從倍比關(guān)系看分?jǐn)?shù)類解決問題的教學(xué)

汪松浩

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，分?jǐn)?shù)內(nèi)容是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，其中以“分?jǐn)?shù)乘除法解決問題（應(yīng)用題）”尤為突出。很多專家和教師針對(duì)這一內(nèi)容進(jìn)行了大量教學(xué)研究，然而“分?jǐn)?shù)類解決問題”的教學(xué)之難依舊存在。因此，筆者想就此內(nèi)容提出一些自己的看法，以供同仁參考。

一、問題提出

“分?jǐn)?shù)乘除法”安排在人教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)，大部分教師在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)會(huì)遇到這樣的情況：分?jǐn)?shù)的乘法計(jì)算和解決問題在作為新知識(shí)學(xué)習(xí)時(shí)，往往不會(huì)遇到太大困難。一旦分?jǐn)?shù)除法計(jì)算介入，學(xué)習(xí)困難就立即突顯了。很多教師認(rèn)為，分?jǐn)?shù)類解決問題的教學(xué)關(guān)鍵在于單位“1”的認(rèn)知。學(xué)生由于判斷不清楚哪一個(gè)數(shù)量是單位“1”，從而難以確定用什么方法來解決?；谶@種考慮，六年級(jí)數(shù)學(xué)課堂中有一種潛在的通用教學(xué)模式：

1. 審題，尋找題目條件中分率所對(duì)應(yīng)的單位“1”。

2. 判斷單位“1”的量是否已知。

單位“1”的量已知，即求部分量（或稱比較量），用單位“1”的量乘分率可求；單位“1”的量未知，即用部分量（比較量）除以對(duì)應(yīng)的分率可求單位“1”的量（或是用方程來求）。

同時(shí)，單位“1”到底是哪個(gè)數(shù)量，也可以通過條件中的某些“特征”來直接判斷，比如“比”字后面的數(shù)量就是單位“1”的量，分率前面“的”字前面的數(shù)量也是單位“1”的量。

這種教學(xué)方式，從實(shí)際教學(xué)效果來看是不夠理想的。在解題過程中，大部分學(xué)生按照一種機(jī)械模式來操作，難以對(duì)問題中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行有效分析，對(duì)于“模型題”以外的習(xí)題仍然無從解決。學(xué)生無法靈活運(yùn)用，無法內(nèi)化成解決問題的能力。那么如何理解分?jǐn)?shù)類解決問題的數(shù)量關(guān)系？分?jǐn)?shù)類解決問題采用什么樣的教學(xué)策略才會(huì)更加有效？

二、問題分析

1.引入方程，是否能解決分?jǐn)?shù)類解決問題的困難

分?jǐn)?shù)類問題解決的難度是一直存在且引起廣泛關(guān)注的。在新一輪課改中可以看到教材里相關(guān)內(nèi)容的調(diào)整，說明教材的編寫者們也在嘗試從教學(xué)源頭——教材的編寫上來改變這一現(xiàn)狀。最新教材（人教版為例）將分?jǐn)?shù)除法的解決問題部分由原來的算術(shù)解法修改為引入方程解決問題。教材編寫的改變帶來了教學(xué)行為的改變。教學(xué)實(shí)施中，方程的確可以有效地降低除法逆運(yùn)算的思維難度，但列方程解決問題本身就是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難題。這是與算術(shù)解法完全不同的兩種思維方式，學(xué)生在設(shè)未知數(shù)和列等量關(guān)系中均易遇阻。而且引入方程對(duì)于之前的模式教學(xué)并沒有什么實(shí)質(zhì)性突破，學(xué)生依舊需要從已知數(shù)量中找單位“1”是誰(shuí)，由此決定到底是直接用算術(shù)方法的乘法計(jì)算還是用方程的乘法計(jì)算。模式訓(xùn)練中的任何一環(huán)都未因此而突破，改變的僅是“算術(shù)方法的除法”與“方程”這兩種方法互相替換而已。這種“換湯不換藥”的改變，使得教與學(xué)的困難依舊存在。

2.分?jǐn)?shù)問題解決中的數(shù)量關(guān)系是否那么特殊

在分?jǐn)?shù)的整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，老師或?qū)W生都能體會(huì)到，分?jǐn)?shù)跟以前學(xué)的數(shù)不太一樣，無論是分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)，還是分?jǐn)?shù)的計(jì)算亦或是解決問題，似乎都自成一套體系。我們不由要問：分?jǐn)?shù)真的是一類數(shù)嗎？分?jǐn)?shù)類解決問題難道真的脫離了基本的數(shù)量關(guān)系自成體系嗎？無疑這是不可能的事情。

