巧妙構造，“圓”形畢露

趙亮堂

【摘要】有些題目表面看與圓無關，但深入研究，往往道是無圓卻有圓，從而構造輔助圓，巧妙解題.

【關鍵詞】巧妙；構造；輔助圓

在解題時有些問題看似與圓無關，但如果我們大膽聯(lián)想，巧妙構造輔助圓，數(shù)形結合，往往能促使問題“舊貌換新顏”，從而簡捷地解決問題.那么，何種情況適合構造輔助圓呢？下面分類闡述，與讀者共研.

一、平方和為定值

例1（2013年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省預賽試題）函數(shù)f（x）=3x-6+3-x的值域是.

思路分析兩個根式相加，如果平方展開直接運算，計算量較大.將3x-6寫成3x-2，發(fā)現(xiàn)（x-2）+（3-x）=1是定值，符合圓的方程，故對原式換元，把其求值域問題轉化為直線和圓有交點的問題.

解f（x）=3x-6+3-x的定義域是[2，3].

令u=x-2，v=3-x（u>0，v>0）.

如圖1，則u2+v2=1，z=3u+v所表示的是傾斜角為120°的直線與圓在第一象限部分有交點時的截距.

直線與圓相切時z為最大值

直線與圓相交于（0，1）時z為最小值，z=3·0+1=1.

二、動點對固定長度線段的張角為定值

例2（2014新課標Ⅰ）已知a，b，c分別為△ABC的角A，B，C的對邊，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為.

思路分析先化簡三角函數(shù)式，得到A=60°，又a=2，聯(lián)想圓中定角所對的弦長也為定值，所以作出△ABC的外接圓，觀察A在何處時△ABC的高最大即可.

解利用正弦定理，原式變?yōu)椋╝+b）（a-b）=（c-b）c，化簡得b2+c2-a2=bc，

三、動點到兩個定點的長度比為定值λ（λ≠1）

例3（2008江蘇）若AB=2，AC=2BC，則S△ABC的最大值是.

思路分析一個動點到兩個定點的長度比為定值λ（λ≠1），這個動點的軌跡為“阿波羅尼斯圓”，AB的長度已定，要S△ABC的最大值只要找到C到AB的距離最大即可，故以AB為x軸，求出點C的軌跡，數(shù)形結合求解.

解以AB為x軸，AB中垂線為y軸建立直2角坐標系.則點A（-1，0），B（1，0）.設C（x，y）.

由AC=2BC，

得（x+1）2+y2=2（x-1）2+y2.

兩邊平方得x2+2x+1+y2=2（x2-2x+1+y2），

x2-6x+y2+1=0，（x-3）2+y2=8.

△ABC的底邊為2，高最大值是22，此時S△ABC=12×2×22=22.

四、圓中固定長度的弦的中點

六、圓繞定點旋轉

例6（2016深圳二模）如圖6，在凸四邊形ABCD中，AB=1，BC=3，AC⊥CD，AC=CD.當∠ABC變化時，對角線BD的最大值為.

思路分析因為AB=1，A是以B為圓心，1為半徑的圓.AC⊥CD，AC=CD，即把AC逆時針旋轉90°，相當于圓B旋轉90°，BD的最大值就是圓外一點到圓上動點的最大值.

解如圖7所示建立直角坐標系，則C（0，0），B（-3，0），設A（x1，y1），D（x，y）.

由條件|AB|=1，得（x1+3）2+y21=1，（1）

ZCA=x1+y1i，ZCD=x+yi，

ZCD·i=ZCA，

（x+yi）i=x1+y1i，

-y+xi=x1+y1i，

即-y=x1，x=y1.

將其代入（1）得（-y+3）2+x2=1，

即（y-3）2+x2=1，

|BD|最大值=（0-3）2+（3-0）2+1=6+1.

七、橢圓經伸縮變換

例7（2015新課標Ⅱ）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m>0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.

（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

（2）若l過點m3，m，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由.

思路分析橢圓和圓形式相近，在求解一些問題時，通過伸縮變換，將橢圓變換為圓，利用圓特有的幾何特征，往往能簡捷解題.

解（1）由伸縮變換

橢圓變?yōu)閳Ax′2+y′2=m2，

所以直線的斜率變?yōu)樵瓉淼?3.

故變換前的直線l的斜率是k=3k′=4±7.

綜上可見，解題時深入理解題中的條件特征，數(shù)據(jù)結構，多方聯(lián)想，發(fā)掘隱藏的圓，從而數(shù)形結合巧妙解題.這樣做不單起到化繁為簡、化難為易、化隱為顯的良好效果，并且對進一步認識數(shù)學知識的內在規(guī)律，培養(yǎng)一題多解的發(fā)散思維，提高數(shù)學素養(yǎng)大有裨益.