含初始撓度加筋板的極限承載能力分析

劉春正，吳 梵，牟金磊

(海軍工程大學(xué) 艦船工程系，湖北 武漢 430033)

含初始撓度加筋板的極限承載能力分析

劉春正，吳 梵，牟金磊

(海軍工程大學(xué) 艦船工程系，湖北 武漢 430033)

艦船長期服役，甲板結(jié)構(gòu)易產(chǎn)生初始撓度變形，這會(huì)對(duì)甲板承載能力帶來不利影響。加筋板作為船體甲板結(jié)構(gòu)的主要構(gòu)成單元，研究初始撓度變形對(duì)其極限承載力的影響具有重要意義。為了確定初始撓度變形對(duì)加筋板極限承載力的影響作用，根據(jù)實(shí)際情況假設(shè)初始撓度為雙三角級(jí)數(shù)形式，利用 Ansys 計(jì)算分析了整體初始撓度的幅值與半波數(shù)對(duì)極限載荷的影響和典型位置的應(yīng)力特性，并得到初始撓度對(duì)加筋板極限載荷的影響因子計(jì)算方法。計(jì)算結(jié)果分析表明，隨著初始撓度的幅值和半波數(shù)的增加，加筋板極限承載力逐漸減??；對(duì)于含有某種初始撓度的加筋板，其影響因子主要受加筋板的長寬比、厚度和加強(qiáng)筋間距等因素的影響。

初始撓度；加筋板；極限承載力；應(yīng)力特性；影響因子

0 引 言

隨著我國造船業(yè)迅速發(fā)展，許多新式艦船紛紛建造下水，對(duì)長期服役的老舊艦船船體結(jié)構(gòu)技術(shù)狀態(tài)的鑒定工作也逐漸開啟，對(duì)艦船結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的校核是技術(shù)狀態(tài)鑒定的重要組成部分。甲板作為艦船的重要結(jié)構(gòu)之一，對(duì)甲板結(jié)構(gòu)極限承載能力的分析是對(duì)艦船結(jié)構(gòu)強(qiáng)度評(píng)估的重要組成內(nèi)容。

加筋板被廣泛應(yīng)用于許多工程結(jié)構(gòu)中，它大大提高了板的承載能力[1]。加筋板結(jié)構(gòu)為船體甲板結(jié)構(gòu)的基本構(gòu)件，其承載能力直接影響整體結(jié)構(gòu)的極限承載能力。艦船在中垂?fàn)顟B(tài)時(shí)甲板板架受總縱彎曲軸向壓力，甲板板架是距離中和軸最遠(yuǎn)的主船體受壓結(jié)構(gòu)，所受的軸向壓力最大，只有保證甲板的承載能力，才能保證艦船整體結(jié)構(gòu)的安全性。加筋板作為船體甲板的主要結(jié)構(gòu)單元，研究其受壓狀態(tài)下的極限承載能力十分必要。一般地，受到軸向壓力作用的加筋板的可能破壞模式包括：總體屈曲后的總體破壞；加強(qiáng)筋之間的板格局部屈曲后引起的總體破壞；加強(qiáng)筋（無轉(zhuǎn)動(dòng)）局部屈曲或屈服后引起的總體破壞；加強(qiáng)筋彎扭屈曲（側(cè)屈），整個(gè)加筋板隨之喪失承載能力；加筋板的整體屈服[2]。

水面艦船在長期使用過程中，船體加筋板結(jié)構(gòu)由于各種載荷的作用，會(huì)產(chǎn)生撓度變形，對(duì)后續(xù)載荷而言，這種撓度變形在加載之前就已經(jīng)產(chǎn)生，故稱為初始撓度。初始撓度對(duì)加筋板的極限承載能力會(huì)產(chǎn)生不利影響。因此，在加筋板的極限承載能力分析中，考慮初始變形等因素的影響，具有重要的工程意義。