我們常說的比較事物數(shù)量之間關(guān)系的方法有兩種：一是比較兩個(gè)數(shù)量相差關(guān)系，叫做差比，對(duì)應(yīng)于加減運(yùn)算；二是比較兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系，叫做倍比，對(duì)應(yīng)于乘除運(yùn)算。毫無疑問分?jǐn)?shù)的乘除法解決問題應(yīng)該對(duì)應(yīng)到倍比問題中來。我們要想看清事物的本來面目，最直接、有效的方法就是將其簡(jiǎn)化到最基本的模型中來。如：

（1）甲數(shù)是6，甲數(shù)是乙數(shù)的3倍，乙數(shù)是多少？

（2）甲數(shù)是6，甲數(shù)是乙數(shù)的■，乙數(shù)是多少？

不難看出這兩個(gè)題的數(shù)量關(guān)系是相同的，都是運(yùn)用除法來運(yùn)算：（1）6÷3=2；（2）6÷■=9。

因此，我們就能得出一個(gè)結(jié)論：分?jǐn)?shù)類解決問題中的數(shù)量關(guān)系歸根結(jié)底就是倍比關(guān)系。分?jǐn)?shù)類解決問題應(yīng)該基于差比和倍比關(guān)系來理解和教學(xué)。

事實(shí)上分?jǐn)?shù)定義本身就是多樣性的。張奠宙先生就對(duì)分?jǐn)?shù)定義有如下幾種論述：

定義1（份數(shù)定義）：分?jǐn)?shù)是把一個(gè)單位平均分成若干份之后其中的一份或幾份。

定義2（商定義）：分?jǐn)?shù)是兩個(gè)整數(shù)相除（除數(shù)不為0）的商。

定義3（比定義）：分?jǐn)?shù)是整數(shù)q與整數(shù)P（P≠0）之比。

定義4（公理化定義）：有序的整數(shù)對(duì)（p，q），其中p≠0。

因此分?jǐn)?shù)類解決問題亦可根據(jù)不同含義來解題，可以通過等分意義中的“份數(shù)”來解釋，也可以通過除法中的商來理解，還可從比的意義來處理。分?jǐn)?shù)意義的多樣性，決定了分?jǐn)?shù)類解決問題中合理解釋途徑的多樣性，這正是數(shù)學(xué)邏輯靈活與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋憩F(xiàn)。但談到數(shù)量關(guān)系，應(yīng)該是“差比與倍比關(guān)系”。理順這種數(shù)量關(guān)系，我們就會(huì)明白在教學(xué)中為何對(duì)單位“1”這個(gè)數(shù)量是如此重視，單位“1”的量實(shí)際上就是倍比問題中的“標(biāo)準(zhǔn)量”（或一倍量），分率的含義就是整數(shù)“倍”的含義擴(kuò)充（非整數(shù)倍），所謂“倍”“率”同宗。

3.我們是否能基于基本的數(shù)量關(guān)系來教學(xué)分?jǐn)?shù)類解決問題

讓我們先簡(jiǎn)單回顧一下整數(shù)、小數(shù)類的解決問題的教學(xué)。

首先，以人教版教材為例，整數(shù)類解決問題中“倍”的教學(xué)出現(xiàn)在三年級(jí)上冊(cè)。在教學(xué)這一部分內(nèi)容時(shí)，學(xué)生會(huì)在學(xué)習(xí)初出現(xiàn)短暫的困難期，但隨著教學(xué)的深入，在后段學(xué)生似乎不再有分析困難。表面順利的背后可能隱藏了一個(gè)被人忽視的“禍根”。有教師用整數(shù)問題中積往往大于因數(shù)的這種感性認(rèn)識(shí)來幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，即求較大的數(shù)就用乘法，反之亦然。這種不是基于數(shù)量關(guān)系的教學(xué)將嚴(yán)重影響小數(shù)和分?jǐn)?shù)的倍比關(guān)系學(xué)習(xí)，使解決問題的數(shù)量關(guān)系分析會(huì)因此而變得非常困難。

其次，小數(shù)的倍比關(guān)系的解決問題教學(xué)存在知識(shí)空缺。幾乎所有的小數(shù)類型的問題解決都是基于一個(gè)具體的生活情境來實(shí)現(xiàn)算理分析的，如：行程問題、工效問題、歸一問題等，而缺乏明確的倍比關(guān)系的基本數(shù)量關(guān)系的訓(xùn)練。在教材中是看不到諸如“求甲數(shù)的0.132倍是多少？”這種問題的。這種回避是源于生活用語(yǔ)中，“倍”的含義帶有整數(shù)倍的指向。日常中，人們對(duì)“1.5倍”的說法持模棱兩可的態(tài)度，至于“0.132倍”的說法則更是鮮有耳聞的。如此避諱之后，關(guān)于倍比關(guān)系的原型問題在小數(shù)的解決問題當(dāng)中是缺位的。

