一種識別Duffing非線性系統(tǒng)剛度的新方法

劉景良，鄭文婷，黃文金，黃志偉

(1.福建農(nóng)林大學(xué) 交通與土木工程學(xué)院，福州 350002；2.福建工程學(xué)院 土木工程學(xué)院，福州 350118）

一種識別Duffing非線性系統(tǒng)剛度的新方法

劉景良1，鄭文婷2，黃文金1，黃志偉1

(1.福建農(nóng)林大學(xué) 交通與土木工程學(xué)院，福州 350002；2.福建工程學(xué)院 土木工程學(xué)院，福州 350118）

振動響應(yīng)的頻率變化與位移、速度、振幅息息相關(guān)，基于非線性振動系統(tǒng)的這一主要特征提出一種新的識別Duffing非線性系統(tǒng)剛度的方法。該方法首先通過Lindestedt-Poincaré法建立Duffing非線性系統(tǒng)瞬時(shí)幅值與瞬時(shí)頻率的關(guān)系式，然后分別采用Hilbert變換和最大坡度法提取非線性系統(tǒng)響應(yīng)的瞬時(shí)幅值和瞬時(shí)頻率。在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用最小二乘優(yōu)化算法識別非線性系統(tǒng)的線性和立方體剛度。通過一個(gè)Duffing非線性系統(tǒng)數(shù)值算例對所提出的新方法進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明：即使在信號被噪聲干擾的情況下，該方法仍然能夠有效識別Duffing非線性系統(tǒng)的剛度。

振動與波；Duffing非線性系統(tǒng)；最大坡度法；最小二乘法；瞬時(shí)頻率；瞬時(shí)幅值

非線性問題普遍存在于土木工程結(jié)構(gòu)中，如循環(huán)荷載下鋼結(jié)構(gòu)連接螺栓的松緊，風(fēng)與車輛荷載引起的斜拉橋的拉索索力的變化等，此外，結(jié)構(gòu)的損傷也會引發(fā)非線性行為。適用于線性系統(tǒng)的疊加原理往往無法解釋非線性問題所表現(xiàn)出來的復(fù)雜力學(xué)行為，因此建立描述非線性系統(tǒng)特性的模型并準(zhǔn)確識別非線性結(jié)構(gòu)的特征參數(shù)成為當(dāng)前非線性系統(tǒng)研究的熱點(diǎn)問題?？偟膩碚f，非線性振動系統(tǒng)的識別方法分為基于信號處理技術(shù)的方法[1–4]、增量諧波法[5]、時(shí)間序列分析類方法[6–7]、子空間類方法[8]、高階譜[9]等方法。由于非線性系統(tǒng)最顯著的一個(gè)特征就是系統(tǒng)振動響應(yīng)的頻率變化與振幅、位移、速度息息相關(guān)，其響應(yīng)信號呈現(xiàn)非平穩(wěn)性，而傳統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法難以全面反映非平穩(wěn)響應(yīng)信號的時(shí)頻特性，因此以小波變換(Wavelet transform,WT)[10–11]為代表的時(shí)頻分析方法近年來廣泛應(yīng)用于非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的參數(shù)識別。如Shi等結(jié)合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和Hilbert變換方法識別了多自由度時(shí)變系統(tǒng)的剛度和阻尼[12]。Tjahjowidodo等分別采用Hilbert變換和連續(xù)小波變換的方法識別出非線性結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)特性，并將提出的方法用于非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的識別[13]。Yan等在采用Hilbert變換提取結(jié)構(gòu)系統(tǒng)瞬時(shí)特征參數(shù)的基礎(chǔ)上，利用瞬時(shí)特征參數(shù)與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)物理參數(shù)之間的時(shí)變特性建立回歸模型，然后通過最小二乘法成功識別了結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)[14]。但是，Hilbert變換這一類方法對噪聲較為敏感，只在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)為弱阻尼和噪聲水平較小時(shí)識別結(jié)果才比較精確。通常情況下，基于小波變換的非線性系統(tǒng)參數(shù)識別結(jié)果優(yōu)于基于Hilbert變換的參數(shù)識別結(jié)果。而基于小波變換識別非線性系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)鍵問題是如何得到清晰的時(shí)頻曲線。鄧楊等利用多項(xiàng)式調(diào)頻小波對非線性系統(tǒng)的瞬時(shí)特性進(jìn)行了提取，并結(jié)合FREEVIB和FORCEVIB方法中瞬時(shí)模態(tài)參數(shù)的算法，得到了能直觀反映結(jié)構(gòu)系統(tǒng)非線性的骨架曲線和阻尼系數(shù)曲線，但是該方法在提取瞬時(shí)頻率特性時(shí)利用了頻率跡線具有連續(xù)性、平滑性的先驗(yàn)信息[15]。任宜春等基于復(fù)Morlet小波系數(shù)模局部極大值識別了Duffing非線性系統(tǒng)的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)振幅，然后通過曲線擬合得到系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和非線性系數(shù)[16]。代煜等利用脊線上連續(xù)小波變換系數(shù)的幅度和相位信息，從結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的自由衰減響應(yīng)中辨識了弱非線性阻尼和剛度[17]。然而，無論是基于小波系數(shù)模值還是基于小波系數(shù)相位信息的小波脊線提取方法，都面臨著一個(gè)同樣的問題，即提取的小波脊線存在許多毛刺，識別的瞬時(shí)頻率精度不高，從而影響了系統(tǒng)物理參數(shù)的識別。Wang等提出的基于動態(tài)規(guī)劃的時(shí)變結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率提取方法在一定程度上消除了端點(diǎn)效應(yīng)，但其算法較為復(fù)雜[18]。同步擠壓小波變換(Synchrosqueezing wavelet transform，ST)通過重組小波變換后的時(shí)頻圖獲得了較高頻率精度的時(shí)頻曲線[19–20]，但是該方法只能處理信號在頻率不變時(shí)尺度方向的擴(kuò)散，對于時(shí)間維度上的擴(kuò)散卻無能為力。

