論卡西尼曲線與無限長均勻帶電直線系統(tǒng)等勢線的關(guān)系

姜付錦 吳 珊

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430300)

論卡西尼曲線與無限長均勻帶電直線系統(tǒng)等勢線的關(guān)系

姜付錦 吳 珊

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430300)

通過對卡西尼曲線和伯努利雙紐線一般形式的研究得到了其基本的幾何性質(zhì)，由此猜想了廣義的卡西尼曲線和廣義的卡西尼曲線簇，并用Maple13對其進(jìn)行了數(shù)值模擬.接著推導(dǎo)出了無限長均勻帶電直線系統(tǒng)等勢線方程，發(fā)現(xiàn)其等勢線方程與廣義的卡西尼曲線簇具有相同的形式，從而證明了廣義的卡西尼曲線簇就是無限長均勻帶電直線系統(tǒng)等勢線.

卡西尼曲線 無限長均勻帶電直線系統(tǒng) 等勢線

1 卡西尼卵形線和伯努利雙紐線簡介

卡西尼卵形線是這樣的曲線：設(shè)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1與F2的距離的乘積是個(gè)常量，即

MF1·MF2=b2

式中b是一個(gè)常數(shù).點(diǎn)M的幾何軌跡叫做卡西尼卵形線[1].

設(shè)F1F2=2a，取F1F2所在直線為極軸，線段F1F2的中點(diǎn)O為極點(diǎn)，則可推導(dǎo)出卵形線的極坐標(biāo)方程為

兩種情況的圖形如圖1所示，第一種情形對應(yīng)一條封閉的曲線，第二種情形對應(yīng)于兩個(gè)分開的封閉曲線，而當(dāng)a2=b2時(shí)，所對應(yīng)的曲線即伯努利雙紐線(圖2)[1]，所對應(yīng)的方程為

r2=a2cos 2θ

圖1 a2b2卵形線

圖2 伯努利雙紐線

對于卵形線和雙紐線，還有下列性質(zhì)[2]：

(1)當(dāng)a2b2時(shí)，r的最大值和最小值分別為

(2)當(dāng)b2≥2a2，曲線是一條凸曲線.

(3)當(dāng)b2=0時(shí)，曲線退化為2個(gè)點(diǎn)，即F1和F2.

2 廣義的卡西尼曲線

設(shè)F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3,…,FN是平面內(nèi)N個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)M到F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3,…,FN的距離滿足以下等式

MF1τ1·MF2τ2·…·MFNτN=bN

點(diǎn)M的軌跡就是廣義上的卡西尼曲線，式中τ1,τ2,…,τN為一系列的實(shí)數(shù)，b,N為兩個(gè)實(shí)數(shù).

若N=2,b變化時(shí)，則會得到一個(gè)卡西尼曲線簇，如圖3和圖4所示.由圖可知,它們開始是分離的兩個(gè)卵形曲線，后來會變成一個(gè)完整的曲線；若τ1,τ2,…,τN的正負(fù)相同，則會有伯努利雙紐線；若τ1,τ2,…,τN正負(fù)不同，不會形成伯努利雙紐線.

圖3 廣義的卡西尼曲線簇τ1=2,τ2=1

圖4 廣義的卡西尼曲線簇τ1=2,τ2=-1

3 無限長均勻帶電直線系統(tǒng)形成的等勢線

若能求出一根無限長均勻帶電直線的等勢線方程，再利用電勢的疊加原理就可以得出多根無限長均勻帶電直線的等勢線方程.

3．1 一根無限長均勻帶電直線產(chǎn)生的電勢[3]

圖5 均勻帶電無限長直線的電勢

積分結(jié)果是無窮大，無窮大的出現(xiàn)與電荷不是有限區(qū)域內(nèi)的分布有關(guān).計(jì)算兩點(diǎn)P與P0的電勢差可以不出現(xiàn)無窮大.設(shè)P0點(diǎn)與導(dǎo)線的垂直距離為R0，則P點(diǎn)與P0點(diǎn)的電勢差為

若選P0為參考點(diǎn)，規(guī)定φ(P0)=0，則

3.2 兩根無限長均勻帶電直線形成的等勢線方程

如果平面上有兩根無限長帶電直線，則某點(diǎn)M的電勢可以寫成

式中τ1,τ2分別為兩根無限長帶電直線電荷的線密度，F(xiàn)1,F2分別為兩根無限長帶電直線的中心點(diǎn)，P0為參考點(diǎn)，規(guī)定φ(R0)=0[4].

若設(shè)

則可以化簡為

MF1τ1·MF2τ2=R0τ1+τ2e-2πε0C

若令R0τ1+τ2e-2πε0C=b2，則可變?yōu)閺V義的卡西尼曲線的一般形式

MF1τ1·MF2τ2·…·MFNτN=bN

當(dāng)式中b取不同的數(shù)值時(shí)就會得到廣義的卡西尼曲線簇，如圖6所示.

圖6 廣義的卡西尼曲線簇

4 結(jié)束語

廣義的卡西尼曲線簇在本質(zhì)上是無限長均勻帶電直線系統(tǒng)形成的等勢線，其中卵的中心就是每根帶電直線的中心，若這些中心某幾個(gè)可以包裹在一個(gè)封閉的曲線里，則說明它們帶電的性質(zhì)相同；若開始相互隔開的，則它們的電性相反；若某幾個(gè)中心開始是隔開的最后在更遠(yuǎn)距離上包裹在一個(gè)封閉的曲線里，則說明后來被包裹的那個(gè)直線的電荷量小于包裹它的那幾根直線的總電荷量.無限長均勻帶電直線系統(tǒng)的等勢線還可以利用莫爾條紋來分析[4]，限于篇幅這里不再贅述.

1 B·H·斯米爾諾夫著.高等數(shù)學(xué)教程.孫念增,譯.北京：商務(wù)印書館，1956.200～201

2 王敘貴.多卵線與多紐線——卡西尼卵形線與伯努利雙紐線的推廣.昆明師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào),2001，23(4)：34～36

3 郭碩鴻.電動力學(xué).北京：高等教育出版社，2012.37～43

4 李治林，劉建科．利用莫爾條紋模擬疊加靜電場的等勢線．大學(xué)物理，2011(6):47～51

2016-12-16)