圓盤模型的拓展分析

鄭行軍

摘要：圓盤問題是圓周運(yùn)動(dòng)一個(gè)重要的物理模型，圓盤模型分析可以很好的考查運(yùn)動(dòng)參量的關(guān)系、動(dòng)力學(xué)規(guī)律和功能關(guān)系等綜合問題.本文借助物理模型化思維，以圓盤基本模型為基礎(chǔ)，以中學(xué)物理需要掌握的知識(shí)結(jié)構(gòu)為導(dǎo)向，構(gòu)建試題中可能的命題方向和解題策略，引導(dǎo)學(xué)生理清物體運(yùn)動(dòng)過程中各個(gè)參量之間的關(guān)系，深化其內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)圓盤問題學(xué)習(xí)的進(jìn)階發(fā)展.

關(guān)鍵詞：圓盤；圓周運(yùn)動(dòng)；動(dòng)力學(xué)；動(dòng)態(tài)分析；臨界

圓盤問題是圓周運(yùn)動(dòng)題型中一個(gè)很重要的物理模型，它不僅考查了圓周運(yùn)動(dòng)參量的關(guān)系、動(dòng)力學(xué)規(guī)律和離心運(yùn)動(dòng)問題，還往往涉及臨界問題.本文就中學(xué)階段幾種常見的圓盤模型進(jìn)行整理歸類，希望能有一個(gè)比較清晰的認(rèn)識(shí).

一、基本物理模型詮釋

1.結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：如圖1 所示，在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上距轉(zhuǎn)軸為r 處放一質(zhì)量為m 的物體，物體與轉(zhuǎn)臺(tái)之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，隨同轉(zhuǎn)臺(tái)一起以角速度ω 轉(zhuǎn)動(dòng).

2.動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)：

（1）物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)靜止一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng).

物塊所受重力與支持力平衡，轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)物體的靜摩擦力提供物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，靜摩擦力f方向指向圓心，有f=mv2r=mω2r，f≤fm（最大靜摩擦力）是物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)保持相對(duì)靜止的條件.

（2）若物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)靜止做變速圓周運(yùn)動(dòng)

物塊所受靜摩擦力除了提供所需向心力，必須沿切線方向有力的作用，改變物塊速度大小，因此靜摩擦力一個(gè)分力指向圓心，沿切線方向分力不為零，兩分力合力為靜摩擦力，所以靜摩擦力方向一定不指向圓心.

若轉(zhuǎn)臺(tái)加速轉(zhuǎn)動(dòng)，摩擦力方向如圖2（甲）所示；若轉(zhuǎn)臺(tái)減速轉(zhuǎn)動(dòng)，摩擦力方向如圖2（乙）所示.

例1如圖3所示，小木塊a、b和c （可視為質(zhì)點(diǎn)）放在水平圓盤上，a、b木塊質(zhì)量均為m，c的質(zhì)量為m2.a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為l，b、c與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為2l且均處于水平圓盤的邊緣.木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g，若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，下列說法正確的是（）

A.b、c所受的摩擦力始終相等，故同時(shí)從水平圓盤上滑落

B.當(dāng)a、b和c均未滑落時(shí)，a、c所受摩擦力的大小相等

C.b和c均未滑落時(shí)線速度大小一定相等

D.b開始滑動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)速是2kgl

解析由f=mω2r，b、c一起運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的靜摩擦力不相等，木塊開始滑動(dòng)時(shí)，最大靜摩擦力提供向心力，kmg=mω20r得臨界角速度ω0=kgr，故b、c同時(shí)從水平圓盤上滑落，A錯(cuò)誤；當(dāng)a、b和c均未滑落時(shí)，木塊所受的靜摩擦力f=mω2r，ω相等，f∝mr，所以a、c所受的靜摩擦力相等，都小于b的靜摩擦力，故B正確；b和c均未滑落時(shí)線速度v=rω大小一定相等，故C正確；以b為研究對(duì)象，由牛頓第二定律得：f=2mω2l=kmg，轉(zhuǎn)速n=ω2π可解得：n=12πkg2l，D錯(cuò)誤.故選：BC.

二、模型拓展歸類探析

1.疊放型圓盤模型

模型解讀：如圖4所示，兩物體A、B疊放在一起隨盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，對(duì)上物體A研究，由B對(duì)A的摩擦力提供向心力f1=mAω2r；對(duì)下物體B研究，則由盤對(duì)B的摩擦力和A對(duì)B的摩擦力的合力提供向心力f2-f1=mBω2r；由于兩物體始終相對(duì)靜止，具有共同的角速度，故也可利用整體法和隔離法分析求解.