基于此，本文首先采用Lindestedt-Poincaré法建立Duffing非線性系統(tǒng)瞬時(shí)幅值與瞬時(shí)頻率的關(guān)系式，然后通過Hilbert變換求解瞬時(shí)幅值并提出最大坡度法(Maximum gradient,MG)識別Duffing非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)的瞬時(shí)頻率，該方法避免了基于小波系數(shù)模局部極大值的脊線提取方法中出現(xiàn)的毛刺現(xiàn)象和同步擠壓小波變換僅提高時(shí)頻曲線頻率精度的問題。在有效提取瞬時(shí)特征參數(shù)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用最小二乘擬合方法識別了Duffing非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛度，該方法具有一定的抗噪性。

1 非線性系統(tǒng)特征描述

通常情況下，能夠得到精確解析解的非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)極少，因此攝動法等近似解法成為求解非線性系統(tǒng)的可行方法。Lindestedt-Poincaré法[21]為攝動法的一種，又稱為PLK法，其基本原理為：在將非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)方程的基本解展開成ε的冪級數(shù)的同時(shí)，將頻率ω用ε的冪級數(shù)表示，而冪級數(shù)的待定系數(shù)則根據(jù)周期運(yùn)動的要求依次求解。通過PLK法構(gòu)建瞬時(shí)頻率與瞬時(shí)幅值的關(guān)系式，從而為骨架曲線和物理參數(shù)的識別提供了一條可行的途徑。

對于含小參數(shù)的Duffing非線性系統(tǒng)方程，可以表示為

首先引入新變量τ=ωt，則式(1)轉(zhuǎn)化為

然后將x和ω分別展開成ε的冪級數(shù)

將式(4)代入方程(3)可得

令式(5)中ε的同次冪的每一項(xiàng)系數(shù)為零，可求得其零級近似和一級近似分別為

顯然，零級近似方程式(6)的通解為

式中a(t)為瞬時(shí)幅值而a0和θ0為預(yù)先任意給定的初始幅值和初始相位。將式(8)代入式(7)，得

為避免式(9)的解中出現(xiàn)久期項(xiàng)，以保證x1的周期性，須令方程的右邊a(t) cosθ項(xiàng)的系數(shù)為零，即

因此，ω的一級近似為

將式(11)代入式(4)，可得

式(12)只是根據(jù)Duffing非線性方程的一級近似得到的瞬時(shí)頻率與瞬時(shí)幅值的關(guān)系式。二級近似乃至更高級的近似可以得到更為精確的結(jié)果，但是對于土木工程實(shí)際結(jié)構(gòu)，一級近似的結(jié)果通常已經(jīng)足夠。

