高等代數(shù)的“居高”與“臨下”

楊四香

【摘要】高等數(shù)學(xué)的代數(shù)是大學(xué)中極其重要的公選課部分，其對(duì)于學(xué)生的理性思維以及邏輯思維的培養(yǎng)有著重要的作用.就大學(xué)階段的高等代數(shù)而言，其長(zhǎng)期以來(lái)都存在著十分嚴(yán)重的學(xué)、用脫節(jié)現(xiàn)象，這一現(xiàn)象導(dǎo)致了高校高等代數(shù)教學(xué)的諸多問(wèn)題.基于此，本文從“居高”為“臨下”，“臨下”須“居高”兩方面展開(kāi)了高等代數(shù)學(xué)用聯(lián)合的理論分析探討.

【關(guān)鍵詞】高等代數(shù)；學(xué)；用；“居高”；“臨下”

高等數(shù)學(xué)課程屬于高校數(shù)學(xué)類專業(yè)中的基礎(chǔ)課程，同時(shí)也是其他專業(yè)重要的公選課程，其巨大的作用不僅僅表現(xiàn)在眾多科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用上，同時(shí)也是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入現(xiàn)代數(shù)學(xué)的階梯，因此，探究高等代數(shù)具有重要的意義.目前，我國(guó)大多數(shù)高校在高等代數(shù)的開(kāi)展內(nèi)容上都和中學(xué)的數(shù)學(xué)存在諸多聯(lián)系，但是就高等代數(shù)的形式進(jìn)行觀察，其屬于一種形式化和抽象化程度極高的學(xué)科，因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用中，并不能呈現(xiàn)出螺旋式的高度貼合應(yīng)用，更有可能的是一種階梯式的使用[1].也正是這一特性，導(dǎo)致了高等代數(shù)和中學(xué)階段的數(shù)學(xué)出現(xiàn)了嚴(yán)重的脫節(jié)，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)高等代數(shù)的過(guò)程中難以從中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)到的知識(shí)體系中找到基礎(chǔ)，因此，在學(xué)習(xí)的效果上難以保障，同時(shí)也因?yàn)樵诖髮W(xué)階段的高等代數(shù)學(xué)習(xí)僅僅是為了學(xué)習(xí)而學(xué)習(xí)，在學(xué)和用上存在嚴(yán)重的脫節(jié)，也導(dǎo)致了很多學(xué)生在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)上動(dòng)力不足，存在著混個(gè)及格即可的思想.在此背景下，本文圍繞高校高等代數(shù)為中心，從“居高”“臨下”兩個(gè)方面和中學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行聯(lián)系展開(kāi)了細(xì)致的分析研討，旨在提供一些高等代數(shù)方面的理論參考，以下是具體內(nèi)容.

一、“居高”為“臨下”

（一）發(fā)揮覆蓋功能，關(guān)注課表課程

要實(shí)現(xiàn)高等代數(shù)的“臨下”，首先必須保障自身的“居高”，而要“居高”首先就必須對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的課表有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而在這個(gè)認(rèn)識(shí)之上，再在高等代數(shù)的知識(shí)體系中找出可以“臨下”的知識(shí)點(diǎn).目前我國(guó)的大多數(shù)中學(xué)都已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了新課標(biāo)的實(shí)施，雖然在中學(xué)課標(biāo)中涉及高等代數(shù)的部分很少，但是高等代數(shù)可以應(yīng)用到中學(xué)課標(biāo)的地方卻很多[2].因此，在高等代數(shù)“臨下”過(guò)程中可以以高等代數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容為基礎(chǔ)，向下對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的對(duì)應(yīng)課程內(nèi)容給予覆蓋，這對(duì)于提升中學(xué)生的中學(xué)數(shù)學(xué)水平是有極大裨益的.

（二）發(fā)揮背景功能，關(guān)注命題研究

就大學(xué)階段學(xué)習(xí)的高等代數(shù)而言，其在內(nèi)容設(shè)置上屬于多層抽象后的知識(shí)體系，相較之與實(shí)際生活有諸多聯(lián)系的中學(xué)數(shù)學(xué)好像離得很遠(yuǎn)，但是當(dāng)我們進(jìn)行進(jìn)一步的觀察時(shí)卻可以清晰地發(fā)現(xiàn)，高等代數(shù)在其本質(zhì)上是背景的形成以及理論的深化，因此，就中學(xué)階段的數(shù)學(xué)而言，在一些題目中是很容易找到一些理論或者背景便是高等代數(shù)的.就實(shí)際情況觀察，就近幾年的高考題以及競(jìng)賽題而言，很多地方自命題的省份都已經(jīng)對(duì)高等代數(shù)有所涉及[3].以下以一道實(shí)際的題目進(jìn)行講解.

（三）發(fā)揮實(shí)用功能，關(guān)注解題指導(dǎo)

在實(shí)現(xiàn)高等代數(shù)“居高”而“臨下”的過(guò)程中，其也表現(xiàn)在對(duì)一些中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用上，通過(guò)高等代數(shù)的應(yīng)用其中，可實(shí)現(xiàn)很多難、繁的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化和清晰化，具體而言，目前在中學(xué)數(shù)學(xué)中，高等代數(shù)應(yīng)用其中主要有柯西-布涅柯夫斯基不等式的應(yīng)用、行列式性質(zhì)的應(yīng)用、矩陣基礎(chǔ)的應(yīng)用以及二次型理論的應(yīng)用幾種[4].以下以一道行列式簡(jiǎn)易化解題詳細(xì)講解.

