論高中數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”的重要性

廣東省廉江市廉江中學(xué) 鄭志興

一、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”思想的運(yùn)用及實(shí)施

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)（恩格斯語(yǔ)）。數(shù)學(xué)中兩大研究對(duì)象“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素，數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長(zhǎng)河中的一條主線，并且使數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用更加廣泛和深入。

一方面，借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，給人以直覺(jué)的啟示。將數(shù)學(xué)中的代數(shù)問(wèn)題形象化。

另一方面，將圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，以獲得精確的結(jié)論。這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡(jiǎn)捷明快，同時(shí)還可以大大開(kāi)拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)辟了一條重要的途徑。因此，數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法，而應(yīng)作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。

而課堂中多媒體的應(yīng)用更有利于體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，有利于突破教學(xué)難點(diǎn)，有利于動(dòng)態(tài)地顯示給定的幾何關(guān)系，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)愉快的課堂教學(xué)氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，愛(ài)學(xué)數(shù)學(xué)。

數(shù)形結(jié)合的途徑

二、數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的解題思想方法，下面簡(jiǎn)單介紹一下數(shù)形結(jié)合的途徑

1.由數(shù)到形的轉(zhuǎn)換途徑

一是方程或不等式問(wèn)題?？梢赞D(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)位置關(guān)系的問(wèn)題，并借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)的問(wèn)題。

三是構(gòu)造幾何模型。通過(guò)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)分析，構(gòu)造出符合代數(shù)式的幾何圖形，如將a2與正方形的面積互化，將abc與體積互化，將與勾股定理溝通等等。

四是利用解析幾何中的曲線與方程的關(guān)系，利用數(shù)學(xué)中一些代數(shù)式的幾何意義來(lái)解題。重要的公式（如兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)到直線的距離直線的斜率，直線的截距）、定義等來(lái)尋求代數(shù)式的圖形背景及有關(guān)性質(zhì)。

2.由形到數(shù)的轉(zhuǎn)換途徑

（1）解析法

建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（直角坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系），引進(jìn)坐標(biāo)將幾何圖形變換為坐標(biāo)間的代數(shù)關(guān)系。

（2）三角法

將幾何問(wèn)題與三角形溝通，運(yùn)用三角代數(shù)知識(shí)獲得探求結(jié)合的途徑。

（3）向量法

將幾何圖形向量化，運(yùn)用向量運(yùn)算解決幾何中的平角、垂直、夾角、距離等問(wèn)題。把抽象的幾何推理化為代數(shù)運(yùn)算。特別是空間向量法使解決立體幾何中平行、垂直、夾角、距離等問(wèn)題變得有章可循。

三、數(shù)形結(jié)合在教學(xué)中的運(yùn)用

“數(shù)無(wú)形時(shí)不直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微”道出了數(shù)形結(jié)合的辯證關(guān)系，數(shù)形結(jié)合簡(jiǎn)言之就是：見(jiàn)到數(shù)量就應(yīng)想到它的幾何意義，見(jiàn)到圖形就應(yīng)想到它的數(shù)量關(guān)系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合對(duì)啟發(fā)思路，理解題意，分析思考，判斷反饋都有著重要的作用。數(shù)形結(jié)合滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)的每個(gè)部分，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)，可以通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系的討論來(lái)研究圖形的性質(zhì)，也可利用圖形的性質(zhì)來(lái)反映變量之間的相互關(guān)系，因此數(shù)形結(jié)合可以使數(shù)和形相互啟發(fā)、相互補(bǔ)充、相互印證。為了培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思維習(xí)慣，在高中數(shù)教學(xué)中就要有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合的思想和方法。

四、要學(xué)會(huì)靈活的把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題

（1）“數(shù)”中思“形”

例2. 解不等式：解: 設(shè)，即對(duì)應(yīng)的曲線是以為頂點(diǎn)，

開(kāi)口向右的拋物線的上半支。而函數(shù)y=x+1的圖象是一直線。解方程可求出拋物線上半支與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是

（2）“形”中覓“數(shù)”

例3.求方程lgx-sinx=0的解的個(gè)數(shù)。

分析：此方程解的個(gè)數(shù)為y=lgx的圖象與y=sinx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

因?yàn)閟inx≤1, lgx≤1

所以0＜x≤10

在平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖，形中覓數(shù)，可直觀地看出兩曲線有3個(gè)交點(diǎn)。

(3)在解析幾何上的應(yīng)用個(gè)例分析

綜上所述，數(shù)形結(jié)合的思想就是把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來(lái)考查的思想，根據(jù)解決問(wèn)題的需要，給“數(shù)”的問(wèn)題以直觀圖形的描述，揭示出問(wèn)題的幾何特征，變抽象為直觀；給“形”的問(wèn)題以數(shù)的度量，分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，更能從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)“形”的幾何屬性，簡(jiǎn)而言之“數(shù)形互相取長(zhǎng)補(bǔ)短”。

五、正確使用數(shù)形結(jié)合思想，有可能出現(xiàn)的問(wèn)題

“數(shù)”與“形”作為數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)基本對(duì)象，既是統(tǒng)一又是對(duì)立。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，要注意“數(shù)”與“形”的等價(jià)原則。下面僅舉例分析最常見(jiàn)的錯(cuò)誤。

畫(huà)圖不準(zhǔn)確，忽視考慮圖形的整體性，如等價(jià)性原則中的例題所示。

在使用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)，出現(xiàn)的問(wèn)題不局限做草圖，所以在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解題時(shí)應(yīng)注意三個(gè)問(wèn)題。

一是要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義，以及曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系

二是通過(guò)坐標(biāo)系做好“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化

三是正確確定變量的取值范圍

通過(guò)以上幾個(gè)方面的探討，我們初步領(lǐng)略了數(shù)形結(jié)合在解題中的美妙所在了。數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用很廣泛，滲透在學(xué)習(xí)新知識(shí)和應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程之中，需要平時(shí)多注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，有意識(shí)地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，提高數(shù)學(xué)思維水平。