2 非線性系統(tǒng)瞬時(shí)特征提取

由上述非線性特征描述過程可知，響應(yīng)信號瞬時(shí)特征參數(shù)的成功提取是整個(gè)非線性系統(tǒng)識別過程中的關(guān)鍵。其中瞬時(shí)幅值的提取可通過Hilbert變換實(shí)現(xiàn)。定義為響應(yīng)信號的解析信號，則位移瞬時(shí)幅值A(chǔ)()t可通過求解解析信號X(t)的模值獲得，即

瞬時(shí)頻率的估計(jì)也可通過Hilbert變換來實(shí)現(xiàn)。但是相關(guān)研究表明：Hilbert變換在識別瞬時(shí)頻率時(shí)對噪聲較為敏感[15]。而小波變換由于其具有良好的時(shí)頻局部化特性，可更為客觀地反映結(jié)構(gòu)系統(tǒng)瞬時(shí)特征參數(shù)的變化，因而十分適合時(shí)變和非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的參數(shù)識別。小波脊線的提取是采用小波變換方法識別信號瞬時(shí)頻率的關(guān)鍵問題之一。目前提取小波脊線的方法主要有兩種[18]：一種是基于小波系數(shù)的相位信息，一種是基于小波系數(shù)的模信息。然而，這兩種方法都面臨著一個(gè)同樣的問題，即提取的小波脊線中存在許多毛刺，影響了時(shí)頻曲線的光滑性，從而大大降低了信號瞬時(shí)頻率的識別精度。為此，本文提出了一種基于最大坡度的小波脊線提取方法，其基本理論如下：任意實(shí)信號x(t)經(jīng)過連續(xù)小波變換后，其時(shí)間b(t)、尺度a或頻率f，小波系數(shù)的絕對值組成一個(gè)三維空間坐標(biāo)系(x，y，z)，形似一座山峰，其中b和a(f)構(gòu)成了二維的時(shí)間-尺度(頻率)平面，即山峰的長度和寬度方向，而的值的大小代表了z方向的距離，即山峰的高度。從山腳預(yù)先設(shè)定的起始點(diǎn)出發(fā)，在一定范圍內(nèi)搜索前進(jìn)，由于山脊的走向最為陡峭，即坡度最大，因此將該方向上的各點(diǎn)連接成線即為待提取的小波脊線。

(a)設(shè)定連續(xù)小波變換共有m個(gè)尺度，從小到大分別記為而時(shí)間點(diǎn)則記為實(shí)信號x(t)經(jīng)連續(xù)小波變換后，其小波系數(shù)Wx為m×n矩陣，繪出的小波量圖如圖1所示。

則Si與Si-1兩點(diǎn)在時(shí)間-尺度平面的距離為

而Si與Si-1兩點(diǎn)在z方向的距離為

根據(jù)式(15)和式(16)，Si與Si-1兩點(diǎn)之間的坡度為

(d)尋找出tanθ最大值，即為最大坡度

(e)根據(jù)最大坡度tanθi，求出對應(yīng)的尺度值ai，并根據(jù)ai和ti在小波系數(shù)矩陣中尋找出相應(yīng)的小波系數(shù)值的三維坐標(biāo)此時(shí)均為已知。而該點(diǎn)的頻率值可以通過尺度與頻率的對應(yīng)關(guān)系求解。

(f)重復(fù)(c)－(e)步驟并進(jìn)行下一步的搜索，直至原始信號末端結(jié)束。最后將各點(diǎn)頻率值連接成線，得到所求的小波脊線和時(shí)頻曲線。

3 最小二乘法識別剛度

從響應(yīng)信號中提取出瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值之后，可將式(12)視為Duffing非線性系統(tǒng)剛度參數(shù)識別的回歸模型，則回歸模型中所有的未知系數(shù)均可通過最小二乘法識別。

若忽略小參數(shù)ε的高次冪級數(shù)，則回歸模型為

式中ω為響應(yīng)信號的瞬時(shí)頻率，而α1=ω0和為待求系數(shù)，且α1和α2分別與剛度k1和k2相關(guān)。聯(lián)立式(19)中各個(gè)采樣點(diǎn)ti(i=1,…n)的值，可得待求系數(shù)的矩陣形式

式中[?]T和[?]-1分別表示轉(zhuǎn)置矩陣和逆矩陣。

然后根據(jù)待求系數(shù)α1、α2與剛度k1、k2的關(guān)系，可得Duffing非線性系統(tǒng)的剛度值為

4 數(shù)值算例驗(yàn)證

Duffing方程是從簡單物理模型中總結(jié)出來的非線性振動模型。土木工程結(jié)構(gòu)中的許多非線性振動問題的數(shù)學(xué)模型都可以轉(zhuǎn)化為該方程來研究。經(jīng)典的Duffing非線性系統(tǒng)方程的表達(dá)式為

