基于連接特性識別的子結(jié)構(gòu)綜合法

李志深，周 華，李鴻光

（上海交通大學(xué)，機(jī)械系統(tǒng)與振動國家重點(diǎn)實(shí)驗室，上海 200240）

基于連接特性識別的子結(jié)構(gòu)綜合法

李志深，周 華，李鴻光

（上海交通大學(xué)，機(jī)械系統(tǒng)與振動國家重點(diǎn)實(shí)驗室，上海 200240）

子結(jié)構(gòu)綜合法因其分塊計算的特性，適用于由多單元組成的系統(tǒng)動特性的計算，但是對結(jié)構(gòu)間連接的處理尚缺乏系統(tǒng)的分析和處理，而實(shí)際應(yīng)用中，由于子結(jié)構(gòu)之間的連接較為復(fù)雜，導(dǎo)致傳統(tǒng)的機(jī)械導(dǎo)納法計算結(jié)果準(zhǔn)確性較低?？紤]子結(jié)構(gòu)綜合法中連接單元特性對綜合計算帶來的影響，引入虛阻抗的概念，在結(jié)構(gòu)綜合計算中將連接單元對結(jié)構(gòu)特性的影響以阻抗陣的形式引入進(jìn)來，而連接單元的特性則根據(jù)整體單元及各個子單元的頻響特性逆向推導(dǎo)所得，通過離散單元及彈性連續(xù)體單元模型驗證考慮連接特性的綜合方法在計算上的準(zhǔn)確性，并將方法引入到銑刀動特性的預(yù)測中，通過設(shè)計實(shí)驗驗證了方法的可靠性。

振動與波；子結(jié)構(gòu)綜合法；連接；阻抗辨識；銑刀動特性

在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動態(tài)分析中，有限元方法的應(yīng)用極為廣泛，將無窮多自由度的系統(tǒng)離散化為一個個有限單元，再將分別計算得到的各個單元的質(zhì)量、剛度矩陣合成系統(tǒng)矩陣，但是由于結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，往往系統(tǒng)矩陣的階次較高，需要很高的計算時間和空間，這對于由多單元組成的結(jié)構(gòu)優(yōu)化顯得尤為不便，結(jié)構(gòu)中每個單元的改動都需重新對整個系統(tǒng)進(jìn)行計算，因此子結(jié)構(gòu)綜合方法應(yīng)運(yùn)而生：在計算中分別計算每個子單元的動態(tài)特性，再根據(jù)子單元間的連接條件，將他們的動態(tài)特性進(jìn)行綜合得到總的結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性[1]，這種方法可極大地降低結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中計算的復(fù)雜程度。

顯然，在子結(jié)構(gòu)計算中，子結(jié)構(gòu)之間連接條件的定義，會對結(jié)構(gòu)的動特性帶來較大的影響。在很多計算過程中，往往將各子結(jié)構(gòu)之間的連接作為剛性連接處理[2–3]，這會導(dǎo)致計算結(jié)果與結(jié)構(gòu)實(shí)際特性產(chǎn)生較大的差異，為了提高計算的準(zhǔn)確性，很多學(xué)者將連接作為柔性連接處理[4]，黃在中將浮筏與艙體之間的隔振器連接用彈簧阻尼單元來表示，得到了與真實(shí)特性極為接近的結(jié)果[5]。但是該方法僅適用于簡單明確的連接計算中（比如隔振器、彈簧等連接），而對于多數(shù)復(fù)雜連接結(jié)構(gòu)，由于其連接剛度及阻尼難以確定[6]，使得該方法具有十分明顯的局限性。

本文對結(jié)構(gòu)之間的連接提出了虛阻抗的假設(shè)，在假設(shè)的基礎(chǔ)上給出結(jié)構(gòu)間連接節(jié)點(diǎn)之間的位移連續(xù)及力平衡條件，并推導(dǎo)出基于連接特性識別的子結(jié)構(gòu)綜合法VJF-FRF（Virtual Joint Identify），并根據(jù)子單元與綜合單元動態(tài)特性給出連接特性的逆向推導(dǎo)，通過仿真和試驗對比，證明相比于傳統(tǒng)的方法(Direct-FRF)[2]，本文提出的基于連接特性識別的子結(jié)構(gòu)綜合法能夠得到與實(shí)際結(jié)構(gòu)更為吻合的結(jié)果，可廣泛應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)動特性快速計算及結(jié)構(gòu)單元的優(yōu)化中。

1 子結(jié)構(gòu)綜合理論

在子結(jié)構(gòu)綜合方法中，首先將總的結(jié)構(gòu)分成一個個子結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 子結(jié)構(gòu)綜合法

