基于Bayes統(tǒng)計理論的射表編擬方法

閆雪梅，文 艷，何 斌

（中國華陰兵器試驗(yàn)中心，陜西 華陰 714200）

基于Bayes統(tǒng)計理論的射表編擬方法

閆雪梅，文 艷，何 斌

（中國華陰兵器試驗(yàn)中心，陜西 華陰 714200）

全面系統(tǒng)闡述了Bayes統(tǒng)計理論下的射表編擬方法，具體研究了驗(yàn)前信息的處理、符合計算、編擬計算及試驗(yàn)用彈量的確定等幾個關(guān)鍵難點(diǎn)問題，同時導(dǎo)出了確定先驗(yàn)分布中未知參數(shù)的計算公式、射表基本諸元的后驗(yàn)估計公式、射表試驗(yàn)用彈量的計算公式。通過兩個實(shí)例對其具體使用方法給予了詳細(xì)說明并對其結(jié)果進(jìn)行了分析，指出應(yīng)用該方法可以在相同精度要求下節(jié)省用彈量或在相同用彈量下提高射表精度，具有很好的經(jīng)濟(jì)適用價值。

先驗(yàn)分布，后驗(yàn)分布，射表編擬，樣本量，Bayes

0 引言

射表是為打得準(zhǔn)服務(wù)的，因此，如何編制高精度的射表始終是常規(guī)兵器試驗(yàn)技術(shù)領(lǐng)域中的一個重要課題。現(xiàn)行射表編擬方法是在多個仰角下進(jìn)行射擊試驗(yàn)，每個仰角射擊m組，每組n發(fā)，試驗(yàn)后根據(jù)這些試驗(yàn)結(jié)果，按外彈道學(xué)理論編擬射表［1］。這種方法只考慮了本次試驗(yàn)結(jié)果即當(dāng)前樣本信息，沒有考慮本次射擊試驗(yàn)前的先驗(yàn)信息。然而，在編擬射表前存在有定型試驗(yàn)數(shù)據(jù)、臨時射表試驗(yàn)數(shù)據(jù)等大量先驗(yàn)信息，這些信息較好地反映了武器系統(tǒng)的特性，合理準(zhǔn)確地應(yīng)用這些信息，可以在同一精度下減少正式射表試驗(yàn)用彈量或在相同用彈量下提高射表精度。問題是如何準(zhǔn)確應(yīng)用驗(yàn)前信息，按照Bayes觀點(diǎn)，不能將驗(yàn)前信息和當(dāng)前樣本信息簡單地“混合”在一起使用，那么，如何有效地利用驗(yàn)前信息編擬射表，筆者給出了一種應(yīng)用Bayes統(tǒng)計理論的方法。

1 驗(yàn)前信息的處理

設(shè)X為在炮口水平面上炮口到落點(diǎn)的距離，X服從以μ，B2為參數(shù)的正態(tài)分布，這里的B在射表中稱公算偏差，，ρ=0.476 9，σ是標(biāo)準(zhǔn)差。按Bayes觀點(diǎn)，要把μ，B2看作隨機(jī)變量，μ，B2的分布稱為先驗(yàn)分布。驗(yàn)前信息的處理就是確定先驗(yàn)分布。為此，設(shè)B2的分布密度函數(shù)為π1（B2），μ的分布密度函數(shù)為π2（μ），則［2］

式中，K=2ρ2，n0為先驗(yàn)信息樣本量，μ0，v0，S0為未知參數(shù)。按照Bayes理論，須應(yīng)用驗(yàn)前數(shù)據(jù)獲取這些未知參數(shù)。

假定在正式射表試驗(yàn)以前獲得了準(zhǔn)確可靠的定型試驗(yàn)、臨時射表試驗(yàn)數(shù)據(jù)，在每一射角下有m組，每組n發(fā)，對每組進(jìn)行射程標(biāo)準(zhǔn)化并將其平均，則得表載射程*，將試驗(yàn)所得各組公算偏差進(jìn)行平均則得表載值，如表1所示：