例2如圖5所示，粗糙水平圓盤上，質(zhì)量相等的A、B兩物塊疊放在一起，隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)物體間最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等，則下列說法中正確的是（）

A.B的向心力是A的向心力的2倍

B.盤對(duì)B的摩擦力是B對(duì)A的摩擦力的2倍

C.A、B都有沿半徑向外滑動(dòng)的趨勢

D.增大轉(zhuǎn)速，若B先滑動(dòng)，則B對(duì)A的動(dòng)摩擦因數(shù)μA小于盤對(duì)B的動(dòng)摩擦因數(shù)μB

解析根據(jù)F向=mω2r，因?yàn)閮晌飰K的角速度大小相等，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑相等，質(zhì)量相等，則向心力相等，A錯(cuò)誤；對(duì)A、B整體分析，fB=2mω2r，對(duì)A分析，fA=mω2r，知盤對(duì)B的摩擦力是B對(duì)A的摩擦力的2倍， B正確；A所受的靜摩擦力方向指向圓心，可知A有沿半徑向外滑動(dòng)的趨勢，B受到盤的靜摩擦力方向指向圓心，有沿半徑向外滑動(dòng)的趨勢， C正確；對(duì)A、B整體分析，2μBmg=2mω2Br，解得ωB=μBgr，對(duì)A分析，μAmg=mω2Ar，解得ωA=μAgr，因?yàn)锽先滑動(dòng)，可知B先達(dá)到臨界角速度，可知B的臨界角速度較小，即μB<μA，故D錯(cuò)誤，正確答案為BC.

2.約束型圓盤模型

模型解讀：如圖6所示，由輕繩（輕桿）相連接的物體系統(tǒng)與圓盤一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)轉(zhuǎn)速較小時(shí)，繩子（桿）沒有張力，由靜摩擦力提供向心力，方向都指向圓心；當(dāng)轉(zhuǎn)速較大時(shí)，其中一物體摩擦力達(dá)最大值，繩子（桿）開始出現(xiàn)張力，由摩擦力和張力的合力提供向心力；由于繩（桿）約束，兩物體應(yīng)同時(shí)開始發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，說明此時(shí)都已達(dá)到最大靜摩擦力，由向心力公式即可求得此時(shí)角速度和繩子的張力.

例3如圖7所示，用細(xì)線相連的兩個(gè)質(zhì)量均為m的相同小物塊A和B（可視為質(zhì)點(diǎn)），沿半徑方向放在水平圓盤上，A與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為2l，B與轉(zhuǎn)軸的距離為l，物塊與圓盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力.圓盤靜止時(shí)，細(xì)線處于水平且無張力，若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，則（）

A.A、B兩物體受到的摩擦力方向相反

B.當(dāng)ω=7μg12l時(shí)，細(xì)線張力為μmg6

C.當(dāng)ω=4μg3l時(shí)，兩物體開始滑動(dòng)

D.兩物體開始滑動(dòng)時(shí)，細(xì)線上張力為μmg3

解析A、B都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合外力提供向心力，當(dāng)轉(zhuǎn)速較小時(shí)，繩子沒有張力，A、B都是由靜摩擦力提供向心力，方向都指向圓心，方向相同，故A錯(cuò)誤；當(dāng)ω=7μg12l時(shí)，對(duì)A有：T+μmg=mω2·2l，解得：T=μmg6，故B正確；當(dāng)B開始滑動(dòng)時(shí)，A、B所受靜摩擦力均達(dá)最大，設(shè)此時(shí)細(xì)繩張力為T1：對(duì)A：T1+μmg=mω2·2l，對(duì)B：μmg-T1=mω2l，聯(lián)立解得：ω=2μg3l，T1=μmg3，故C錯(cuò)誤，D正確，正確答案為BD.