將整體單元分成A、B兩個子結(jié)構(gòu)，并通過有限元計算或試驗測試獲得各個子單元的頻響特性

式(1)中下標(biāo)j表示單元的界面坐標(biāo)，即單元之間產(chǎn)生連接所對應(yīng)的坐標(biāo)，i表示非界面坐標(biāo)，若將結(jié)構(gòu)間的連接視為剛性連接，此時結(jié)構(gòu)的界面連接坐標(biāo)之間滿足力平衡及位移連續(xù)條件[7]

將兩個單元綜合后，整個系統(tǒng)的頻響特性可表示為

結(jié)合式(1)－式(3)可推導(dǎo)綜合結(jié)構(gòu)與子結(jié)構(gòu)間頻響特性滿足

將上述方法稱為直接頻響綜合法（Direct-FRF），當(dāng)子結(jié)構(gòu)之間以剛性連接時（例如焊接），上述方法往往能夠得到較為精準(zhǔn)的結(jié)果，但是當(dāng)連接剛性不足時，使用上述方法所得到的結(jié)果與實(shí)際測試結(jié)果存在偏差，圖2（a）所示為銑刀夾持模型，一般計算中將銑刀伸出部分直接作為懸臂梁進(jìn)行處理如圖2中的（c），對比測試與計算結(jié)果顯然此時計算的固有頻率有著明顯的偏差，同時為了進(jìn)一步說明連接特性帶來的影響，保持伸出長度不變，增長銑刀的夾持長度，如圖2（b），圖3是結(jié)構(gòu)1階頻率在不同夾持情況下動特性的對比圖，結(jié)果顯示，顯然將結(jié)構(gòu)間的連接作為剛性連接進(jìn)行處理，難以得到令人滿意的結(jié)果。

圖2 不同夾持銑刀動特性測試

圖3 銑刀動特性測試結(jié)果

當(dāng)子單元結(jié)構(gòu)之間彈簧阻尼形式（隔振器）連接時，將隔振器阻抗矩陣Z帶入綜合計算中[8]，式(5)即為改進(jìn)后結(jié)果

此時能夠?qū)τ嬎憬Y(jié)果做出一定程度的修正，但是由于結(jié)構(gòu)間的連接較為復(fù)雜，結(jié)構(gòu)連接的阻抗矩陣難以確定，使得該方法具有一定的局限性，僅適用于某些簡單連接單元的綜合計算，通過多次測試的方法可以擬合連接單元之間的阻抗陣，但這往往難以得到較為準(zhǔn)確的計算結(jié)果，針對此問題，本文提出了基于連接特性識別的子結(jié)構(gòu)綜合法。

2 基于連接特性識別的子結(jié)構(gòu)綜合法

2.1 子結(jié)構(gòu)綜合計算

子結(jié)構(gòu)綜合中，連接單元的適當(dāng)處理是保證計算準(zhǔn)確性的關(guān)鍵，為了便于推導(dǎo)和計算，結(jié)合有限元原理提出連接單元虛阻抗（Virtual Joint）的定義，將連接視為單獨(dú)單元，并由s×s組彈簧阻尼單元組成的無質(zhì)量結(jié)構(gòu)，其中s為節(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)。

為了更好地描述方法的推導(dǎo)過程，以2自由度的變截面梁單元為例，展開算法的推導(dǎo)過程，如圖4。

圖4 變截面梁單元模型

模型中各子結(jié)構(gòu)單元的頻響矩陣可表示為

同時，連接單元各自由度間的耦合效果一般比較微弱[8]，此時ZJ退化為一對角陣，此時結(jié)合式(6)－式(8)可得出系統(tǒng)新的平衡條件為

將式(6)代入式(9)中，消去中間量Xi、θi，界面連接作用力與節(jié)點(diǎn)力之間關(guān)系可表示為

式(11)即為綜合結(jié)構(gòu)頻響與子結(jié)構(gòu)單元頻響之間的關(guān)系。

2.2 連接特性的逆向推導(dǎo)

以上給出了將連接單元進(jìn)行虛阻抗假設(shè)下的頻響綜合的推導(dǎo)，在計算過程中，結(jié)構(gòu)間連接以虛阻抗的形式hJ/pJ引入綜合結(jié)構(gòu)頻響的計算中，如何根據(jù)子結(jié)構(gòu)單元及綜合單元特性準(zhǔn)確的辨識這兩個參數(shù)是方法應(yīng)用的關(guān)鍵，接下來將給出連接虛阻抗的辨識方法。