國內(nèi)外考慮初始撓度影響下，對(duì)加筋板極限強(qiáng)度的研究比較多。Ueda 等[3]推導(dǎo)了受雙軸壓應(yīng)力、剪應(yīng)力，并考慮初始變形和焊接殘余應(yīng)力情況下，板有效寬度的計(jì)算公式；Paik 等[4]考慮焊接導(dǎo)致的初始變形，對(duì)加筋板進(jìn)行了非線性屈曲分析；萬育龍等[5]分析了考慮多種應(yīng)力組合模式及局部、整體初始缺陷組合模式下的加筋板的極限強(qiáng)度，歸納出了適用于 CSR-OT加筋板屈曲和極限強(qiáng)度計(jì)算的替代方法；羅剛等[6]研究了不同外力工況下加筋板極限強(qiáng)度的響應(yīng)特點(diǎn)，過程中考慮了加筋板初始撓度的作用。這些研究雖然都考慮了初始撓度的影響作用，但都只是考慮了焊接產(chǎn)生的初始撓度，并且在有限元計(jì)算中，直接取一階失穩(wěn)模態(tài)作為加筋板的初始撓度模式，沒有考慮初始撓度的具體形態(tài)對(duì)加筋板承載能力的影響。本文從初始撓度的具體形態(tài)出發(fā)，計(jì)算含初始撓度加筋板在加強(qiáng)筋方向單向受壓情況下的極限強(qiáng)度；考慮初始撓度幅值和半波數(shù)對(duì)加筋板極限承載力的影響，提出了計(jì)算公式修正系數(shù)；并研究分析了含初始撓度加筋板典型位置剖面的應(yīng)力分布特性以及初始撓度對(duì)加筋板破環(huán)模式的影響。

1 含初始撓度加筋板的穩(wěn)定性分析

1.1 模型建立

本文根據(jù)某艦船的甲板結(jié)構(gòu)，選取甲板典型位置處的某一加筋板作為研究對(duì)象。該加筋板具有 6 條縱向加強(qiáng)筋，板尺寸 a × b 為 1 500 mm × 2 800 mm，加強(qiáng)筋間距 s = 400 mm，加強(qiáng)筋均為角鋼，角鋼尺寸為。

研究中，利用有限元分析軟件 Ansys，根據(jù)加筋板的具體尺寸，建立合適的有限元模型，如圖 1 所示。采用 shell181 單元，單元長度在 20 ～ 30 mm 之間，計(jì)算中假定板的材料是理想彈塑性，彈性模量 E = 2.1 × 105MPa，泊松比 ν = 0.3。

加筋板的邊界條件定義為四邊簡(jiǎn)支，具體定義方法可以參照相關(guān)文獻(xiàn)[7]：

1）加筋板的四周邊界限制法向位移 Uz= 0，即為z 方向簡(jiǎn)支；

2）長度方向兩端 AB，CD 邊（x = 0和 x = a 處）限制轉(zhuǎn)角位移 Rx= Rz= 0，即可沿 y 方向自由轉(zhuǎn)動(dòng)；寬度方向兩端 AD，BC 邊（y = 0 和 y = b 處）限制轉(zhuǎn)角位移 Ry= Rz= 0，即可沿 x 方向自由轉(zhuǎn)動(dòng)；

3）AB，CD 邊線保持沿 x 方向的直邊約束，AD，BC 邊線保持沿 y 方向的直邊約束；

4）AB、CD 邊線中點(diǎn)限制 y 方向位移，即 Uy= 0，AD、BC 邊線中點(diǎn)限制 x 方向位移，即 Ux= 0。

加筋板的外載荷施加方式為在 AB，CD 兩端截面同時(shí)施加軸向壓力為 1 MPa 的集中力載荷，在有限元軟件中轉(zhuǎn)換施加到截面節(jié)點(diǎn)上。

1.2 初始撓度設(shè)計(jì)

初始撓度這種結(jié)構(gòu)上的缺陷可以分為整體和局部2 種形態(tài)。整體初始撓度是指板和加強(qiáng)筋同時(shí)產(chǎn)生撓度變形；局部初始撓度是指僅板產(chǎn)生的撓度變形。初始撓度形態(tài)主要包括兩方面因素，即幅值和半波數(shù)。在較長的跨度范圍內(nèi)，初始撓度是由多個(gè)半波所組成的曲面，而在較短的范圍內(nèi)（2 個(gè)加強(qiáng)筋之間）一般只有一個(gè)半波。船體加筋板初始撓度形態(tài)可以看成由多種半波形式疊加而成，可用如下公式表示：