表1 驗(yàn)前信息數(shù)據(jù)表

由統(tǒng)計學(xué)理論知，表載射程X*是μ0的一個估值，因此，有

在文獻(xiàn)［3］中作者詳細(xì)討論了式（5）的估計效果問題，指出只有當(dāng)m較大時才有較好的估計精度，當(dāng)m較小時將其修正為

由式（6）可以求出B2的方差為

其中，η為巴爾坎系數(shù)（具體結(jié)果見文獻(xiàn)［4］），這一結(jié)果被靶場使用至今。

另外，由式（1）有

將式（8）、式（9）聯(lián)立有

解式（10）即可求得未知參數(shù)v0，S0值。

至此，就完全確定了μ，B2的單個先驗(yàn)分布，由于μ，B2是相互獨(dú)立的，因此，容易求出μ，B2的聯(lián)合先驗(yàn)分布為

這一結(jié)果描述了驗(yàn)前試驗(yàn)數(shù)據(jù)的特征，包含了驗(yàn)前數(shù)據(jù)全部有用的信息。

2 基本原理

上述先驗(yàn)分布的確定為Bayes理論在射表編擬方法中的應(yīng)用創(chuàng)造了條件。對給定的射角θi，假定本次射表試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)化后獲得的樣本為，樣本均值和樣本離差平方和分別為

表2 當(dāng)前信息數(shù)據(jù)表

表2即是編擬射表最基本的數(shù)據(jù)。當(dāng)其他試驗(yàn)條件給定時，這些數(shù)據(jù)的精度取決于射表試驗(yàn)的樣本量n。

為了進(jìn)一步提高這些基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的精度，將驗(yàn)前信息融合到射表試驗(yàn)中，因?yàn)樾畔⒌脑黾拥葍r于增加樣本量。

又由式（12）可以求出μ的后驗(yàn)邊緣密度為

同樣由式（12）可以求得B2的后驗(yàn)邊緣密度為

依Bayes理論，μ，B2的后驗(yàn)期望估計為

由式（17）可得

即μ，B的估值為

表3 驗(yàn)后信息數(shù)據(jù)表

這里特別強(qiáng)調(diào)，表3應(yīng)用Bayes統(tǒng)計理論把當(dāng)前的射表試驗(yàn)數(shù)據(jù)和歷史數(shù)據(jù)融合成了一體。經(jīng)典的射表編擬方法是以表2為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的，現(xiàn)在可以將表3作為編擬射表的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。顯然，表3所含信息量大于表2的信息量，以此編擬射表必然在同一射表精度要求下，減少當(dāng)前射表試驗(yàn)次數(shù)，或在相同試驗(yàn)次數(shù)下提高射表精度。

3 編擬方法

如何用表3的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)編擬射表需要解決的主要問題有以下幾個方面。

3.1 符合計算問題

3.2 編擬計算問題

射表基本諸元和修正諸元的編擬計算基本上與現(xiàn)行方法相同，不同的是公算偏差需采用式（19）進(jìn)行編擬計算。

3.3 用彈量的確定問題

射表試驗(yàn)前，首先要確定試驗(yàn)樣本量，在Bayes統(tǒng)計理論下的射表用彈量與傳統(tǒng)用彈量有所不同，那么如何確定Bayes統(tǒng)計理論下的射表用彈量？可從μ的后驗(yàn)邊緣密度入手，依式（14），μ的后驗(yàn)邊緣密度為

故變量的密度函數(shù)為

這恰是中心t（v1）分布的密度函數(shù)，即

因此，給定可信水平1-α，以v1查t分布表得tα/2，使得

可得μ的可信水平為1-α的后驗(yàn)區(qū)間估計為

若給定雙向規(guī)定的允許偏差量ε，則有

對式（20）求n，即可求得確定用彈量的計算公式

事實(shí)上，n0為驗(yàn)前信息樣本量，可由歷史資料中獲取，v0已由式（10）求出，S1可由驗(yàn)前密集度等試驗(yàn)數(shù)據(jù)估計，依文獻(xiàn)［1］，，對普通榴彈，另外，tα/2未知，可先給出一近似值，由“試差法”調(diào)整tα/2值求樣本量n。