例4如圖8所示，水平轉(zhuǎn)臺(tái)上有一個(gè)質(zhì)量為m的物塊，用長為l的輕質(zhì)細(xì)繩將物塊連接在轉(zhuǎn)軸上，細(xì)繩與豎直轉(zhuǎn)軸的夾角θ為π6，此時(shí)繩繃直但無張力，物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=13，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，物塊隨轉(zhuǎn)臺(tái)由靜止開始緩慢加速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω，重力加速度為g，則（）

A.當(dāng)ω=g2l時(shí)，細(xì)線中張力為零

B.當(dāng)ω=3g4l時(shí)，物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)間的摩擦力為零

C.當(dāng)ω=gl時(shí)，細(xì)線的張力為13mg

D.當(dāng)ω=4g3l時(shí)，細(xì)線的張力為43mg

解析當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速比較小時(shí)，物塊只受重力、支持力和摩擦力，當(dāng)繩恰好產(chǎn)生力時(shí)，靜摩擦力達(dá)最大值，此時(shí)μmg=mω21lsinθ，ω1=2g3l，A正確；隨轉(zhuǎn)速增大，細(xì)繩的力增大，當(dāng)物塊恰好要離開轉(zhuǎn)臺(tái)時(shí)，物塊受到重力和細(xì)繩的拉力的作用：mgtanθ=mω22lsinθ，解得：ω2=23g3l，由于ω1<3g4l<ω2，故當(dāng)ω=3g4l時(shí)，物塊轉(zhuǎn)臺(tái)間的摩擦力不為零，B錯(cuò)誤；由于ω113mg，C錯(cuò)誤；當(dāng)ω=4g3l時(shí)，物塊已離開盤面，設(shè)細(xì)線與豎直軸的夾角為α，則mgtanα=mω2lsinα，解得：cosα=34，故T=mgcosα=43mg，D正確.故正確答案為AD.

3.傾斜放置型圓盤模型

模型解讀：如圖9所示，傾斜放置的盤繞軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，靠重力沿圓盤方向的分力以及靜摩擦力的合力提供向心力，由于合力方向要始終指向圓心，故盤上不同位置，靜摩擦力的大小和方向不同，最低點(diǎn)盤對(duì)物體的靜摩擦力最大，力的方向沿盤向上，大小大于重力沿盤方向的分力；最高點(diǎn)盤對(duì)物體的靜摩擦力最小，力的方向可能沿盤向下，可能沿盤向上，也可能靜摩擦力為零，取決于圓盤角速度的大小.

例3如圖10所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小物塊a和b（可視為質(zhì)點(diǎn)），靜止在傾斜的勻質(zhì)圓盤上，圓盤可繞垂直于盤面的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，a到轉(zhuǎn)軸的距離為l，b到轉(zhuǎn)軸的距離為2l，物塊與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為32，盤面與水平面的夾角為30°.設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度大小為g，若a、b隨圓盤以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，下列說法正確的是（）

A.a在最高點(diǎn)時(shí)所受摩擦力可能為0

B.a在最低點(diǎn)時(shí)所受摩擦力可能為0

C.ω=g8l是a開始滑動(dòng)的臨界角速度

D.ω=g8l是b開始滑動(dòng)的臨界角速度

解析若角速度較大，在最高點(diǎn)靠重力沿圓盤方向的分力以及靜摩擦力提供向心力，b的向心力大于a的向心力，則b的靜摩擦力大于a的靜摩擦力，a在最高點(diǎn)的靜摩擦力可能為零，故A正確；在最低點(diǎn)a靠靜摩擦力和重力沿圓盤方向的分力提供向心力，合力指向圓心，則靜摩擦力大于重力沿圓盤方向的分力，故B錯(cuò)誤；在最低點(diǎn)，對(duì)a根據(jù)牛頓第二定律得μmgcos30°-mgsin30°=mlω2，解得a開始滑動(dòng)的臨界角速度ω=g4l，故C錯(cuò)誤；在最低點(diǎn)，對(duì)b根據(jù)牛頓第二定律得μmgcos30°-mgsin30°=m·2lω′2，解得b開始滑動(dòng)的臨界角速度ω=g8l，故D正確.正確答案為AD.

綜上所述，圓盤問題雖然涉及的知識(shí)點(diǎn)很多，分析時(shí)只要牢牢抓住圓周運(yùn)動(dòng)的核心和本質(zhì)，以基本公式為出發(fā)點(diǎn)，以物理模型的特點(diǎn)為導(dǎo)向，把握物理運(yùn)動(dòng)過程的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)、功能特點(diǎn)、臨界狀態(tài)下的信息條件，聯(lián)立方程使問題得解.因此在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意對(duì)圓盤模型規(guī)律的總結(jié)，從而提高解題能力.

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