說說值域的求解方法

摘要：求函數(shù)的值域方法很多，但需要通過觀察函數(shù)的形式來尋找合適的方法，因此對應函數(shù)形式選擇恰當?shù)姆椒▌t能很輕松求出函數(shù)值域.

關(guān)鍵詞：值域；函數(shù)；方法

作者簡介：周文國（1971-），男，江蘇蘇州市張家港人，本科，中學高級教師，蘇州市名師，主要從事高中數(shù)學教學研究.

若集合A是函數(shù)y=f（x）的定義域，則對于集合A中的每一個x，都有一個輸出值y與之對應，則我們將所有的輸出值y組成的集合稱為函數(shù)的值域.求函數(shù)的值域的常見方法有以下幾種：

一、觀察法

對于一些簡單的解析式或者是可以進行簡單變形的解析式，則可利用熟知函數(shù)的值域求出其值域.

例1求下列函數(shù)的值域：（1）y=2x+1，x∈{1，2，3，4，5}；（2）y=x+1.

分析上述兩個問題可直接通過觀察法來求出其值域.

解（1）由于x∈（1，2，3，4，5），將x的取值代入函數(shù)解析式，則得到函數(shù)的值域為y∈（3，5，7，9，11）；

（2）由于x≥0，則x+1≥1，則得到函數(shù)的值域為{y|y≥1}.

點評一般在函數(shù)的形式比較直觀的情況下，則往往可以通過觀察法求出函數(shù)的值域.

二、換元法

對于形如y=ax+b+cx+d的函數(shù)，在求其值域時則常常用換元法，可令t=cx+d，再將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，再運用簡單的初等函數(shù)方法進行解答.

例2求函數(shù)y=x+2x-1的值域.

分析本題可用代換法將2x-1看作整體，并令u=2x-1，然后求出u的范圍，將問題轉(zhuǎn)化為u的二次函數(shù).

解令u=2x-1，則u≥0，此時x=u2+12，

∴y=u2+12+u=12（u+1）2≥12.

∴ 函數(shù)的值域為12，+∞.

點評換元法適用于y=ax+b+cx+d的函數(shù)，在使用該方法時則要先觀察函數(shù)的特點.

三、分離常數(shù)法

對于分式類型的函數(shù)，可采用的方法比較多，下面舉例的是利用分離常數(shù)法來解決.分離常數(shù)就是把分子分母中都有的未知數(shù)變成只有分子或者只有分母的情況，由于分子分母中都有未知數(shù)與常數(shù)的和，所以一般來說我們分拆分子，這樣把分子中的未知數(shù)變成分母的倍數(shù)，然后就只剩下常數(shù)除以一個含有未知數(shù)的式子.

例3求函數(shù)y=3x+2x-1的值域.

分析本題是分式形式，且指數(shù)都為一次，則可以采用分離常數(shù)的辦法來求解.

解∵y=3x+2x-1=3（x-1）+5x-1=3+5x-1≠3，

∴該函數(shù)的值域為{y|y≠3，y∈R}.

點評對于一次型的分式函數(shù)求其值域，采用分離常數(shù)法則能容易解決問題.

四、判別式法

對于形如y=ax2+bx+cdx2+cx+f以及y=ax+b±cx2+dx+e的函數(shù)可以化為關(guān)于x的二次方程，因為該方程有實數(shù)解，所以判別式大于或者等于零來求得函數(shù)的值域.

例4求函數(shù)y=12x2-3x+1的值域.

分析本題可將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用一元二次方程有實數(shù)根時判別式Δ≥0則可得到關(guān)于y的不等式來解答.

解易得所給函數(shù)的定義域是x≠1且x≠12，把原函數(shù)變形得：2yx2-3yx+y-1=0，

（1）若y=0，易知無對應的x值；

（2）若y≠0，由于x是實數(shù)，故關(guān)于x的判別式：Δ=（3y）2-8y（y-1）≥0，解之得：y>0或y≤-8，故其值域為{y|y>0或y≤-8}.

點評對于含二次型的分式函數(shù)一般可轉(zhuǎn)化為判斷一元二次方程有解的問題則比較方便.

五、配方法

一般地說，對于二次函數(shù)型的解析式求值域基本方法是通過配方法.

例5求函數(shù)y=2x-5+15-4x的值域.

分析本題可先設t=15-4x，當然這里要注意t的范圍為t≥0，再將問題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù).

解令t=15-4x（t≥0），則t2=15-4x，得到x=14（15-t2），代入函數(shù)關(guān)系式同時化簡得到y(tǒng)=-12t2+t+52（t≥0），可以得到y(tǒng)=-12（t-1）2+3（t≥0）.

當t=1時，ymin=3，所以函數(shù)的值域為{y|y≤3}.

點評配方法的使用范圍是一元二次函數(shù)或者是可以轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的問題，如y=ax+b+cx+d或y=ax2+bx+c（a≠0）的問題都可用該方法.

六、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法是用幾何圖形的方法來表示題設條件函數(shù)關(guān)系式，再通過直觀的圖形來求解得到函數(shù)的值域.

例6已知函數(shù)y=x2-4x+6，求當x∈[1，5]時該函數(shù)的值域.

分析本題是給定區(qū)間上一元二次函數(shù)的值域問題，結(jié)合圖像更能直觀的求出該函數(shù)的值域.

解將函數(shù)y=x2-4x+6配方得到y(tǒng)=（x-2）2+2，再畫出該函數(shù)在x∈[1，5]的圖像，則由圖1可以知道當x=2，函數(shù)ymin=2；當x=5時，函數(shù)ymax=11.

點評數(shù)形結(jié)合的作用是先關(guān)注函數(shù)的定義域，再從圖中尋找出函數(shù)的值域，不容易出現(xiàn)錯誤.

上面對求函數(shù)值域（最大、最小值）的一些方法和技巧作了一些歸納和整理，當然隨著后面相關(guān)知識的學習，求值域的方法還有更多，關(guān)鍵要能會探索規(guī)律，總結(jié)方法，從而提高分析問題和解決問題的能力.