也有用如下公式來表示焊接作用導(dǎo)致加筋板產(chǎn)生的撓度變形[8]：

式中：w0為初始撓度，mm；wopl為加強(qiáng)筋間板格的最大初始撓度，mm；Boi為初始變形幅值，mm。

加筋板結(jié)構(gòu)的一階屈曲模態(tài)是最容易產(chǎn)生的失穩(wěn)狀態(tài)，對(duì)加筋板的穩(wěn)定性有重要影響。一般認(rèn)為，取一階模態(tài)作為結(jié)構(gòu)的初始缺陷比較合理。本文在考慮初始撓度時(shí)，并不是考慮焊接影響產(chǎn)生的撓度變形，而是考慮長期外載荷作用下產(chǎn)生的撓度變形，這種撓度變形在加載之前就已經(jīng)存在，故稱為初始撓度。根據(jù)艦船甲板實(shí)際情況，假設(shè)初始撓度為：

考慮半波數(shù)對(duì)彈性失穩(wěn)壓力的影響時(shí)，限定 y 方向?yàn)橐粋€(gè)半波，只考慮 x 方向半波數(shù)的影響。

本文擬采用式（3）的初始撓度形式模擬實(shí)際初始撓度情況，來研究整體初始撓度的幅值和半波數(shù)對(duì)加筋板極限承載力的影響。

根據(jù)生產(chǎn)實(shí)踐，當(dāng)強(qiáng)力甲板厚度在 7～10 mm 之間時(shí)，鋼板的絕對(duì)變形量達(dá)到 35 mm 時(shí)，才會(huì)對(duì)鋼板進(jìn)行矯正修復(fù)；從甲板變形測(cè)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看，甲板變形一般在 8 mm 左右。為了使研究更具有實(shí)用性和有效性，本文將初始撓度幅值設(shè)定在 0～30 mm 之間進(jìn)行研究。國內(nèi)關(guān)于甲板板架變形的半波數(shù)測(cè)量研究內(nèi)容較少，國外有針對(duì)船廠建造中船體變形情況測(cè)量的研究[9]，初始撓度半波數(shù)一般在 3 個(gè)以內(nèi)。本文根據(jù)初始撓度實(shí)際情況，決定最多取 6 個(gè)半波作為研究對(duì)象。

在有限元軟件 Ansys 中，可以通過對(duì)各個(gè)節(jié)點(diǎn)施加具體的法向位移來實(shí)現(xiàn)初始撓度的設(shè)計(jì)。圖 2 所示為具有 1 mm 幅值、一個(gè)半波初始撓度的加筋板。

2 含初始撓度加筋板極限承載應(yīng)力特性分析

當(dāng)計(jì)算模型不具有初始撓度時(shí)，計(jì)算所得極限載荷 σult為 234.978 MPa。通過不斷改變初始撓度的幅值和半波數(shù)，計(jì)算相應(yīng)的極限載荷，計(jì)算數(shù)據(jù)見表 1。

2.1 初始撓度幅值對(duì)加筋板極限載荷的影響

根據(jù)計(jì)算數(shù)據(jù)可以繪制出極限載荷與初始撓度幅值的關(guān)系圖，從而可以判定，在某一半波數(shù)情況下，極限載荷隨初始撓度幅值的變化規(guī)律。為了更加方便比較不同半波數(shù)的初始撓度情況下，極限載荷隨幅值的變化規(guī)律，將各個(gè)半波數(shù)下的曲線繪制到同一個(gè)坐標(biāo)系下，并考慮將初始撓度幅值和極限載荷轉(zhuǎn)化為無因次量，取初始撓度幅值 f 與加筋板厚度 t 的比值為自變量，取含初始撓度加筋板極限載荷 σ 與不含初始撓度加筋板極限載荷 σult比值作為因變量，如圖 3 所示。

