基于自適應(yīng)切比雪夫?yàn)V波器的非線性有源噪聲控制

郭新年，周恒瑞

（淮陰工學(xué)院，江蘇 淮安 223003）

基于自適應(yīng)切比雪夫?yàn)V波器的非線性有源噪聲控制

郭新年，周恒瑞

（淮陰工學(xué)院，江蘇 淮安 223003）

提出一種基于自適應(yīng)切比雪夫?yàn)V波器的非線性有源噪聲控制算法FCLMS。FCLMS算法使用傳統(tǒng)的FxLMS結(jié)構(gòu)，將初級(jí)噪聲使用第一類切比雪夫多項(xiàng)式展開，進(jìn)而擬合該信號(hào)，而后使用LMS自適應(yīng)算法進(jìn)行噪聲控制。該算法的計(jì)算復(fù)雜度低于2階VFxLMS和1階FS LMS算法。在不同的仿真模型下的仿真結(jié)果表明，該算法控制效果均達(dá)到或優(yōu)于VFxLMS和FS LMS算法，且收斂速度快。

聲學(xué)；有源噪聲控制；非線性自適應(yīng)濾波器；切比雪夫?yàn)V波器；FSLMS

隨著現(xiàn)代工業(yè)設(shè)備，交通運(yùn)輸業(yè)的發(fā)展，噪聲污染問題日益突出，嚴(yán)重影響人們的日常生產(chǎn)生活。傳統(tǒng)的無源噪聲控制（Passive Noise Control，PNC）方法主要是基于材料的吸收或反射特性，對(duì)高頻噪聲抑制效果較明顯，然而，被動(dòng)降噪技術(shù)存在消聲材料價(jià)格昂貴、體積大，且低頻噪聲控制效果差等缺點(diǎn)，因此有源噪聲控制（Active Noise Control，ANC）技術(shù)得到了更多的關(guān)注[1–11]。

有源噪聲控制技術(shù)是基于波的疊加原理，即次級(jí)聲源產(chǎn)生的次級(jí)噪聲與噪聲源發(fā)出的初級(jí)噪聲幅值相等、相位相反，兩列聲波進(jìn)行相互疊加、抵消[1–4]。針對(duì)線性有源噪聲控制（Linear Active Noise Control）系統(tǒng)，F(xiàn)xLMS（filtered-xleastmeansquare）算法取得了較好的實(shí)用效果。然而，在實(shí)際應(yīng)用中很多系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出非線性特征，這些非線性主要來源于[5]；

（1）有源噪聲控制系統(tǒng)中的某些部件，如揚(yáng)聲器等，可能表現(xiàn)出非線性特征；

（2）動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的噪聲源本身表現(xiàn)出的非線性；

（3）初級(jí)通道和次級(jí)通道的傳遞函數(shù)帶來的非線性。

針對(duì)非線性有源噪聲控制（Nonlinear Active Noise Control）系統(tǒng)，很多學(xué)者給出了相應(yīng)的自適應(yīng)非線性濾波器，這些濾波器主要分為兩類[6]：基于自適應(yīng)多項(xiàng)式的濾波器和基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的濾波器。Tan和Jiang給出了基于Volterra多項(xiàng)式的VFxLMS (Volterra Filtered-x Least Mean Square)算法，該算法通過使用Volterra展開式重構(gòu)非線性有源噪聲控制系統(tǒng)的輸入信號(hào)，進(jìn)而更好地?cái)M合輸入信號(hào)，達(dá)到了很好的控制效果[5]。Das和Panda提出一種基于函數(shù)鏈接人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Functional Link Artificial Neural Network，F(xiàn)LANN）擬合輸入信號(hào)的 FS LMS (Filtered-s Least Mean Square)算法[7]，該算法使用正弦和余弦函數(shù)作為基函數(shù)展開輸入信號(hào)，計(jì)算復(fù)雜度低且控制效果較好，但是該算法的基函數(shù)中缺少交叉項(xiàng)，所以對(duì)沖擊信號(hào)控制效果不理想[11]。Vinal和Nithin給出了一種基于偶鏡像傅里葉非線性（Even Mirror Fourier Nonlinear，EMFN）濾波器[8]，該濾波器使用正弦、余弦函數(shù)及其交叉項(xiàng)作為基函數(shù)，滿足正交特性，在非線性有源噪聲控制系統(tǒng)中取得了很好的控制效果，然而相比于FSLMS算法，由于增加了交叉項(xiàng)的內(nèi)容，該算法計(jì)算量較大，不利于實(shí)際應(yīng)用。陳玨等對(duì)目前的一些有源噪聲控制算法進(jìn)行了比較分析[9]。

