四川省仁壽縣華興中學 王 桃
勾股定理是初中數學中非常重要的一個定理。它很好地解釋了直角三角形中三邊的數量關系,對于幾何學當中有關直角三角形的計算證明問題,利用勾股定理往往能使學生快速解決問題。同時,在日常生活及工作中,勾股定理的應用也非常廣泛。筆者根據多年的教學經驗,利用勾股定理如何來解決“線段求長度”“面積”“最短路徑”“實際問題”進行分析和探究,希望以此能夠為初中數學教學提供有效依據。
在初中數學中,求三角形的高如果直接去求會非常困難,而利用勾股定理則非常輕松求出高。
1.利用勾股定理求直角三角形斜邊上的高
例題1.如圖,在長方形A B C D中,AD=4,CD=3,AE⊥BD,則AE等于多少?
[解析] 利用直角三角形兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上的高相乘(等積法)
解:∵正方形ABCD,BC=3
∴ ∠BAD=90°,AB=3
在直角三角形ABD中
∵AD=4,AB=3
2.利用勾股定理求一般三角形一邊上的高
例題2.如圖,△ABC是小新家的門口的一塊空地,三邊的長分別是AB=13米,BC=14米,AC=15米,現(xiàn)準備以每平方米50元的單價請承包商種植草皮,問共需要多少費用?
[解析] 解決一般三角形某邊上的高,常常通過勾股定理,利用三邊關系列方程
解:過點A作AD⊥ BC,設BD=x,則DC=(14-x)米
∵在Rt△ABD與Rt△ACD中,由勾股定理得:
AB2-BD2=AD2=AC2-DC2
即132-x2=152-(14-x)2
解得x=5
例3.如圖,將矩形ABCD沿AE折疊,頂點D恰好落在BC邊上F點處,已知CE=3cm,AB=8cm,則圖中陰影部分面積是多少?
[解析] 解決面積問題,首先通過圖形將面積問題轉化為求線段的長度問題,在直角三角形中要求某條線段的長,通常設未知數,利用三邊關系來列方程。
解:∵正方形ABCD,AB=8
∴AD=BC,AB=CD=8cm
∵CE=3cm
∴DE=8-3=5cm
∵將△ADE折疊到△AFE
∴AD=AF,DE=EF=5cm
在直角△CEF中
設BF=xcm,則AF=AD=(x+4)cm
在直角△ABF中
例4.如圖所示,一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā),沿長方體的表面爬到對角頂點C1處(三條棱長如圖所示),問怎樣走路線最短?最短路線長為多少?
[解析] 螞蟻由A點沿長方體的表面爬行到C1點,有三種方式,分別展成平面圖形如圖:
解:如圖①,在Rt△ABC1中,
AC12=AB2+BC12=42+32=25,
∴AC1=
如圖②,在Rt△ACC1中,
AC12=AC2+CC12=62+12=37,
∴AC1=
如圖③,在Rt△AB1C1中,
AC12=AB12+B1C12=52+22=29,
∴AC1=
∵25<29<37,
∴沿圖①的方式爬行路線長最短,最短的路線長為5.
例5.如圖,在C港有甲、乙兩艘漁船,若甲船沿北偏東60°方向以每小時8海里速度前進,乙船沿南偏東某方向以每小時15海里速度前進,1小時后甲船到達B島,乙船到達A島,且A島與B島相距17海里,你能知道乙船沿哪個方向航行嗎?
[解析] 對于方位角,通常是利用方位角得到直角三角形,然后利用直角三角形的三邊關系,即勾股定理解決問題。
解:由題意得
AB=17,AC=5,BC=8
∵ AC2=25,BC2=64
∴ AC2+BC2=289=AB2
∴△ABC為直角三角形
∵甲沿北偏東60°
∴A沿南偏東30°
例略。
1.已知直角三角形勾股定理求第三邊勾股定理逆定理。
2.已知三角形三邊勾股定理逆定理得出直角三角形勾股定理。