從圖 3 中可以看出，雖然初始撓度的半波數(shù)不同，但是加筋板的極限載荷與初始撓度幅值的變化規(guī)律相似。隨著初始撓度幅值的增大，極限載荷逐漸減小。當(dāng)初始撓度半波數(shù)為 1 和 2 時(shí)，曲線變化近似于一次函數(shù)，極限載荷隨初始撓度幅值的變化率基本保持不變；當(dāng)初始撓度半波數(shù)大于 2 時(shí)，曲線變化近似于指數(shù)函數(shù)，極限載荷的變化率隨初始撓度幅值的增大而減小。從整體來看，比值 σ/σult隨著初始撓度半波數(shù)的增大而減小。

表1 含不同初始撓度加筋板的極限載荷（MPa）Tab. 1 P of the stiffened plate with different initial deflections（MPa）

2.2 初始撓度半波數(shù)對(duì)加筋板極限載荷的影響

由于計(jì)算數(shù)據(jù)較多，考慮初始撓度半波數(shù)對(duì)極限載荷的影響，只選取了含幅值為 5 mm，10 mm，15 mm，20 mm，25 mm 和 30 mm 初始撓度的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，如圖 4 所示。

圖4 顯示了當(dāng)初始撓度幅值不變時(shí)，增加初始撓度的半波數(shù)，加筋板的極限載荷的變化情況。從圖中可看出，不同半波數(shù)的初始撓度情況下，極限載荷的變化規(guī)律相似，載荷都是隨著半波數(shù)的增加而減小。而且隨著初始撓度半波數(shù)的增大，極限載荷的變化率逐漸減小。

2.3 典型剖面的應(yīng)力分布特點(diǎn)

根據(jù)對(duì)中修船體甲板變形的勘驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)可知，船體加筋板出現(xiàn)的初始撓度幅值大部分在 10 mm 左右，具有一個(gè)半波形式，因此只討論含有幅值 10 mm、具有一個(gè)半波初始撓度的加筋板應(yīng)力分布特點(diǎn)。經(jīng)過有限元計(jì)算，當(dāng)含有一個(gè)半波、幅值 10 mm 初始撓度的加筋板達(dá)到其極限承載力時(shí)，其結(jié)構(gòu)變形云圖如圖 5所示，結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布云圖如圖 6 所示。

從圖 5 和圖 6 可看出，加筋板 X 方向中橫剖面處 變形位移最大，且位移沿 Y 方向具有一定遞變規(guī)律。此剖面也是加筋板初始撓度最大幅值位置，應(yīng)力分布具有代表性。因此，取加筋板中橫剖面的節(jié)點(diǎn)，觀察其應(yīng)力分布情況，如圖 7 所示。

圖7 顯示了當(dāng)初始撓度為一個(gè)半波時(shí)，不同撓度幅值下的加筋板中橫剖面的應(yīng)力分布情況。從圖 7 中可以看出，與不含初始撓度加筋板的應(yīng)力分布（圖形比例導(dǎo)致分布規(guī)律顯示為一條直線）相比，含初始撓度的加筋板中剖面的應(yīng)力水平成曲線變化，應(yīng)力分布成 U字型。中間部分所受合應(yīng)力較小，邊界附近所受的合應(yīng)力較大，應(yīng)力整體變化規(guī)律是由中間向兩邊逐漸增大。隨著初始撓度加筋板幅值增大，中橫剖面處應(yīng)力水平整體降低，且兩側(cè)邊界處應(yīng)力水平下降速率較大。

選取中橫剖面中變形位移最大點(diǎn)，即含初始撓度加筋板達(dá)到極限承載力時(shí)的位移最大點(diǎn)，繪制該點(diǎn)的載荷位移曲線，以反映節(jié)點(diǎn)在加載過程中的位移變化，如圖 8 所示。從圖 8 可看出，隨著初始撓度的增大，極限承載點(diǎn)降低，到達(dá)極限承載點(diǎn)的位移逐漸變大，曲線的變化率逐漸降低，趨于平緩。這說明對(duì)于初始撓度幅值較大的加筋板，在加載過程中更容易產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形，更容易達(dá)到極限承載點(diǎn)。