為進(jìn)一步降低計(jì)算量，提高系統(tǒng)控制效果，本文提出一種基于第一類切比雪夫多項(xiàng)式(Chebshev Polynomial)[10]的非線性有源控制算法FCLMS。該算法使用第一類切比雪夫多項(xiàng)式展開并擬合輸入信號(hào)，利用最小均方差LMS（Least Mean Square）自適應(yīng)算法控制次級(jí)噪聲輸出，以達(dá)到抑制初級(jí)噪聲的目的。該算法計(jì)算復(fù)雜度低，仿真結(jié)果表明該算法收斂速度快，控制效果好。

1 算法

VFxLMS[5]和FSLMS[7]算法分別使用Volterra多項(xiàng)式和三角基函數(shù)的展開形式擬合初級(jí)噪聲信號(hào)，在此思路上，本文使用第一類切比雪夫多項(xiàng)式展開并擬合初級(jí)噪聲，進(jìn)而比較切比雪夫多項(xiàng)式展開形式在有源噪聲控制領(lǐng)域的控制效果。

1.1 切比雪夫多項(xiàng)式

切比雪夫多項(xiàng)式是以遞歸方程形式定義的系列正交多項(xiàng)式，第一類切比雪夫多項(xiàng)式的遞歸式如下[10]

其中T0(x)=1，T1(x)=x，Tn(x)是第n階展開式。第一類切比雪夫多項(xiàng)式的根用于多項(xiàng)式差值時(shí)可最大限度的降低龍格現(xiàn)象[10]。在切比雪夫多項(xiàng)式定義域[-1，1]內(nèi)，任意N次多項(xiàng)式p(x)可以寫成常數(shù)與切比雪夫多項(xiàng)式乘積之和的形式

一個(gè)實(shí)際函數(shù)f(x)，可以表示為如下形式

然而p(x)為有限項(xiàng)，可以無限逼近實(shí)際函數(shù)f(x)，但終究存在誤差

如果函數(shù)f(x)可微，則系數(shù)an序列收斂迅速，則e(x)≈aN+1TN+1(x)。第一類切比雪夫多項(xiàng)式如表1所示[10]。

表1 第一類Chebshev多項(xiàng)式

1.2 FCLMS算法

基于自適應(yīng)切比雪夫?yàn)V波器的非線性有源噪聲控制算法如圖1所示，x(n)是噪聲源發(fā)出的初級(jí)噪聲信號(hào)，P(z)是初級(jí)通道傳遞函數(shù)，dp(n)是信號(hào)源噪聲經(jīng)初級(jí)通道傳播后在誤差傳感器處的噪聲，c1(n),c2(n),...,cM(n)是噪聲源信號(hào)經(jīng)切比雪夫多項(xiàng)式展開后的信號(hào)，e(n)是誤差殘留信號(hào)，通過拾音器（麥克風(fēng)）獲取。y(n)是控制器（揚(yáng)聲器）輸出的次級(jí)噪聲，s(n)是次級(jí)通道傳遞函數(shù)（脈沖響應(yīng)），sˉ(n)是次級(jí)通道傳遞函數(shù)的估計(jì)式。

圖1 FCLMS算法框圖

控制器輸出的次級(jí)噪聲為

2階的切比雪夫展開式為

輸出次級(jí)噪聲y(n)經(jīng)次級(jí)通道的傳遞函數(shù)后，得到其在誤差傳感器處的信號(hào)

