初中數(shù)學(xué)因式分解規(guī)律化教學(xué)探討

陳飛龍

【摘要】 本文在初中數(shù)學(xué)因式分解疑難點(diǎn)透析基礎(chǔ)上，緊扣因式分解方法，對(duì)因式分解規(guī)律化教學(xué)進(jìn)行探討，總結(jié)出一套行之有效的方法，提高課堂教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】 因式分解 規(guī)律化教學(xué) 提公因式法 公式法 綜合化

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2017）06-133-010

因式分解有什么意義呢？為什么要進(jìn)行因式分解呢？因式分解其實(shí)是整式乘法的逆運(yùn)算，是分式約分、化簡的基礎(chǔ)，是一些日常簡便運(yùn)算的一種重要思路……既然因式分解這么重要，我們?cè)诮虒W(xué)過程中就不能掉以輕心，必須認(rèn)真對(duì)待。

一、提公因式法分解因式

什么是公因式？我們通常把多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。在因式分解的過程中如何找準(zhǔn)、找全公因式？找到之后又如何去分解因式？

勿庸置疑，若一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)為1或-1的，找起來是很容易的。如ab+bc的公因式是b；x3y-x2y的公因式是x2.若多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)并不是1或-1的，那還要找各項(xiàng)數(shù)字因數(shù)的最大公約數(shù)來充當(dāng)公因式的一部分因數(shù)。如：24a2b+36ab2c的公因式是6ab，這是因?yàn)?4與36的最大公約數(shù)是6；24a2b與36ab2c這兩項(xiàng)中，以a為相同底數(shù)的冪的最低次數(shù)是1，以b為相同底數(shù)的冪的最低次數(shù)是1。因此，它們的公因式就是6ab.這樣我們就知道公因式是怎么回事了，它就是各項(xiàng)數(shù)字因數(shù)的最大公約數(shù)與各項(xiàng)同底數(shù)冪的最低指數(shù)冪的組合因式。它是由數(shù)字因數(shù)與最低指數(shù)冪兩部分組合而成。

弄清這一點(diǎn)后，提公因式時(shí)就要注意了。先找數(shù)字因數(shù)部分的公因式，再找相同底數(shù)冪的公因式，組合寫在一起，就是這個(gè)多項(xiàng)式的公因式。如：8a2b2-12ab2c+4ab，8，12，4這幾個(gè)數(shù)字的公因式是4；a2b2，ab2c，ab這幾個(gè)字母部分的公因式是ab，因此整個(gè)式子的公因式是4ab.另外，還有一些多項(xiàng)式中又含有多項(xiàng)式的式子，如a（x-3）+2b（x-3），它的公因式是（x-3）.這個(gè)與上面所述的方法大同小異，在此就不作贅述。如果把學(xué)到這一點(diǎn)就已理解了公因式的真諦，那就錯(cuò)了。還有一種情況，如多項(xiàng)式-24x3+12x2-28x，按照上面的理解，該多項(xiàng)式的公因式就是4x，但按照北師大版2016版的教科書的理解及一些資料如南方出版社的《學(xué)考精練》的理解，該多項(xiàng)式的公因式是-4x。

只找準(zhǔn)了公因式，還未學(xué)會(huì)如何去分解，當(dāng)然是不夠的。如何去分解呢？我們還是先從簡單的入手。如上面提到的式子分解如下：

8a2b2-12ab2c+4ab=4ab（2ab-3bc+1）.

首先把公因式寫在前面，緊接著加一個(gè)括號(hào)，里面就收拾原式中除去公因式后剩余的部份就行了，原先的符號(hào)不變。如：8a2b2中的8除去了數(shù)字因數(shù)4，還剩一個(gè)因數(shù)2. a2b2除去了因式ab，還剩下因式ab，因此該項(xiàng)就剩下2ab，其它項(xiàng)類同。值得一提的是：當(dāng)多項(xiàng)式中有與公因式相同的項(xiàng)時(shí)，要用1去代替而不能認(rèn)為它什么都沒有了。收拾殘留時(shí)，符號(hào)是不變的。如上面式子中的4ab，已全部提出去了，所以用1代替，有不少同學(xué)就錯(cuò)誤地分解如下：8a2b2-12ab2c+4ab=4ab（2ab-3bc）.但若遇到前面提到過的-24x3+12x2-28x，這個(gè)多項(xiàng)式第一項(xiàng)為負(fù)的時(shí)，又該如何去進(jìn)行分解呢？若一步到位地將公因式-4x提出來，那么每項(xiàng)的殘留都會(huì)涉及到符號(hào)問題，非常的不方便。這時(shí)我們可把負(fù)號(hào)先提出，各項(xiàng)變號(hào)后，就不需要再在提公因式時(shí)考慮負(fù)號(hào)了。因此該式可以這樣分解：