3 初始撓度影響因子確定

由計(jì)算可知，含初始撓度加筋板的極限載荷與不 含初始撓度加筋板的極限載荷存在一定差距。后者與前者差值反映了初始撓度對(duì)加筋板極限載荷的影響，因此定義兩者差值與后者的比值的絕對(duì)值為影響因子λ（0 ＜ λ ＜ 1），即

參考相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)含有初始缺陷的加肋圓柱殼理論失穩(wěn)壓力修正系數(shù)研究的相關(guān)方法[10–11]，可以首先初步假設(shè)影響因子與加筋板的長寬比、板厚、加強(qiáng)筋間距等幾何尺寸有關(guān)，然后分析含初始撓度加筋板極限載荷與各主要尺寸參數(shù)的關(guān)系，計(jì)算模型是利用一節(jié)的有限元模型作為基礎(chǔ)，進(jìn)行相應(yīng)的參數(shù)改變。下面將討論含有幅值 10 mm、一個(gè)半波初始撓度的加筋板的影響因子。

3.1 加筋板長寬比與影響因子的關(guān)系

根據(jù)相關(guān)對(duì)船體加筋板尺寸的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)[12]，船體加筋板板長 a 與加強(qiáng)筋間距 s 的比值應(yīng)該滿足關(guān)系：2 ≤a/s ≤ 6。因此，控制加強(qiáng)筋間距不變，通過改變加筋板的長度 a 來改變加筋板的長寬比 a/b。

已知加筋板計(jì)算模型加強(qiáng)筋間距 s = 400 mm，具有 6 根加強(qiáng)筋，加筋板寬度 b = 2 800 mm，所以加筋板長度取值范圍為 800 ≤ a ≤ 2 400，均勻取值：800 mm，1 000 mm，1 200 mm，1 400 mm，1 600 mm，1 800 mm，2 000 mm，2 200 mm，2 400 mm。經(jīng)過計(jì)算可以得到影響因子如表 2?？梢詫⒈?2 數(shù)據(jù)放在直角坐標(biāo)系中顯示，如圖 9 所示。

從圖 9 可看出，隨著加筋板長寬比 a/b 增大，影響 因子 λ 逐漸增大，且近似成二次函數(shù)規(guī)律變化。利用Matlab 可以擬合二次函數(shù)表達(dá)式：

表2 λ 隨加筋板長寬比 a/b 的變化Tab. 2 λ varies with a/b

擬合函數(shù)數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)最大誤差在 0.5% 以內(nèi)，符合工程要求，擬合函數(shù)符合實(shí)際情況。由變化規(guī)律可知，當(dāng)加筋板長寬比 a/b 增大時(shí)，加筋板初始撓度對(duì)其極限載荷影響增大。在滿足鋼板材料充分利用和結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的情況下，應(yīng)盡量縮小加筋板的長寬比，以保持加筋板產(chǎn)生撓度變形時(shí)，其對(duì)加筋板極限承載力的影響較小。利用式（5）可以計(jì)算確定其最小值，在最小值附近選取合適的長寬比數(shù)值，從而將初始撓度的影響降到最低。

3.2 加筋板厚度與影響因子的關(guān)系

船用加筋板的厚度一般在 8 mm 左右，對(duì)于特殊的大型船舶和軍船，加筋板的厚度可能會(huì)超過 10 mm。因此，加筋板的厚度在 5 ～ 14 mm 之間均勻取值進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見表 3。為了保持變量為無量綱因子，將加筋板厚度 t 與加筋板寬度 b 的比值作為因變量。將計(jì)算結(jié)果繪制成圖，如圖 10 所示。

從圖 10 可看出，當(dāng)板厚較小時(shí)，隨著加筋板 t/b增大，影響因子 λ 逐漸減小，且近似成一次函數(shù)規(guī)律變化；當(dāng)板厚增大到一定厚度，影響因子開始逐漸增大，但是增加幅度非常小，可忽略不計(jì)。所以，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，增加板厚不僅可以保證結(jié)構(gòu)強(qiáng)度要求，而且可以減小初始撓度對(duì)加筋板極限承載力的影響。