至此，應(yīng)用Bayes理論編擬射表的基本問題已全部解決，其他則和傳統(tǒng)射表編擬的做法完全一致，這里不再贅述。

4 實(shí)例與分析

下面給出兩個實(shí)例，說明在Bayes統(tǒng)計理論下射表中最基本諸元射程、公算偏差及用彈量的計算方法，并對其結(jié)果給予分析。

例1從某榴彈炮定型試驗(yàn)結(jié)果中得θ0=30°時，縱向公算偏差為X=35，試驗(yàn)驗(yàn)本量為N=12，標(biāo)準(zhǔn)化射程為*=10 200，今正式射表試驗(yàn)共3組，每組7發(fā)，總用彈量為n=21，求得離差平方和為S=70 337，平均標(biāo)準(zhǔn)化射程為=10 250，按Bayes方法求射表中的基本諸元射程XN及公算偏差BX。

解：①求S0，v0

依式（10）有

依式（19）得BX=43.2

在射表中，最重要的諸元是XN，射表精度主要是指XN的精度。現(xiàn)對XN的表達(dá)式兩邊求方差得

故采用Bayes理論后，將原射表精度由0.3%提高至0.233%，即精度提高約22%。

由于驗(yàn)前信息量在每一試驗(yàn)中是不同的，因此，精度的提高是隨驗(yàn)前信息量不同而變化的，應(yīng)具體情況具體分析。

例2從某加農(nóng)炮配殺爆榴彈的定型試驗(yàn)結(jié)果中得θ0=35°時，n0=14，*=25 000，X=63，今擬編擬正式射表，求用彈量n。

解：先求v0，S0，依題意有

解得v0=8 S0=52 353.7

對加農(nóng)炮配榴彈，精度要求為［1］

故

顯然，當(dāng)在同一射表精度要求下，即精度要求為0.25%X時，按原來的方法需射擊21發(fā)，當(dāng)采用Bayes理論后，只需射擊9發(fā)即可，節(jié)省彈藥57%。

5 結(jié)論

全面系統(tǒng)地闡述了Bayes統(tǒng)計理論下的射表編擬方法，詳細(xì)講述了應(yīng)用該方法需解決的幾個難點(diǎn)問題：①驗(yàn)前信息的處理；②符合計算方法；③編擬計算方法；④用彈量的確定方法。

該方法由于應(yīng)用了驗(yàn)前信息，擴(kuò)大了數(shù)據(jù)量，從而達(dá)到了在相同精度要求下節(jié)省用彈量或在相同用彈量下提高射表精度的目的，有很好的經(jīng)濟(jì)適用價值和推廣應(yīng)用價值。

［1］閆章更，祁載康.射表編擬技術(shù)［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2000.

［2］閆雪梅，文艷，邱叢禮.射程與密集度分組試驗(yàn)的Bayes估計［J］.彈道學(xué)報，2006，18（2）：80-83.

［3］茆詩松.貝葉斯統(tǒng)計［M］.北京：中國統(tǒng)計出版社，1999.

［4］巴爾坎（蘇）.彈藥靶場試驗(yàn)法［M］.北京：總后勤部軍械部，1956.

Compilation of Firing Tables Methods Based on Statistical Theory of Bayes

YAN Xue-mei，WEN Yan，HE Bin
（China Huayin Ordnance Test Center，Huayin 714200，China）

The compilation of firing tables methods based on statistical theory of Bayes is elaborated comprehensively and systematically.Several key challenges are studied detailedly，including dealing with prior information，fitting computation，compilation computation and determining the projectile consuming number，and the formulae are deduced to solve the unknown parameters of the prior distribution estimations，the posterior estimation of the firing table basic parameters，the projectile_consuming in the firing table test.The specific usages are demonstrated in detail by two examples，its results are analyzed.Results show that test ammunitions can be reduced under the same accuracy or the compilation of firing tables accuracy can be improved under the same test ammunitions by the method created in this paper，with strong economy serviceability.

prior distribution，posterior distribution，compilation of firing tables，sample size，Bayes

TJ012.3

A

1002-0640（2017）05-0121-05

2016-03-16

2016-05-18

閆雪梅（1968- ），女，陜西白水人，碩士，高級工程師。研究方向：外彈道及數(shù)理統(tǒng)計。