根據(jù)參數(shù)辨識理論，式(11)包含兩個未知量，需要兩個包含變量的等式關(guān)系，此時可以取推導(dǎo)矩陣中的前兩項來求取未知量hJ/pJ，將等式展開為

式中G11G12為綜合結(jié)構(gòu)中的原點(diǎn)及跨點(diǎn)導(dǎo)納，即

式中包含的brr/brt/btr/btt對應(yīng)為式(7)中B矩陣中的各項，即

其中，由于HJ矩陣為對角陣，即brtbtr兩項為已知變量，待求解變量hJpJ分別被囊括在變量brrbtt中，此時公式可解得

算法的主要架構(gòu)見圖5。

3 方法驗證

3.1 仿真驗證

為了檢驗文中所提出的頻響綜合方法，分別采用離散單元及彈性連續(xù)體單元來驗證頻響綜合計算的準(zhǔn)確性。

（a）離散單元驗證

圖6為所設(shè)計的離散單元模型，模型是由質(zhì)量、彈簧及阻尼單元組成4自由度單元，按照頻響綜合的理論將模型分為由A、B兩個子結(jié)構(gòu)單元組成，每個單元包括一個內(nèi)點(diǎn)和一個外連接點(diǎn)，子結(jié)構(gòu)之間通過彈簧阻尼單元連接，分別計算子結(jié)構(gòu)的頻響矩陣，在通過頻響綜合的方法推導(dǎo)耦合單元的頻響特性，并與直接計算整體結(jié)構(gòu)的頻響結(jié)果進(jìn)行對比，對比結(jié)果如圖7所示。

從圖7可以明顯看出，頻響綜合計算與直接計算所得到的結(jié)果，無論是共振頻率還是共振峰值幾乎完全吻合，為了進(jìn)一步說明方法在應(yīng)用上的普適性，接著將方法應(yīng)用到連續(xù)彈性體的頻響特性的計算中。

（b）連續(xù)彈性體單元驗證

圖8是進(jìn)行仿真驗證所設(shè)計的連續(xù)彈性體模型，模型為機(jī)架-冷凝器模型，結(jié)構(gòu)單元A為冷凝器模型，結(jié)構(gòu)單元B為機(jī)架模型，冷凝器與機(jī)架通過四個螺栓及橡膠墊連接，根據(jù)設(shè)計要求，定義各子單元計算中的主自由度分別為

圖5 算法架構(gòu)

圖6 離散驗證模型

圖7 離散單元計算結(jié)果對比圖

圖8 彈性連續(xù)體驗證模型

利用Ansys計算兩個子結(jié)構(gòu)單元的完整頻響矩陣HA/HB，并計算裝配單元的

圖9 連接單元虛阻抗計算結(jié)果

結(jié)合推導(dǎo)所得的連接特性及子結(jié)構(gòu)單元頻響矩陣HJ/HA/HB，可以推導(dǎo)綜合單元整體頻響矩陣取其中的任一值與通過有限元直接計算所得Gij進(jìn)行比較，此處展示1點(diǎn)、4點(diǎn)x方向上的頻響比較結(jié)果，見圖10。

從圖10中對比結(jié)果可以看出，推導(dǎo)所得與有限元計算的結(jié)果，無論是共振頻率還是幅值都較為吻合，從而進(jìn)一步驗證了方法的準(zhǔn)確性。

3.2 試驗驗證

為了驗證方法的準(zhǔn)確性，利用銑刀模型設(shè)計驗證試驗：分別設(shè)計了兩把不同長度的刀桿，如其中短刀桿總長130，長刀總長180，見圖11。試驗中首先對短刀桿通過結(jié)構(gòu)測試及有限元，推導(dǎo)出30 mm夾持長度下的連接虛阻抗，在結(jié)合計算出的連接阻抗推導(dǎo)同樣夾持狀態(tài)下，長刀桿的頻響特性，對比計算與測試結(jié)果，與圖5相類似，在計算中節(jié)點(diǎn)自由度包括兩個

圖10 綜合結(jié)構(gòu)頻響計算結(jié)果對比圖

圖11 實(shí)驗設(shè)計圖

圖12 銑刀動特性測試實(shí)驗

試驗步驟為：

S1.通過錘擊法，測試平臺如圖12，測試主軸端點(diǎn)P1的原點(diǎn)導(dǎo)納矩陣HA；

S2.采用梁單元對短刀桿進(jìn)行建模，計算短刀桿兩端點(diǎn)P1、P2的原點(diǎn)及跨點(diǎn)導(dǎo)納，得到短刀桿頻響矩陣HB；

S3.安裝短刀，測試P1、P2點(diǎn)在u方向上的導(dǎo)納推導(dǎo)計算對應(yīng)的連接虛阻抗HJ=diag(hJ，pJ)，推導(dǎo)結(jié)果如圖13所示；

