關(guān)于橢圓曲線y2=qx(x2+32)的正整數(shù)點

趙建紅

(麗江師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系，云南 麗江 674199)

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關(guān)于橢圓曲線y2=qx(x2+32)的正整數(shù)點

趙建紅

(麗江師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系，云南 麗江 674199)

設(shè)q為無平方因子的正奇數(shù)，q的任意素因子qi(i∈Z+)都滿足qi≡5(mod 8)，主要利用同余的性質(zhì)、Legendre符號等證明了y2=qx(x2+32)無正整數(shù)點．

橢圓曲線；正整數(shù)點；同余；Legendre符號

1 引言及相關(guān)結(jié)論

橢圓曲線的整數(shù)點是數(shù)論和算術(shù)代數(shù)幾何學(xué)中基本而又重要的問題，關(guān)于橢圓曲線y2=qx(x2+a),q,a∈Z+的整數(shù)點問題，目前主要結(jié)論為：a=1時文獻[1-5]已進行了一些研究；a=2時文獻[6-10]已進行了一些研究；a=4時，文獻[11]已進行了一些研究；a=64時文獻[12]進行了一些研究．

本文給出了a=32時橢圓曲線(1)的正整數(shù)點的情況．

2 重要引理

引理1[6]對于素數(shù)p，方程X2-2p2Y4=1,其中X,Y∈N+僅當(dāng)p=2和3時分別有解(X,Y)=(3,1)和(17,2)．

3 相關(guān)定理

定理1 如果q為無平方因子的正奇數(shù)，q的任意素因子qi(i∈Z+)都滿足qi≡5(mod 8)，則橢圓曲線

y2=qx(x2+32)

(1)

無正整數(shù)點.

證明 設(shè)(x,y),x,y∈Z+是橢圓曲線(1)的正整數(shù)點，因為q是奇素數(shù)，故由橢圓曲線(1)知：q|y，設(shè)y=pz，z∈Z+，將其代入橢圓曲線(1)式得：qz2=x(x2+32)

(2)

因為gcd(x,x2+32)=gcd(x,32)=1或2或4或8或16或32，故式(2)可分解為以下6種情況：

情形ix=ma2,x2+32=nb2,z=ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b∈Z+；

情形iix=2ma2,x2+32=2nb2,z=2ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b∈Z+；

情形iiix=4ma2,x2+32=4nb2,z=4ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b∈Z+;

情形ivx=8ma2,x2+32=8nb2,z=8ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b∈Z+;

情形vx=16ma2,x2+32=16nb2,z=16ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b∈Z+;

情形vix=32ma2,x2+32=32nb2,z=32ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b∈Z+.

下面分別討論這6種情形下橢圓曲線(1)的正整數(shù)點的情況.

情形i將x=ma2代入x2+32=nb2,得:

m2a4+32=nb2

(3)

(i)n>1時，n中至少含有一個素因子qj，j∈Z+由題意得qi≡5(mod 8).對式(3)兩邊同時取模qj，得

(ma2)2≡-32(modqj)

(4)

(ii)n=1,m=q此時式(3)成為q2a4+32=b2，兩邊同時取模q，得：

b2≡-32(modq)

(5)

情形ii將x=2ma2,x2+32=2nb2得：

2m2a4+16=nb2

(6)

(i)n>1時，n中至少含有一個素因子qj，j∈Z+,由題意得qi≡5(mod 8).對式(6)兩邊同時取模qj，得2m2a4≡-16(modqj)，則有m2a4≡-8(modqj)，即：

(ma2)2≡-8(modqj)

(7)

(ii)n=1時，m=q,此時式(6)成為： 2q2a4+16=b2

(8)

由式(8)知b為偶數(shù)，令b=2c(c∈Z+)，整理得：q2a4=2c2-8

(9)

因為b為偶數(shù)，而gcd(a,b)=1，所以a為奇數(shù).又q為奇數(shù)，故式(9)左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，顯然不成立，因此n=1時情形ii不成立.

情形iii將x=4ma2代入x2+32=4nb2,得: 4m2a4+8=nb2

(10)

(i)n>1時，n中至少含有一個素因子qj，j∈Z+，由題意得qi≡5(mod 8).對式(10)兩邊同時取模qj，得4m2a4≡-8(modqj)，則有m2a4≡-2(modqj),即：

(ma2)2≡-2(modqj)

(11)

(ii)n=1時，m=q,此時式(10)成為4q2a4+8=b2，兩邊同時取模q，得：

b2≡8(modq)

(12)

情形iv將x=8ma2代入x2+32=8nb2,得:

8m2a4+4=nb2

(13)

(i)n>1時，n中至少含有一個素因子qj，j∈Z+，由題意得：qi≡5(mod 8).對式(13)兩邊同時取模qj，得8m2a4≡-4(modqj)，即4m2a4≡-2(modqj)，也即：

(2ma2)2≡-2(modqj)

(14)

(ii)n=1時，m=q此時式(13)成為:

8q2a4+4=b2

(15)

由式(15)知b為偶數(shù)，令b=2c(c∈Z+)，整理得2q2a4+1=c2，兩邊取模8，得：2q2a4+1≡c2(mod 8)

(16)

因為b為偶數(shù)，而gcd(a,b)=1，所以a為奇數(shù)，又q為奇數(shù)，故2q2a4+1≡3(mod 8)，則由式(16)有c2≡3(mod 8)，顯然不成立，因此n=1時情形iv不成立.