例2已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，同時(shí)-4（a-b）+（b-c）+（c-a）2=0，求證a，b，c三者呈一等差數(shù)列.

在中學(xué)的知識(shí)范疇內(nèi)進(jìn)行該題的解答時(shí)，需要從等式的實(shí)根入手，并且借助實(shí)根，再使用實(shí)根和系數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行式子的分析，得出b-c1a-b=1，最后求出a，b，c三者呈一等差數(shù)列.該種解題的方式極其復(fù)雜，需要學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)式子的變形掌握水平極高，而在變形的過(guò)程中還極易出現(xiàn)錯(cuò)誤.然而，使用高等代數(shù)中的行列式性質(zhì)為解題角度就可以實(shí)現(xiàn)輕松解題.

二、“臨下”須“居高”

通過(guò)上文的分析已經(jīng)可以清晰地認(rèn)識(shí)到高等代數(shù)在“臨下”上的解題途徑，對(duì)于學(xué)生而言，對(duì)高等代數(shù)的作用便已經(jīng)有了一個(gè)十分清晰的認(rèn)知，因此，在“臨下”的基礎(chǔ)上就需要以現(xiàn)有的高校高等代數(shù)為基礎(chǔ)，給予“居高”.當(dāng)然如何實(shí)現(xiàn)高等代數(shù)的“居高”也是一個(gè)需要思考的問(wèn)題.因此，我們需要對(duì)“居高”的要求有所了解，在對(duì)“居高”進(jìn)行理解時(shí)，也可以聯(lián)系中學(xué)數(shù)學(xué)的“臨下”進(jìn)行聯(lián)合考慮，通過(guò)中學(xué)數(shù)學(xué)中已經(jīng)出現(xiàn)的諸多應(yīng)用模式，來(lái)進(jìn)一步對(duì)高等代數(shù)進(jìn)行“居高”的思考，以下具體對(duì)可以“居高”部分進(jìn)行羅列.

在中學(xué)數(shù)學(xué)中四則運(yùn)算依托于高等代數(shù)的充分拓展，因此，在此基礎(chǔ)上也可以基于高等代數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式最大公因式理論以及整除理論的探討[5].

在中學(xué)數(shù)學(xué)中的分式分解法在高等代數(shù)中也得到了一定的延伸，在此基礎(chǔ)上我們?cè)龠M(jìn)一步延伸，使用不可約的多項(xiàng)式對(duì)不可分解的含義進(jìn)行解釋，并對(duì)不可約多項(xiàng)式、唯一分解定理以及多項(xiàng)式性質(zhì)進(jìn)行數(shù)域上的劃分.

在高等代數(shù)中，二元一次函數(shù)以及三元一次函數(shù)方程組均得到了很大的拓展，我們可以以此為基礎(chǔ)，進(jìn)一步進(jìn)行擴(kuò)展，在高等代數(shù)中對(duì)線性方程組的矩陣消元解法以及行列式解法進(jìn)而剖析，對(duì)線性方程組解進(jìn)行判定，并且對(duì)不同解之間的關(guān)系進(jìn)行探究[6].

中學(xué)數(shù)學(xué)高中階段的幾何中夾角以及向量之間的關(guān)系，在高等代數(shù)中的歐式空間模型中得到了證明和進(jìn)一步分析，而三角不等式又可以進(jìn)一步為高等代數(shù)中的歐式兩點(diǎn)間具體性質(zhì)證明提供模型.

在對(duì)高等代數(shù)進(jìn)行“居高”時(shí)，也需要注意中學(xué)知識(shí)中對(duì)高等代數(shù)應(yīng)用的進(jìn)一步提升和延伸，可以對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中的諸多定理進(jìn)行理論上的解釋，這一點(diǎn)對(duì)高等代數(shù)的“居高”具有重大的現(xiàn)實(shí)意義，也是本文展開(kāi)研究的主要目的之一.

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，本文主要對(duì)高等代數(shù)的學(xué)、用結(jié)合展開(kāi)了細(xì)致的分析，提出了“居高”為“臨下”的觀點(diǎn)，并且以“發(fā)揮覆蓋功能，關(guān)注課表課程”“發(fā)揮背景功能，關(guān)注命題研究”“發(fā)揮實(shí)用功能，關(guān)注解題指導(dǎo)”三部分展開(kāi)了細(xì)致的分析；同時(shí)，在中學(xué)數(shù)學(xué)方面以實(shí)際的題目對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中柯西-布涅柯夫斯基不等式的應(yīng)用、中學(xué)數(shù)學(xué)解題中行列式性質(zhì)的應(yīng)用、矩陣基礎(chǔ)的應(yīng)用以及二次型理論的應(yīng)用展開(kāi)了分析；最后，又對(duì)高等代數(shù)的進(jìn)一步“居高”為“臨下”進(jìn)行了分析.希望通過(guò)本文能讓廣大的學(xué)生及教師對(duì)高等代數(shù)的“居高”與“臨下”部分有一個(gè)清晰的認(rèn)知，進(jìn)一步增加高等代數(shù)的實(shí)用性.

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