-24x3+12x2-28x=-（24x3-12x2+28x）

=-4x（6x2-3x+7）。

還有一種變式的公因式，可能會(huì)有一些同學(xué)所識(shí)別不出來。那就是互為相反數(shù)的式子可以形變成公因式。例如將下列各式因式分解：

（1）a（x-y）+b（y-x）； （2）6（m-n）2-12（n-m）3。

我們可以不難發(fā)現(xiàn)（x-y）與（y-x）不是公因式，但他們互為相反數(shù)。同理（m-n）與（n-m）也是互為相反數(shù)。教學(xué)時(shí)，我們不妨先舉個(gè)簡單顯淺的相反數(shù)形變來講解一下其中的奧妙之處。如：1的相反數(shù)是-1，1是不等于-1的。但我們?cè)俅握?1的相反數(shù)，把它寫成-（-1）；那么1=-（-1）；這就告訴我們，我們可以通過偶數(shù)次變換相反數(shù)來獲得與原數(shù)等值的形變。因而上面兩道式子可以分解如下：

（1）a（x-y）+b（y-x）=a（x-y）-b（x-y）

=（a-b）（x-y）；

（2）6（m-n）2-12（n-m）3=6（n-m）2-12（n-m）3

=6（n-m）2[1-2（n-m）]

=6（n-m）2（1-2n+2m）。

從上面兩式的分解來看，我們不難想象：如果是冪的底數(shù)互為相反數(shù)，那么選擇指數(shù)為偶數(shù)的冪來進(jìn)行形變比較方便。

二、公式法分解因式

1.平方差公式。（a+b）（a-b）=a2-b2，這是整式乘法的特例公式。逆過來運(yùn)算才是分解因式：a2-b2=（a+b）（a-b）。我們不難發(fā)現(xiàn)，要運(yùn)用這道公式分解因式，前提條件是：

a.這個(gè)多項(xiàng)式是由兩大項(xiàng)組成；

b.這兩大項(xiàng)必須是平方項(xiàng)或可以改寫成平方項(xiàng)。不能是部分平方而是整大項(xiàng)的平方；

c.這兩個(gè)平方項(xiàng)必須是異號(hào)的（因?yàn)楫愄?hào)才可以寫成差的形式）。

分解方法：用這兩大項(xiàng)的底數(shù)進(jìn)行相加、相減然后再把結(jié)果相乘。在教學(xué)過程中，我們應(yīng)該告誡學(xué)生切勿操之過急，胡亂套用公式。如：

25-16x2=52-（4x）2

=（5+4x）（5-4x）。

錯(cuò)例分析：

（1）m2-9n2=（m+9n）（m-9n），這是錯(cuò)誤的。

正確的答案是m2-9n2=（m+3n）（m-3n）。因?yàn)?n2這一項(xiàng)只有n在平方，而9并未加入到平方的行列。應(yīng)先將9n2變成（3n）2，這樣才符合是整項(xiàng)的平方。

（2）-x2-y2=-（x+y）（x-y），這是也錯(cuò)誤的。

在教學(xué)過程中，要提點(diǎn)學(xué)生不要以為有個(gè)-號(hào)就是差。真正的差的概念是兩項(xiàng)異號(hào)。

2.完全平方公式。（a±b）2=a2±2ab+b2，這也是整式乘法的特例公式。逆過來運(yùn)算才是分解因式：a2±2ab+b2=（a±b）2；經(jīng)觀察找規(guī)律后，我們不難發(fā)現(xiàn)，要運(yùn)用這道公式分解因式，前提條件是：

a.這個(gè)多項(xiàng)式由三大項(xiàng)組成；

b.其中有兩大項(xiàng)是平方項(xiàng)且是同號(hào)的；

c.這兩大項(xiàng)底數(shù)乘積的2倍（不限正負(fù)）要出現(xiàn)。

分解方法：兩底數(shù)相加或相減（原式中2倍底數(shù)積項(xiàng)是正的就相加，是負(fù)的就相減）后再平方，這種分解最后的形式一般都是括號(hào)括住后再平方的。

三、綜合化分解因式

因式分解是多變的，靈活的，有時(shí)還會(huì)是綜合的。如：x4-x2；這道式子綜合了提公因式法分解因式與運(yùn)用平方差公式法分解因式，分解如下：

x4-x2=x2（x2-1）

=x2（x+1）（x-1）

因此，我們?cè)诜纸鈺r(shí)，應(yīng)當(dāng)遵守以下原則：（1）對(duì)于第一項(xiàng)為負(fù)的多項(xiàng)式，優(yōu)先考慮將負(fù)號(hào)提出（尤其是三項(xiàng)以上的）；（2）能夠用提公因式法分解的，先用提公因式法分解；（3）分解之后能夠化簡的要化到最簡，分解之后還可以再進(jìn)一步分解的還要繼續(xù)分解。

綜上所述，在教學(xué)因式分解時(shí)，我們就應(yīng)當(dāng)不斷地引導(dǎo)學(xué)生挖掘分解因式中所蘊(yùn)含的規(guī)律，讓學(xué)生對(duì)規(guī)律變化進(jìn)行由淺入深、循序漸進(jìn)地探討，總結(jié)出一套行之有效的方法，提高課堂教學(xué)效果。