相似與解直角三角形

張繼海

一、選擇題

1.如圖1，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為F，連接DF.給出下列四個結(jié)論：① △AEF∽△CAB； ② CF = 2 AF ； ③ DF = DC ；④ tan∠CAD =[2].其中正確的結(jié)論有（ ） [A][B][C][D][E][F][A][B][C][E][O][D][圖1 圖2]

A.4個 B.3個

C.2個 D.1個

2.如圖2，D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，且DE∥AC，AE，CD相交于點O，若S△BDE∶S△CDE = 1∶2，則S△DOE與S△COA的比是（ ）

A.1∶3 B.1∶16

C.1∶4 D.1∶9

3.如圖3，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均相等.網(wǎng)格中三個多邊形（分別標(biāo)記為①②③）的頂點均在格點上.被一個多邊形覆蓋的網(wǎng)格線中，豎直部分線段的長度之和記為m，水平部分線段的長度之和記為n，則這三個多邊形中滿足m = n的是（ ） [＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&][①][②][③][圖3]

A.只有② B.只有③

C.②③ D.①②③

4.如圖4，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE = 45°，點F是AB的中點，AD與FE，BE分別交于點G，H，∠CBE =∠BAD.給出下列結(jié)論：① FD = FE；② AH = 2 CD；③ BC·AD =[2]AE2；④ S△ABC = 4 S△ADF.其中正確的結(jié)論有（ ） [A][B][C][D][E][F][G][H][圖4 ]

A.1個 B.2 個

C.3 個 D.4個

5.已知拋物線y =-x2-2x + 3與x軸交于A，B兩點，將這條拋物線的頂點記為C，連接AC，BC，則tan∠CAB的值為（ ）

A.[12] B.[55]

C.[255] D.2

6.如圖5，點D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一條弦，則sin∠OBD =（ ）

A.[12] B.[34]

C.[45] D.[35][O][x][y] [A][B][C][D][·] [A][B][C][D][E][F][G][P][Q][圖5 圖6]

7.如圖6，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，連接AE，BF交于點G，將△BCF沿BF對折，得到△BPF，延長FP交BA的延長線于點Q.給出下列結(jié)論：① AE = BF； ② AE⊥BF； ③ sin∠BQP =[45]； ④ S四邊形ECFG = 2 S△BGE.其中正確的結(jié)論有（ ）

A.4 個 B.3 個

C.2個 D.1個

8.如圖7，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上，則圖中∠ABC的余弦值是（ ）[＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&] [A][B][C][圖7]

A.2 B.[255]

C.[12] D.[55]

9.如圖8，在Rt△ABC中，∠B = 90°，∠BAC = 30°，以點A為圓心，BC長為半徑畫弧交AB于點D，分別以點A，D為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點E，連接AE，DE，則∠EAD的余弦值是（ ） [A][B][C][圖8] [M][D][E]

A.[312] B.[36]

C.[33] D.[32]

10.如圖9，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED，從辦公樓頂端A測得旗桿頂端E的俯角a 是45°，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米，梯坎坡長BC是12米，梯坎坡度i = 1∶[3]，則大樓AB的高度約為（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：[2]≈1.41，[3]≈1.73，[6]≈2.45）（ ） [A][B][C][D][E][α][圖9]

A.30.6 B.32.1 C.37.9 D.39.4

二、填空題

11.如圖10，正方形ABCD的邊長為3，連接AC，AE平分∠CAD，交BC的延長線于點E，F(xiàn)A⊥AE，交CB的延長線于點F，則EF = . [A][B][C][D][E][F][圖10]

12.如圖11，在矩形ABCD中，AB =[3]，BC =[6]，點E在對角線BD上，且BE = 1.8，連接AE并延長交DC于點F，則[CFCD]= . [A][B][C][D][E][F] [A][B][C][D][圖11 圖12]

13.如圖12，在四邊形ABCD中，∠ABC = 90°，AB = 3，BC = 4，CD = 10，DA =[55]，則BD的長為 .

14.⊙O的半徑為1，弦AB =[2]，弦AC =[3]，則∠BAC的度數(shù)為 .

15.如圖13，在正方形ABCD外作等腰直角

△CDE，DE = CE，連接BE，則tan∠EBC = . [A][B][C][D][E][圖13]

三、解答題

16.在△ABC中，P為邊AB上一點.

（1）如圖14，若∠ACP =∠B，求證：AC2 = AP·AB；

（2） 如圖15，若M為CP的中點，AC = 2，∠PBM =∠ACP，AB = 3，求BP的長. [A][B][C][P][A][B][C][P][M][圖14 圖15]

17.如圖16，已知：AB是⊙O的弦，過點B作BC⊥AB交⊙O于點C，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，取AD的中點E，過點E作EF∥BC交DC的延長線于點F，連接AF并延長交BC的延長線于點G.

求證：（1）FC = FG；

（2）AB2 = BC·BG. [A][B][C][D][E][F][G][O][·][圖16]

18.先化簡，再求代數(shù)式[（2a+1-2a-3a2-1）÷1a+1]的值，其中a = 2 sin 60° + tan 45°.

19.如圖17，△ABC和△BCE均為等腰直角三角形，且∠ACB =∠BEC = 90°，AC = 4[2]，點P為線段BE延長線上一點，連接CP以CP為直角邊向下作等腰直角△CDP，線段BE與CD相交于點F. [A][B][C][D][E][F][P][圖17]

（1）求證：[PCCD=CECB].

（2）連接BD，請你判斷AC與BD有什么位置關(guān)系？并說明理由.

（3）設(shè)PE = x，△PBD的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

20.某班數(shù)學(xué)興趣小組利用數(shù)學(xué)活動課時間測量位于小山山頂?shù)难椎鄣裣窀叨?，如圖18，已知該山坡面與水平面的夾角為30°，山高857.5尺，組員從山腳D處沿山坡向著雕像方向前進1 620尺到達點E，在點E處測得雕像頂端A的仰角為60°，求雕像AB的高度. [A][B][C][D][E][圖18]

21.如圖19，天星山山腳下西端A處與東端B處相距800（1 +[3]）米，小軍和小明同時分別從A處和B處向山頂C勻速行走.已知山的西端的坡角是45°，東端的坡角是30°，小軍的行走速度為[22]米/秒.若小明與小軍同時到達山頂C處，則小明的行走速度是多少？ [A][B][C][45°][30°][圖19]

22.如圖20，大樓AB右側(cè)有一障礙物，在障礙物的旁邊有一幢小樓DE，在小樓的頂端D處測得障礙物邊緣點C的俯角為30°，測得大樓頂端A的仰角為45°（點B，C，E在同一水平直線上），已知AB = 80 m，DE = 10 m，求障礙物B，C兩點間的距離是多少（參考數(shù)據(jù)：[2]≈1.41，[3]≈1.73，結(jié)果精確到0.1 m）？ [A][B][C][圖20] [D][E] [30°][45°]