值得一提的是，在小數(shù)的解決問題中，“歸一問題”的教學(xué)意義重大，影響深遠(yuǎn)，是大有可為的。例如：

有12千克小麥可以磨面粉7.5千克，要磨面粉3.5千克需要小麥多少千克？

解法一：12÷7.5=1.6（千克）

1.6×3.5=5.6（千克）

解法二：7.5÷12=0.625（千克）

3.5÷0.625=5.6（千克）

此題是一個(gè)很好的“歸一問題”的訓(xùn)練素材，而“歸一問題”就是以“倍比關(guān)系”為原型的。此類題中“標(biāo)準(zhǔn)量”的變化，可以幫助學(xué)生體驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)量和參考量關(guān)系是如何確立的。但可惜的是，現(xiàn)行教材中這類素材的使用非常罕見。

由此可見，在小數(shù)的乘除法解決問題中知識(shí)結(jié)構(gòu)性缺失，架空了分?jǐn)?shù)類解決問題認(rèn)知的序列前項(xiàng)，導(dǎo)致“倍比關(guān)系”的學(xué)習(xí)從小數(shù)類型正遷移到分?jǐn)?shù)類型非常困難。所以當(dāng)遇到分?jǐn)?shù)問題時(shí)我們便生造和割裂出一個(gè)特別的解題模式，造成學(xué)生認(rèn)知困難。

再次，在進(jìn)行分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)時(shí)，由于過份強(qiáng)調(diào)等分意義，強(qiáng)調(diào)“平均分”和單位“1”，導(dǎo)致分?jǐn)?shù)的其他含義滲透困難，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)這類數(shù)的認(rèn)知不夠全面。過份突出分?jǐn)?shù)的特殊性和等分含義中的分割過程，對(duì)數(shù)的共性特征提取不夠、運(yùn)用不足，造成有關(guān)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”正遷移困難。延續(xù)到分?jǐn)?shù)類解決問題的教學(xué)時(shí)，分?jǐn)?shù)的等分意義對(duì)問題解決依舊影響巨大。而解決問題從等分意義和關(guān)于比的含義理解，實(shí)際是以整數(shù)的“份數(shù)”為媒介，其數(shù)量關(guān)系的理解模型依舊是整數(shù)模型，沒有從分?jǐn)?shù)直接的倍比關(guān)系出發(fā)解決問題。

三、解決建議

1.讓分?jǐn)?shù)教學(xué)回歸到“數(shù)的認(rèn)識(shí)”的道路上來

首先，讓分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)更多樣化，階段性教學(xué)目標(biāo)更加合理、明確。三年級(jí)，分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)可以從等分意義入手，因?yàn)橛辛己玫纳钫J(rèn)知基礎(chǔ)以及直觀數(shù)學(xué)模型作參考，讓分?jǐn)?shù)的首次認(rèn)識(shí)變得簡(jiǎn)單而有趣。但隨后五年級(jí)再次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，不應(yīng)仍停留在等分意義的理解上，而應(yīng)在突破假分?jǐn)?shù)的教學(xué)之后，將分?jǐn)?shù)教學(xué)拓展到對(duì)整個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)域的感知與認(rèn)識(shí)上，幫助學(xué)生建立較完整的分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)。并及時(shí)落實(shí)對(duì)分?jǐn)?shù)其他含義的溝通，讓學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解更加全面，使其對(duì)分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)最終落實(shí)到數(shù)的認(rèn)識(shí)高度上來。

其次，多做分?jǐn)?shù)、小數(shù)的計(jì)算溝通，在四則運(yùn)算與方程的計(jì)算中讓學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)、小數(shù)的計(jì)算等價(jià)意義。所有類型的數(shù)字在計(jì)算規(guī)則中的變化都是基于“數(shù)”的背景，有利于分?jǐn)?shù)突破在“等分過程”中的不利影響，讓學(xué)生盡快將分?jǐn)?shù)當(dāng)做一類“數(shù)”來看待。當(dāng)學(xué)生能自然地將分?jǐn)?shù)當(dāng)做像整數(shù)、小數(shù)一樣的“數(shù)”時(shí)，再做問題解決的教學(xué)就會(huì)變得輕松自如一些。

2.讓解決問題回歸到“數(shù)量關(guān)系”的教學(xué)道路上來

要想解決好分?jǐn)?shù)類解決問題必須落實(shí)“倍比關(guān)系”的數(shù)量關(guān)系教學(xué)，而且必須將“倍比問題”當(dāng)做一類系統(tǒng)問題來看待。只有在系統(tǒng)教學(xué)的前期做好知識(shí)鋪墊，利用好知識(shí)的正遷移作用才可能實(shí)現(xiàn)最后的知識(shí)難點(diǎn)的突破。

