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    淺談勾股定理在初中數學教學中的應用

    2017-06-20 06:41:42四川省仁壽縣華興中學
    衛(wèi)星電視與寬帶多媒體 2017年11期
    關鍵詞:偏東列方程三邊

    四川省仁壽縣華興中學 王 桃

    一、引言

    勾股定理是初中數學中非常重要的一個定理。它很好地解釋了直角三角形中三邊的數量關系,對于幾何學當中有關直角三角形的計算證明問題,利用勾股定理往往能使學生快速解決問題。同時,在日常生活及工作中,勾股定理的應用也非常廣泛。筆者根據多年的教學經驗,利用勾股定理如何來解決“線段求長度”“面積”“最短路徑”“實際問題”進行分析和探究,希望以此能夠為初中數學教學提供有效依據。

    二、勾股定理的應用

    (一)勾股定理在三角形的高問題中的應用

    在初中數學中,求三角形的高如果直接去求會非常困難,而利用勾股定理則非常輕松求出高。

    1.利用勾股定理求直角三角形斜邊上的高

    例題1.如圖,在長方形A B C D中,AD=4,CD=3,AE⊥BD,則AE等于多少?

    [解析] 利用直角三角形兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上的高相乘(等積法)

    解:∵正方形ABCD,BC=3

    ∴ ∠BAD=90°,AB=3

    在直角三角形ABD中

    ∵AD=4,AB=3

    2.利用勾股定理求一般三角形一邊上的高

    例題2.如圖,△ABC是小新家的門口的一塊空地,三邊的長分別是AB=13米,BC=14米,AC=15米,現(xiàn)準備以每平方米50元的單價請承包商種植草皮,問共需要多少費用?

    [解析] 解決一般三角形某邊上的高,常常通過勾股定理,利用三邊關系列方程

    解:過點A作AD⊥ BC,設BD=x,則DC=(14-x)米

    ∵在Rt△ABD與Rt△ACD中,由勾股定理得:

    AB2-BD2=AD2=AC2-DC2

    即132-x2=152-(14-x)2

    解得x=5

    (二)勾股定理在面積問題中的應用

    例3.如圖,將矩形ABCD沿AE折疊,頂點D恰好落在BC邊上F點處,已知CE=3cm,AB=8cm,則圖中陰影部分面積是多少?

    [解析] 解決面積問題,首先通過圖形將面積問題轉化為求線段的長度問題,在直角三角形中要求某條線段的長,通常設未知數,利用三邊關系來列方程。

    解:∵正方形ABCD,AB=8

    ∴AD=BC,AB=CD=8cm

    ∵CE=3cm

    ∴DE=8-3=5cm

    ∵將△ADE折疊到△AFE

    ∴AD=AF,DE=EF=5cm

    在直角△CEF中

    設BF=xcm,則AF=AD=(x+4)cm

    在直角△ABF中

    (三)勾股定理在最短路程問題中的應用

    例4.如圖所示,一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā),沿長方體的表面爬到對角頂點C1處(三條棱長如圖所示),問怎樣走路線最短?最短路線長為多少?

    [解析] 螞蟻由A點沿長方體的表面爬行到C1點,有三種方式,分別展成平面圖形如圖:

    解:如圖①,在Rt△ABC1中,

    AC12=AB2+BC12=42+32=25,

    ∴AC1=

    如圖②,在Rt△ACC1中,

    AC12=AC2+CC12=62+12=37,

    ∴AC1=

    如圖③,在Rt△AB1C1中,

    AC12=AB12+B1C12=52+22=29,

    ∴AC1=

    ∵25<29<37,

    ∴沿圖①的方式爬行路線長最短,最短的路線長為5.

    (四)勾股定理在方位角問題中的應用

    例5.如圖,在C港有甲、乙兩艘漁船,若甲船沿北偏東60°方向以每小時8海里速度前進,乙船沿南偏東某方向以每小時15海里速度前進,1小時后甲船到達B島,乙船到達A島,且A島與B島相距17海里,你能知道乙船沿哪個方向航行嗎?

    [解析] 對于方位角,通常是利用方位角得到直角三角形,然后利用直角三角形的三邊關系,即勾股定理解決問題。

    解:由題意得

    AB=17,AC=5,BC=8

    ∵ AC2=25,BC2=64

    ∴ AC2+BC2=289=AB2

    ∴△ABC為直角三角形

    ∵甲沿北偏東60°

    ∴A沿南偏東30°

    (五)勾股定理在噪音影響問題中的應用

    例略。

    三、總結

    (一)勾股定理在初中數學中的應用一般有兩條思路。

    1.已知直角三角形勾股定理求第三邊勾股定理逆定理。

    2.已知三角形三邊勾股定理逆定理得出直角三角形勾股定理。

    (二)利用方程的思想,通過勾股定理列方程,從而達到求線段的長度。

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