情形v將x=16ma2代入x2+32=16nb2得：

16m2a4+2=nb2

(17)

(i)n>1時，n中至少含有一個素因子qj，j∈Z+，由題意得qi≡5(mod 8).對式(17)兩邊同時取模qj，得16m2a4≡-2(modqj)，即： (4ma2)2≡-2(modqj)

(18)

(ii)n=1時，m=q此時式(17)成為16q2a4+2=b2，兩邊取模q，得：

b2≡2(modq)

(19)

情形vi將x=32ma2代入x2+32=32nb2,得:

32m2a4+2=nb2

(20)

(i)n>1時，n中至少含有一個素因子qj，j∈Z+，由題意得qi≡5(mod 8).對式(20)兩邊同時取模qj，得32m2a4≡-1(modqj)，即64m2a4≡-2(modqj)，也即:

(8ma2)2≡-2(modqj)

(21)

(ii)n=1時，m=q此時式(20)成為32q2a4+2=b2，即：

b2-2q2·(2a)4=1

(22)

由引理1知方程(22)僅當(dāng)q=3時有正整數(shù)解(c,2a)=(17,2)，即(c,a)=(17,1)，這與“q≡5(mod 8)為奇素數(shù)”矛盾，故n=1時情形vi不成立.

綜上有橢圓曲線(1)無正整數(shù)點.

[1] 祝輝林，陳建華.兩個丟番圖方程y2=nx(x2±1)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2007，50(5)：1071-1074.

[2] 樂茂華.橢圓曲線y2=px(x2±1)的正整數(shù)點[J].湛江師范學(xué)院學(xué)報，2008,29(3)：1-2.

[3] 管訓(xùn)貴.關(guān)于橢圓曲線y2=px(x2+1)的一個注記[J].四川理工學(xué)院(自然科學(xué)版)，2010，23(4)：384,393.

[4] 竇志紅.橢圓曲線y2=2px(x2+1)上正整數(shù)點的個數(shù)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2011,27(2)：210-212,235.

[5] 楊海，付瑞琴.一類橢圓曲線有正整數(shù)點的判別條件[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2013,29(4)：338-341.

[6] 廖思泉，樂茂華.橢圓曲線y2=px(x2+2)的正整數(shù)點[J].數(shù)學(xué)雜志，2009,29(3)：387-390.

[7] 陳歷敏.Diophantine方程y2=px(x2+2)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2010,53(1):83-86.

[8] 李玲，張緒緒.橢圓曲線y2=nx(x2+2)的整數(shù)點[J].西安工程大學(xué)學(xué)報，2011，25(3):407-409.

[9] 杜曉英.橢圓曲線y2=nx(x2+2)在p≡1(mod 8)時的正整數(shù)點[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2014,44(15):290-293.

[10] 張瑾.橢圓曲線y2=px(x2+2)有正整數(shù)點的判別條件[J].數(shù)學(xué)的實踐與認知，2015,45(4)：232-235.

[11] 崔保軍.橢圓曲線y2=px(x2+4)的正整數(shù)點[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014,32(6)：962-963.

[12] 崔保軍.橢圓曲線y2=px(x2+64)的正整數(shù)點[J].甘肅高師學(xué)報，2015,20(2):7-9.

責(zé)任編輯：時 凌

The Positive Integral Points on the Elliptic Curvey2=qx(x2+32)

ZHAO Jianhong

(Department of Mathematics and Computer Science, Lijiang teachers college, Lijiang 674199, China)

Letqbe a positive odd number,which has no square factor, and prime factorsqi(i∈Z+) satisfyqi≡5(mod 8).It was proved thaty2=qx(x2+32) has no positive integer points by using some properties of congruence,Legendre symbol.

elliptic curve；positive integer point；congruence；Legendre symbol

2017-03-24.

云南省科技廳應(yīng)用基礎(chǔ)研究計劃青年項目 (2013FD061)

趙建紅(1981-)，男，碩士，副教授，主要從事初等數(shù)論的研究.

1008-8423(2017)02-0134-03

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2017.06.004

O156.1

A