式中k1=1，k2=0.01，c=0.05，m=1，x，x?，x?分別表示系統(tǒng)的位移、速度和加速度。初值條件為x0=10，x?=0，采用4階龍格-庫塔法求解Duffing非線性系統(tǒng)的位移響應(yīng)，時(shí)間間隔取0.1 s，時(shí)間總長取100 s。系統(tǒng)的位移響應(yīng)及其幅值(虛線)如圖2所示。

圖2 Duffing非線性系統(tǒng)位移響應(yīng)及幅值

采用復(fù)Morlet小波對Duffing非線性系統(tǒng)的位移響應(yīng)進(jìn)行連續(xù)小波變換，其小波量圖如圖3所示。

由圖3可知，小波脊線較為模糊，且存在毛刺現(xiàn)象。但是從圖3中我們可以確定搜索范圍(虛線所示)并設(shè)定初始頻率值為0.2 Hz，然后采用最大坡度法提取小波脊線，識別的瞬時(shí)頻率如圖4所示。

圖3 Duffing非線性系統(tǒng)小波量圖

圖4 基于最大坡度法的Duffing非線性系統(tǒng)位移響應(yīng)瞬時(shí)頻率識別結(jié)果

由圖4可知，瞬時(shí)頻率在自由振動的初始階段急劇下降，然后逐漸變?yōu)榫€性，最后趨近于水平線。瞬時(shí)頻率識別結(jié)果表明在初始階段由于系統(tǒng)的位移較大，系統(tǒng)的非線性程度強(qiáng)，因而頻率較高。隨著系統(tǒng)響應(yīng)的減弱，系統(tǒng)的頻率也開始降低。當(dāng)Duffing非線性系統(tǒng)響應(yīng)趨近于零時(shí)，其頻率約等于線性系統(tǒng)的頻率0.16 Hz。為驗(yàn)證最大坡度法(MG)識別瞬時(shí)頻率的準(zhǔn)確性，在圖4中同時(shí)給出了基于連續(xù)小波變換系數(shù)模局部極大值(WT)方法的瞬時(shí)頻率識別值和基于同步擠壓小波變換(ST)的瞬時(shí)頻率識別值。由圖4可知，基于連續(xù)小波變換系數(shù)模局部極大值識別的瞬時(shí)頻率曲線出現(xiàn)了大量毛刺，其識別精度較差。而同步擠壓小波變換只能處理信號在頻率不變時(shí)尺度方向的擴(kuò)散，即只提高時(shí)頻曲線的頻率精度，因此其瞬時(shí)頻率曲線呈階梯形。圖4結(jié)果表明：基于最大坡度法的瞬時(shí)頻率識別效果優(yōu)于基于連續(xù)小波變換系數(shù)模局部極大值和同步擠壓小波變換方法。

在成功提取非線性系統(tǒng)的瞬時(shí)特征參數(shù)之后，根據(jù)識別的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值可求得Duffing非線性系統(tǒng)的骨架曲線，而式(24)給出了具有立方體剛度的Duffing非線性系統(tǒng)理論骨架曲線[22]，其與最大坡度法(MG)、基于連續(xù)小波變換系數(shù)模局部極大值(WT)和同步擠壓小波變換(ST)方法的骨架曲線識別比較結(jié)果如圖5所示。

圖5 Duffing非線性系統(tǒng)骨架曲線

式中f、A分別為瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值，k1，k2為剛度，m為質(zhì)量。

由圖5可知，本文方法構(gòu)建的骨架曲線與理論結(jié)果基本吻合，且其值在理論結(jié)果附近振蕩，因而能夠很好地反映非線性系統(tǒng)的力學(xué)特性?；谶B續(xù)小波變換系數(shù)模局部極大值(WT)得到的骨架曲線振蕩得十分厲害，將直接影響到下一步的剛度識別結(jié)果。而同步擠壓小波變換(ST)由于本身算法的局限性，其骨架曲線呈現(xiàn)階梯形，且與理論值存在一定偏差。