3.3 加強(qiáng)筋間距與影響因子的關(guān)系

考慮加強(qiáng)筋間距對(duì)影響因子 λ 的影響，對(duì)加強(qiáng)筋間距的控制，主要是通過改變加強(qiáng)筋的數(shù)量來實(shí)現(xiàn)，即保持加筋板的寬度 b 保持不變。因此，加筋板數(shù)量取 4 ～ 9 進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見表 4。為了保持變量為無量綱因子，將加強(qiáng)筋間距 s 與加筋板寬度 b 的比值作為因變量。將計(jì)算結(jié)果繪制成圖，如圖 11 所示。

從圖 11 可看出，當(dāng)加強(qiáng)筋間距較小時(shí)，影響因子隨其變化不明顯，近似為一條平行線；隨著加強(qiáng)筋間距增大，影響因子 λ 逐漸增大，且增大速率也逐漸增大。即當(dāng)加強(qiáng)筋數(shù)量較小時(shí)，影響因子數(shù)值較高，加筋板的極限承載力易受初始撓度影響。對(duì)于密加筋板（加強(qiáng)筋數(shù)量 n ≥ 6），影響因子可以保持較小的數(shù)值，且此時(shí)加強(qiáng)筋數(shù)量對(duì)影響因子變化影響較小。所以在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)用密加筋板設(shè)計(jì)合適的加強(qiáng)筋數(shù)量，更有利于減小初始撓度對(duì)加筋板極限承載力的影響。

表3 λ 隨 t/b 的變化規(guī)律Tab. 3 λ varies with t/b

表4 λ 隨 s/b 的變化規(guī)律Tab. 4 λ varies with s/b

4 結(jié) 語

本文利用非線性數(shù)值計(jì)算方法，對(duì)含有初始撓度的加筋板在軸向壓力作用下的極限承載力進(jìn)行了非線性分析，并得到以下結(jié)論：

1）初始撓度對(duì)加筋板的極限承載力影響較大，且隨著初始撓度的幅值和半波數(shù)的增大，加筋板的極限承載能力會(huì)逐漸降低，在加筋板長期使用過程中，應(yīng)盡量減小其撓度變形的幅值和半波數(shù)；

2）與不含有初始撓度的加筋板相比，當(dāng)達(dá)到結(jié)構(gòu)的極限承載力時(shí)，含初始撓度加筋板中橫剖面內(nèi)的應(yīng)力分布成 U 字型，中間應(yīng)力水平最低，依次向邊界方向逐漸增大；

3）含初始撓度加筋板影響因子與加筋板的長寬比、板厚和加強(qiáng)筋間距有關(guān)；為了減小初始撓度對(duì)加筋板極限承載力的影響，可以在設(shè)計(jì)過程中，適當(dāng)減小加筋板的長寬比和加強(qiáng)筋間距，增大板厚。

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The ultimate bearing capacity analysis of the stiffened plate with initial deflection

LIU Chun-zheng, WU Fan, MU Jin-lei
(Naval University of Engineering, Department of Naval Architecture, Wuhan 430033, China)

The initial deflection existed on the deck of the surface warship at long service and it brought bad effects on the bearing capacity. Study on the effect of initial deflection on the stiffened plate was meaningful since it was the main unit of the deck. For the research, the mode of the initial deflection was regarded as the double trigonometric series based on the practical truth and the effect of the amplitude and the number of half-waves on the critical stress entirely was analyzed by computing with Ansys. The stress state of the typical location was also discussed. The impact factor of the initial deflection was obtained. Results indicate that with the increasing of amplitude and the number of half-waves, the critical stress decreases. For the stiffened plate with one kind of initial deflection, the impact factor is up to the length-width ratio, the thickness of the stiffened plate and the space between stiffeners.

initial deflection；stiffened plate；ultimate bearing capacity；stress state；impact factor

U663.6

A

1672–7619(2017)05–0010–06

10.3404/j.issn.1672–7619.2017.05.003

2016–07–11；

2016–08–22

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51309231)

劉春正(1991–)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)榇敖Y(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)。