委科學技術研究項目(KJ1500925, KJ1600930)

    王麗麗(1981—), 女, 山東泰安人, 博士,副教授,主要從事代數(shù)理論研究,E-mail: wllaf@cqut.edu.cn。

    王麗麗,王立群.與格林L-關系相關的半環(huán)簇研究[J].重慶理工大學學報(自然科學),2017(6):184-187.

    format:WANG Li-li, WANG Li-qun.On Semiring Varieties Related to Green’sL-Relations[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science),2017(6):184-187.

    10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.06.028

    O153.3

    A

    1674-8425(2017)06-0184-04

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