根據(jù)式(20)和式(21)對識別的骨架曲線采用最小二乘估計(jì)算法，可得非線性系統(tǒng)的剛度系數(shù)k1，k2，如表1所示。為方便對比，表1同時(shí)給出了基于連續(xù)小波變換系數(shù)模局部極大值和同步擠壓小波變換的剛度識別結(jié)果。由表1可知，采用最大坡度法得到的剛度k1，k2的識別值與真實(shí)值比較吻合，且線性剛度k1的識別效果要優(yōu)于立方體剛度k2的識別效果。與基于連續(xù)小波變換系數(shù)模局部極大值方法和同步擠壓小波變換方法相比，最大坡度法識別Duffing非線性系統(tǒng)的剛度效果最優(yōu)。

表1 最小二乘法識別的剛度

為考慮噪聲的影響，對Duffing非線性系統(tǒng)位移響應(yīng)分別施加5%、10%、15%和20%的高斯白噪聲。噪聲強(qiáng)度由信噪比(SNR)定義。

式中Asignal和Anoise分別為信號和噪聲的均方根值，噪聲水平是指的比值。例如取5%水平高斯白噪聲時(shí)，SNR=13 dB。

根據(jù)上述識別流程，不同水平噪聲下Duffing非線性系統(tǒng)的識別剛度如表2所示。

由表2可知，隨著噪聲水平的增加，最大坡度法識別的剛度誤差雖然逐漸增大，但是與未添加噪聲的識別值相差并不大。這說明本文提出的識別方法在噪聲水平較大的情況下仍然能夠有效識別結(jié)構(gòu)的剛度參數(shù)，且精確度較高，因此該方法的抗噪性比較強(qiáng)。與基于連續(xù)小波變換系數(shù)模局部極大值方法和同步擠壓小波變換方法相比，最大坡度法識別Duffing非線性系統(tǒng)剛度效果最優(yōu)，同步擠壓小波變換識別效果次之，而基于連續(xù)小波變換系數(shù)模局部極大值方法的識別效果則最差。

5 結(jié)語

鑒于非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的頻率和幅值隨時(shí)間而變化，本文提出了一種新的識別Duffing非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)剛度的方法。首先建立Duffing非線性系統(tǒng)瞬時(shí)特性之間的關(guān)系式，然后通過最大坡度法和Hilbert變換分別提取了非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值，最后通過最小二乘優(yōu)化算法識別了非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛度。通過一個(gè)Duffing非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)數(shù)值算例驗(yàn)證了所提出的方法，結(jié)果表明：該方法能夠有效識別不同水平噪聲干擾下Duffing非線性系統(tǒng)的剛度，且識別效果優(yōu)于基于連續(xù)小波變換系數(shù)模局部極大值方法和同步擠壓小波變換方法。

表2 不同噪聲水平下識別的剛度

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ANew Method for Stiffness Identification of Duffing Nonlinear Systems

LIU Jing-liang1,ZHENG Wen-ting2,HUANG Wen-jin1,HUANG Zhi-wei1
(1.School of Transportation and Civil Engineering,FujianAgriculture and Forestry University, Fuzhou 350002,China; 2.School of Civil Engineering,Fujian University of Technology,Fuzhou 350118,China)

The frequency variation of vibration responses of nonlinear vibration systems is closely related to the displacement,velocity and amplitude of the vibration,which is the main feature of the nonlinear vibration systems.In this paper,a new method for identifying the stiffness of Duffing nonlinear systems is presented based on this feature.First of all, the relation between instantaneous frequency and instantaneous amplitude of the Duffing nonlinear systems is established by means of Lindestedt-Poincaré method.Then,the maximum gradient method and Hilbert transform are employed respectively to extract the instantaneous frequency and the instantaneous amplitude from the nonlinear response signals.On this basis,the least square optimization algorithm is employed to identify the linear and cubic stiffness of the Duffing nonlinear systems.The effectiveness of the proposed new method is validated via a numerical example of a nonlinear Duffing system.The results demonstrate that the new method can identify the stiffness effectively even if the response signals are contaminated by Gauss white noise.

vibration and wave;Duffing nonlinear system;maximum gradient method;least square optimization algorithm;instantaneous frequency;instantaneous amplitude

P315.96；TU311.3

：A

：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.03.014

1006-1355(2017)03-0072-06+106

2016-10-24

國家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目資助(51608122)；福建省自然科學(xué)基金青年科技人才創(chuàng)新項(xiàng)目資助(2016J05111)；福建農(nóng)林大學(xué)青年教師科研基金項(xiàng)目資助(113-61201405104)

劉景良（1983－），男，湖南省衡陽市人，講師，博士，研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)健康監(jiān)測。E-mail:liujingliang@fafu.edu.cn