其中*表示卷積運(yùn)算，ds(n)與dp(n)疊加后的誤差信號(hào)為

將(5)代入式(8)，可得

則誤差殘留信號(hào)的均方為

為使ξ最小，依據(jù)LMS算法[5]，可得權(quán)值系數(shù)的更新方程

其中μ是迭代步長(zhǎng)，v(n)=c(n)?sˉ(n)，是切比雪夫展開項(xiàng)經(jīng)過次級(jí)通道估計(jì)函數(shù)濾波后的響應(yīng)。

2 計(jì)算復(fù)雜度分析

基于自適應(yīng)切比雪夫?yàn)V波器的非線性有源噪聲控制FCLMS算法的計(jì)算復(fù)雜度主要包括以下部分：計(jì)算輸出次級(jí)噪聲y(n)，對(duì)切比雪夫展開項(xiàng)c(n)進(jìn)行濾波，和權(quán)更新算法過程中的乘法和加法總量。

在單通道的非線性有源噪聲控制系統(tǒng)中，假定存儲(chǔ)器長(zhǎng)度為N，切比雪夫展開的階數(shù)為P，則切比雪夫展開項(xiàng)數(shù)為M=PN+1，次級(jí)通道傳遞函數(shù)的長(zhǎng)度為L(zhǎng)。

(1)次級(jí)噪聲y(n)的輸出過程：

乘法計(jì)算量為：M，加法計(jì)算量為M-1；

(2)對(duì)切比雪夫項(xiàng)c(n)進(jìn)行濾波過程：

乘法計(jì)算量為：(P+1)L，加法計(jì)算量為（P+1）(L-1)；

(3)權(quán)更新算法過程中：

乘法計(jì)算量為：2M，加法計(jì)算量為M-1。

基于自適應(yīng)切比雪夫?yàn)V波器的非線性有源噪聲控制算法的計(jì)算復(fù)雜度與2階VFx LMS與FS LMS算法的比較如表2所示，表中P0是FS LMS算法展開階數(shù)。由表2可以看出，切比雪夫算法計(jì)算量更小。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證本文提出算法的有效性，選用不同的信號(hào)源和不同的傳遞函數(shù)模型進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。在所有的仿真中，為了描述算法性能，定義標(biāo)準(zhǔn)均方差（NMSE）為

3.1 實(shí)驗(yàn)1

假設(shè)初級(jí)噪聲是邏輯混沌噪聲（Logistic Chaotic Noise），該噪聲模型是廣泛使用的演講環(huán)境、腔體（如管道）內(nèi)部噪聲模型[5–9]，由下式產(chǎn)生

其中λ=4且x(1)=0.9。

初級(jí)通道傳遞函數(shù)為

設(shè)次級(jí)通道為非最小相位角通道，其傳遞函數(shù)為[7]

圖2給出了本文提出的自適應(yīng)切比雪夫算法FCLMS與2階VFxLMS和1階FSLMS算法的控制效果比較，實(shí)驗(yàn)中選用的迭代步長(zhǎng)u分別為：1)FC LMSμ1=μ2=0.01；2)VFxLMS，μ1=0.002，μ2= 0.002；3)FSLMS，μ1=μ2=0.004。由收斂曲線可以看出，F(xiàn)CLMS算法收斂效果更好，NMSE達(dá)到了-26.5分貝。

圖2 各算法對(duì)混沌信號(hào)的控制效果

3.2 實(shí)驗(yàn)2

在實(shí)驗(yàn)1的噪聲源下，初級(jí)通道傳遞函數(shù)不變，次級(jí)通道為最小相位模型，其傳遞函數(shù)為

表2 算法復(fù)雜度比較分析

迭代步長(zhǎng)u分別取：1)FCLMS，μ1=μ2= 0.012，2)VFxLMS，μ1=μ2=0.003，3)FSLMS，μ1= 0.005，μ2=0.006。圖3給出了三種算法的收斂曲線的比較圖。

圖3 各算法對(duì)混沌信號(hào)的控制效果

由圖中可以看出，F(xiàn)CLMS算法不僅收斂速度快，而且效果更好，F(xiàn)SLMS算法速度優(yōu)于VFxLMS算法。FCLMS算法NMSE達(dá)到了-40.8分貝，而2階VFxLMS可以達(dá)到-28.0分貝，F(xiàn)SLMS算法-27.5分貝。