S4.采用梁單元對長刀桿進(jìn)行建模，計算長刀桿兩端點(diǎn)P1、P3的原點(diǎn)及跨點(diǎn)導(dǎo)納，獲取長刀桿頻響矩陣HC，根據(jù)式(11)結(jié)合HA/HC/HJ推導(dǎo)計算長刀桿夾持狀態(tài)下的頻響矩陣

S5.安裝長刀，測取此時結(jié)構(gòu)的頻響矩陣GA-C，并與S4中推導(dǎo)結(jié)果相對比，取P3點(diǎn)在u方向上的原點(diǎn)導(dǎo)納對比結(jié)果進(jìn)行展示，如圖14。

圖13 連接單元計算結(jié)果

圖14 長刀桿頻響計算結(jié)果對比

統(tǒng)計分別經(jīng)測試及兩種不同方法所得長刀桿1階固有頻率，如表1所示。

表1 不同計算方法計算結(jié)果對比

結(jié)合圖與表中的分析結(jié)果可以明顯地看出，相比于傳統(tǒng)的機(jī)械導(dǎo)納法，采用基于連接特性識別的頻響綜合法能夠得到與實(shí)測結(jié)果更加吻合的頻響矩陣。

4 結(jié)果討論與比較

（1）根據(jù)圖3結(jié)果說明，在使用子結(jié)構(gòu)綜合理論進(jìn)行計算時，忽略結(jié)構(gòu)間的連接特性會帶來一定的計算偏差；

（2）由圖7、圖10、圖14和表1的分析結(jié)果可知，采用虛阻抗的假設(shè)，能夠在計算中將結(jié)構(gòu)間連接的特性考慮進(jìn)來，使得計算結(jié)果與結(jié)構(gòu)實(shí)測結(jié)果更為接近，仿真和試驗的結(jié)果驗證了本文所提出的基于連接特性識別的子結(jié)構(gòu)綜合法的可靠性。

5 結(jié)語

本文從子結(jié)構(gòu)綜合法的計算原理出發(fā)，考慮子結(jié)構(gòu)單元之間連接特性對計算所帶來的影響，并基于此提出了連接虛阻抗的假設(shè)，在假設(shè)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)結(jié)構(gòu)新的位移連續(xù)及力平衡條件，將連接帶來的影響帶入結(jié)構(gòu)的綜合計算中，并逆向推導(dǎo)出連接特性的識別方法。

通過設(shè)計仿真和試驗證明，相比于傳統(tǒng)的方法，提出的基于連接特性識別的子結(jié)構(gòu)綜合法能夠得到與實(shí)際結(jié)構(gòu)更為吻合的結(jié)果，可應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)動特性快速計算及結(jié)構(gòu)單元的優(yōu)化中。

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An Improved Substructure Synthesis Method Based on the Identification of Joint Characteristics

LI Zhi-shen,ZHOU Hua,LI Hong-guang
(State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration,Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240,China)

Substructure synthesis method is widely used in the calculation of multi-unit system for its block calculation characteristics.However,there is a lack of systematic analysis for the joints of the substructures.Since the joints are usually complex and have a great influence on the dynamic performance of the whole system,they will reduce the accuracy of the computation results of the traditional mechanical admittance method.In this article,the concept of virtual impedance is proposed,the effect of the joint element between substructures of the system is introduced by using the virtual impendence matrix into the comprehensive calculation.The performance of the joint elements can be obtained by reciprocal formulation according to the frequency response characteristics of the system elements and the sub-elements.The computation accuracy of this method is verified by the models of discrete and elastic continuous elements.Finally,this method is applied to the prediction of dynamic characteristics of milling tools.It is concluded that the proposed method is more accurate than the traditional one by comparing the results with the measurement results.

vibration and wave;substructure synthesis method;joint;virtual impendence identify;dynamic characteristics of milling tools

TH133.1；TH165.3

：A DOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.03.001

1006-1355(2017)03-0001-06

2017-02-13

國家自然科學(xué)基金資助項目(1142780054)

李志深（1994－），男，山東省菏澤市人，碩士生，主要研究方向為實(shí)驗?zāi)B(tài)分析。

李鴻光，男，博士生導(dǎo)師。E-mail:hgli@sjtu.edu.cn