QK(p,q)空間到Zygmund空間的Riemann-Stieltjes算子

高智娟，肖建斌，張彥林

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

QK(p,q)空間到Zygmund空間的Riemann-Stieltjes算子

高智娟，肖建斌，張彥林

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

通過選取QK(p,q)空間中的測試函數(shù)，利用算子理論和解析函數(shù)的性質(zhì)，討論了從QK(p,q)空間到Zygmund空間的Riemann-Stieltjes算子，并給出了該算子是有界算子和緊算子的充要條件.

QK(p,q)空間；Zygmund空間；Riemann-Stieltjes算子；有界性；緊性

0 引 言

解析函數(shù)空間上的算子理論是研究函數(shù)論中經(jīng)典問題的重要工具.XIAO J.[1]首次提出Riemann-Stieltjes型算子，此算子是一種積分型算子和復(fù)合型算子,近些年來得到了廣泛研究，其中LI S X.[2]研究了單位圓盤上加權(quán)Bergman空間和α-bloch空間之間的Riemann-Stieltjes型算子的有界性和緊性問題，文獻(xiàn)[3-4]討論了從混合模空間和Hardy空間到Zygmund型空間的Riemann-Stieltjes型算子的有界性和緊性問題.而對于QK(p,q)空間和Zygmund型空間，LIU Y M.[5]刻畫了在單位球上乘子和徑向?qū)?shù)算子的乘積在混合?？臻g到Zygmund型空間的有界性和緊性特征，YU Y Y.[6]給出了Bloch型空間和QK(p,q)空間之間的廣義復(fù)合算子的本性模估計(jì).本文討論了QK(p,q)空間到Zygmund空間的Riemann-Stieltjes算子，并給出了刻畫該算子是有界算子和緊算子的充要條件.

1 預(yù)備知識及引理

以D表示復(fù)平面上的單位圓盤，H(D)表示D上所有的解析函數(shù).設(shè)K是定義在[0,+∞)上的右連續(xù)不減的非負(fù)函數(shù)，且滿足

(1)

其中，χA(x)表示集合A的特征函數(shù).p>0，q>-2，QK(p,q)空間定義如下

其中，f,g∈H(D),φ(D)?D.本文中C表示正常數(shù)，不同的地方可以不一樣.

2 主要定理及證明

1)當(dāng)p

(2)

且

(3)

2)當(dāng)p=q+2時(shí)，式(2)成立且

(4)

3)當(dāng)p>q+2時(shí)，式(2)成立且

(5)

所以式(2)成立，即對于以上情況式(2)都成立.

(6)

所以

再證充分性.由閉圖像定理，只需證明對任意f∈QK(p,q)，有Jg,φf∈Z.本文只證明p

1)當(dāng)p

(7)

且

(8)

2)當(dāng)p=q+2時(shí)，式(7)成立且

(9)

3)當(dāng)p>q+2時(shí)，式(7)成立且

(10)

(11)

(12)

令f(z)=1，f(z)=z，結(jié)合φ是D上的解析自映射可得

(13)

(14)

因此，由式(11)—式(14)及文獻(xiàn)[9]中的引理1得到

所以式(7)成立，對于以上情況，式(7)都成立.

1)當(dāng)p

由定理1的證明知fn(z)∈QK(p,q)，fn在D的任意緊子集上一致收斂于0，且

結(jié)合φ是D上的解析自映射及式(7)得到式(8)成立.

2)當(dāng)p=q+2時(shí)，取函數(shù)

則fn(z)∈QK(p,q)，與1的情形類似證明，可得式(9)成立.

3)當(dāng)p>q+2時(shí)，取fn(z)=1，可得式(10)成立.證畢.

3 結(jié)束語

Riemann-Stieltjes型算子作為復(fù)合算子的推廣，研究其在兩個(gè)解析函數(shù)空間之間的有界性和緊性是有意義的，本文討論了Riemann-Stieltjes型算子在QK(p,q)空間到Zygmund空間上的有界性與緊性，將進(jìn)一步研究其在QK(p,q)空間到小Zygmund空間上的有界性和緊性問題.

[1]XIAOJ.Riemann-StieltjesoperatorsonweightedBlochandBergmanspacesoftheunitball[J].JournaloftheLondonMathematicalSociety, 2004,70(1):199-214.

[2]LIS.VolterracompositionoperatorsbetweenweightedBergmanspacesandBlochtypespaces[J].JournaloftheKoreanMathematicalSociety, 2008,45(1):229-248.

[3]LIUY,LIUH.Volterra-typecompositionoperatorsfrommixednormspacestoZygmundspaces[J].ActaMathematicaSinica, 2011,54(3):381-396.

[4]劉永民,郭健.Hardy空間到Zygmund型空間的Riemann-Stieltjes算子[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2014,57(4):693-708.

[5]LIUY,ZHOUJ.OnanOperatorMuRfromMixedNormSpacestoZygmund-TypeSpacesontheUnitBall[J].ComplexAnalysisandOperatorTheory, 2013,7(3):593-606.

[6]YUY,LIUY.TheEssentialNormofaGeneralizedCompositionOperatorBetweenBloch-TypeSpacesandQKTypeSpaces[J].ComplexAnalysisandOperatorTheory, 2012,6(6):1231-1240.

[7]KOTILAINENM.OncompositionoperatorsinQKtype spaces[J]. Journal of Function Spaces, 2007,5(2):103-122.

[8]DUREN P L. Theory of Hp spaces[M]. New York: Academic press, 1970:71-92.

Riemann-Stieltjes Operator fromQK(p,q) Space to Zgymund Space

GAO Zhijuan, XIAO Jianbin, ZHANG Yanlin

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

By choosing testing function ofQK(p,q) space and using operator theory and the properties of analytic function, this paper discusses Riemann-Stieltjes operator fromQK(p,q) space to Zgymund space, and the necessary and sufficient conditions for the boundedness and compactness of the operators are obtained.

QK(p,q) space; Zgymund space; Riemann-Stieltjes operator; boundedness; compactness

10.13954/j.cnki.hdu.2017.03.019

2016-10-18

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11571104)；浙江省大學(xué)生科技創(chuàng)新活動(dòng)計(jì)劃(新苗計(jì)劃)資助項(xiàng)目(2016R407079)

高智娟(1992-)，女，河北唐山人，碩士研究生，復(fù)分析及其應(yīng)用.通信作者：肖建斌教授，E-mail：xjb@hdu.edu.cn.

O177.2

A

1001-9146(2017)03-0091-05