3.3 實(shí)驗(yàn)3

該實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ拖?，初?jí)通道使用非線性傳遞模型，在誤差傳感器處的信號(hào)由下式得到

其中t(n)=x(n)*f(n)，f(n)是初級(jí)通道傳遞函數(shù)F(z)=z-3-0.3z-4+0.2z-5的沖擊響應(yīng)。

噪聲源信號(hào)x(n)使用500赫茲正弦波信號(hào)，該信號(hào)的采樣頻率為8 000次/秒，由下式得到

次級(jí)通道模型選擇與實(shí)驗(yàn)2中相同，為最小相位模型。迭代步長(zhǎng)u分別取：1)FCLMS，μ1=μ2= 0.000 7；2)VFxLMS，μ1=0.005，μ2=0.005；3)FS LMS，μ1=0.005，μ2=0.006。VFxLMS、FSLMS和FCLMS算法的效果比較如圖4所示。

由圖可見，三種算法效果接近，然而FCLMS的計(jì)算量更少。

3.4 實(shí)驗(yàn)4

在前3個(gè)實(shí)驗(yàn)中，次級(jí)通道均采用線性模型，該實(shí)驗(yàn)中次級(jí)通道采用非線性模型[11]。

初級(jí)通道中在誤差傳感器處的噪聲為

次級(jí)通道在誤差傳感器處的信號(hào)與控制器（揚(yáng)聲器）輸出信號(hào)之間關(guān)系為

圖4 各算法對(duì)周期信號(hào)的控制效果

輸入信號(hào)為均勻白噪聲，實(shí)驗(yàn)中使用的迭代步長(zhǎng)分別為：1)FCLMSμ1=μ2=0.001；2)VFxLMS，μ1=0.003，μ2=0.003，3)FSLMS，μ1=0.006，μ2= 0.006。VFxLMS、FSLMS和FCLMS算法的效果比較如圖5所示。

圖5 各算法對(duì)非線性次級(jí)通道的控制效果

由圖5可見，三種算法效果接近。

4 結(jié)語

本文提出一種基于自適應(yīng)切比雪夫?yàn)V波器的非線性有源噪聲控制算法FCLMS。該算法使用傳統(tǒng)的FxLMS結(jié)構(gòu)，將初始噪聲使用第一類切比雪夫多項(xiàng)式展開，進(jìn)而擬合該信號(hào)，而后使用LMS自適應(yīng)算法進(jìn)行噪聲控制。FCLMS算法的計(jì)算復(fù)雜度低于目前主流的VFxLMS和FSLMS算法。在不同的仿真模型下，該算法控制效果和收斂速度達(dá)到或優(yōu)于VFxLMS和FSLMS算法。

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Adaptive FCLMSAlgorithm for NonlinearActive Noise Control Based on Chebshev Filter

GUO Xin-nian,ZHOU Heng-rui
(Huai Yin Institute of Technology,Huaian 223003,Jiangsu China)

A Chebshev filter based filtered-x least mean square(FCLMS)algorithm is proposed for nonlinear active noise control(NANC).The FCLMS algorithm uses the traditional FxLMS structure with the first kind Chebyshev polynomial expansion of the original signal.The computational complexity analyses in comparison with the second-order Volterra filtered-xLMS(VFxLMS)and first-order filtered-s LMS(FSLMS)algorithms are provided.The performance of the FCLMS algorithms is validated through computer simulations.Results of the simulations demonstrate that the developed FC LMS algorithm is better than the VFxLMS and FSLMS algorithms in terms of the noise control efficiency as well as the convergence speeds.

acoustics;active noise control;nonlinear adaptive filter;Chebshev filter;FSLMS

TB132；TB535

：A

：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.03.017

1006-1355(2017)03-0088-04+121

2016-08-23

郭新年，男，江蘇省徐州市人，講師，主要研究方向?yàn)樽赃m應(yīng)信號(hào)處理，有源噪聲控制，機(jī)器視覺。E-mail:yeamy1987@163.com