首先，“倍比問題”的教學(xué)重難點(diǎn)在于兩個(gè)“量”——“標(biāo)準(zhǔn)量”和“比較量”的認(rèn)識(shí)和突破。這就須要在每次接觸此類知識(shí)的時(shí)候都緊扣數(shù)量關(guān)系來分析，緊扣這兩個(gè)量的理解來實(shí)施教學(xué)。 “倍比關(guān)系”的教學(xué)有三個(gè)階段：三年級(jí)學(xué)習(xí)整數(shù)類倍比問題，五年級(jí)學(xué)習(xí)小數(shù)類倍比問題，六年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)類倍比問題。每個(gè)階段都要落實(shí)好“標(biāo)準(zhǔn)量”和“比較量”的認(rèn)識(shí)，不斷擴(kuò)充完善倍比關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

其次，重提“文字題”這一經(jīng)典的題型。文字題是任何類型解決問題的原型題，是數(shù)量關(guān)系教學(xué)中較純粹、有力的素材。有教師甚至在教學(xué)有生活情境的解決問題時(shí)，帶學(xué)生將其梳理簡(jiǎn)化為相應(yīng)的文字題，利于學(xué)生看清數(shù)量關(guān)系的“骨架”，這無疑是一個(gè)有效的教學(xué)方法。新課改中，文字題的地位被削弱，導(dǎo)致學(xué)生在解決問題中更多地依靠情境中的事理來進(jìn)行數(shù)量關(guān)系分析，對(duì)基本的數(shù)量關(guān)系原型認(rèn)識(shí)比較粗淺。特別應(yīng)該在小數(shù)的學(xué)習(xí)階段加大文字題（特別是倍比關(guān)系的文字題）的教學(xué)份量，能有效擴(kuò)充學(xué)生對(duì)倍數(shù)的關(guān)系的認(rèn)識(shí)，讓他們認(rèn)識(shí)到“標(biāo)準(zhǔn)量”和“對(duì)比量”是可以互相轉(zhuǎn)化的。這對(duì)后面分?jǐn)?shù)類的相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)起到至關(guān)重要的鋪底作用。

等到學(xué)生在六年級(jí)遇到分?jǐn)?shù)類解決問題時(shí)，我們就只須利用好“倍比關(guān)系”已有的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)來實(shí)施對(duì)比教學(xué)。教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生將分?jǐn)?shù)的倍比問題與整數(shù)、小數(shù)的倍比模型題進(jìn)行比對(duì)，鞏固數(shù)量關(guān)系的原型認(rèn)知，實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的正向遷移。對(duì)分?jǐn)?shù)的倍比問題一定要全面認(rèn)識(shí)到“倍”和“率”只是倍比關(guān)系中兩個(gè)方向的描述而已：甲數(shù)是乙數(shù)的3倍，即乙數(shù)是甲數(shù)的■。同時(shí)可將分率轉(zhuǎn)化為小數(shù)倍進(jìn)行對(duì)比運(yùn)算，如“甲數(shù)的■”可轉(zhuǎn)化為“甲數(shù)的0.2（倍）”；“比甲多50%”可轉(zhuǎn)化為“是甲的1.5倍”……方便學(xué)生對(duì)“倍”與“率”的理解得到有效溝通。此類轉(zhuǎn)化能有效消除學(xué)生的理解困難，特別是在解決類似利潤(rùn)問題這樣的分?jǐn)?shù)難題中效果明顯。

最后，方程解決問題的教學(xué)應(yīng)該安排在教授完分?jǐn)?shù)乘除法算術(shù)方法之后。算術(shù)方法的乘法和除法是對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系中正逆兩個(gè)方向的解題方法，是一個(gè)完整的結(jié)構(gòu)認(rèn)知，需要學(xué)生充分理解掌握。并且在乘除法綜合類型的解決問題中進(jìn)行充分對(duì)比訓(xùn)練之后，這個(gè)“分?jǐn)?shù)倍比問題”的教學(xué)才算完整。而方程只是另外一種有別于算術(shù)方法的解題方法，它的意義充分體現(xiàn)在解決較難的數(shù)量關(guān)系的問題中。

綜上所述，分?jǐn)?shù)類解決問題的教學(xué)困惑絕不是一個(gè)簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)的問題。它是分?jǐn)?shù)教學(xué)版塊中的一部分，我們要有“數(shù)”的建構(gòu)意識(shí)，讓分?jǐn)?shù)意義、分?jǐn)?shù)計(jì)算的教學(xué)推動(dòng)解決問題的教學(xué)。同時(shí)，解決問題應(yīng)該提升到“數(shù)量關(guān)系”的系統(tǒng)建構(gòu)上來，從整體著手認(rèn)識(shí)這個(gè)問題。唯有如此，才能從根本上使這個(gè)難點(diǎn)得以突破。

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]