液體加速運(yùn)動(dòng)時(shí)內(nèi)部壓強(qiáng)如何變化

王偉民

摘要：分別探究裝滿液體的封閉容器和盛放液體的敞口容器加速運(yùn)動(dòng)過程中，液體內(nèi)部壓強(qiáng)的變化規(guī)律，舉例說明這種規(guī)律的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 液體；加速；封閉；敞口；壓強(qiáng)

由于液體自身重力，且具有流動(dòng)性，液體內(nèi)部和側(cè)壁會(huì)“表現(xiàn)”出跟固體不同的壓強(qiáng)特性來——液體不但對(duì)盛放它的容器器壁和底部產(chǎn)生壓強(qiáng)，而且在其內(nèi)部也存在各個(gè)方向上的壓強(qiáng).利用壓強(qiáng)的定義公式p=FS，建立液柱物理模型，可以推出靜止液體內(nèi)部（指相對(duì)于地面保持靜止的液體），距離自由液面深度為h的位置，液體由于具有重力而產(chǎn)生的壓強(qiáng)大小為p=ρgh.

由液體壓強(qiáng)公式p=ρgh可以看出，對(duì)于確定的液體來講，其密度ρ是常量，將g和h作為變量時(shí)，液體內(nèi)部的壓強(qiáng)不僅跟液體的深度有關(guān)，同時(shí)跟重力加速度的大小有關(guān).當(dāng)容器相對(duì)于地面具有某一方向的加速度時(shí)，液體壓強(qiáng)公式p=ρgh中的g會(huì)隨之改變，液體內(nèi)部的壓強(qiáng)也將發(fā)生變化.我們分別探討容器相對(duì)于地面具有各個(gè)不同方向加速度時(shí)，液體內(nèi)部壓強(qiáng)的變化規(guī)律.

1.若容器相對(duì)于地面具有豎直方向上的加速度a，則a與g同向時(shí)，有g(shù)'=g-a，當(dāng)a與g反向時(shí)，有g(shù)'=g+a，此時(shí)，液體內(nèi)部由于液體具有重力而產(chǎn)生的壓強(qiáng)大小為p′=ρg′h.特別的，當(dāng)盛放液體的容器作自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，容器相對(duì)于地面的加速度為重力加速度g，相當(dāng)于g′=0，液體內(nèi)部的壓強(qiáng)為0.在這種情況下，浸沒于液體中的物體，其表面盡管與液體相接觸，但物體各表面卻不受液體的壓力，當(dāng)然也不受液體的浮力.處于完全失重的物體，不論其密度比液體的密度大還是小，都可以懸浮于液體之中相對(duì)于容器保持靜止.

2.若容器相對(duì)于地面具有水平方向上的加速度a，如果是封閉的容器裝滿液體，則液體的形狀不變，除了液體因具有重力使得上下層液體相互擠壓，液體中不同深度的位置壓強(qiáng)不同之外，若將液體沿豎直方向前后分成若干層，當(dāng)液體隨容器向前作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，豎向的每層液體所受前后相鄰兩層液體的平均壓力不等，在液體內(nèi)的同一深度，每層液體的前后面所受液體的壓強(qiáng)也將不再相等.

如圖1所示，一封閉的長(zhǎng)方體容器裝滿液體，將容器中的液體沿豎直方向分成厚度均等的液片，由于每層液片的質(zhì)量相等，隨容器運(yùn)動(dòng)的加速度也相等，由牛頓第二定律可知，各液片前后面所受相鄰兩液片的壓力差相等，所以，在液體中的同一水平面上，液體內(nèi)部的壓強(qiáng)不再相等——靠近前方的位置壓強(qiáng)小，靠近后方的位置壓強(qiáng)大，而且壓強(qiáng)隨水平面上的點(diǎn)離開前后面的距離作均勻變化.與液體內(nèi)部的壓強(qiáng)公式p=ρgh的導(dǎo)出過程相仿，我們可以從邏輯上進(jìn)行證明，液體內(nèi)部同一水平面上前后距離為l的兩點(diǎn)，因液體具有向前的加速度a時(shí)，這兩點(diǎn)壓強(qiáng)差為Δp=ρ液al.（例2后面的解析給出了該公式的推導(dǎo)過程）

3.若容器相對(duì)于地面具有任意方向的加速度a，我們可以將該加速度分解為豎直和水平兩個(gè)互相垂直方向的加速度，再將問題歸結(jié)為上述的1或2情形給出的方法進(jìn)行解決.

例1如圖2所示，一小車的密閉車廂內(nèi)裝滿水，密度比水小的木球用一根輕桿光滑地鏈接于水平車廂的底部，已知小車、水和木球的總質(zhì)量為1kg.將小車置于光滑水平地面上，施加F=5N的水平向右的恒力，求系統(tǒng)穩(wěn)定后輕桿與水平車廂底面的夾角.（取g=10m/s2，所求夾角的大小，結(jié)果可以用反三角函數(shù)表示）

解析小車系統(tǒng)受向右恒力作用而向右加速運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)穩(wěn)定之后，封閉車廂內(nèi)的水在同一水平面上，離開車廂前（右）側(cè)壁的距離越大，壓強(qiáng)也越大，所以相對(duì)于車廂保持靜止的木球受到4個(gè)力的作用——水對(duì)木球豎直向上的浮力F浮，木球重力G，水對(duì)木球水平向前的作用力F水（在這個(gè)力的作用下，相對(duì)于車廂，木球?qū)⑾蚯斑\(yùn)動(dòng)）和輕桿對(duì)木球的拉力F拉，如圖3所示.跟液體對(duì)浸沒在其中的物體產(chǎn)生豎直向上浮力的大小F浮=ρ液gV排 的證明過程類似，可以證明，木球因水的加速所受水的水平向前的力的大小為F水=ρ水a(chǎn)V排，則有：

F拉sinα+ρ木gV木=ρ水gV木

ρ水αV木-F拉cosα=ρ木aV木

整理得：F拉sinα+ρ水gV木=ρ木gV木

F拉cosα=ρ水a(chǎn)V木-ρ木αV木

兩式相除得：tanα=（ρ水-p木）gV木（ρ水-ρ木）aV木=ga=2

故α=arctan2

如果盛放液體的容器不是封閉而是敞口的，當(dāng)容器沿水平方向加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，液體的形狀會(huì)發(fā)生改變，此時(shí)液面將不再保持水平，跟靜止容器內(nèi)盛放的液體相比，液體內(nèi)部的壓強(qiáng)規(guī)律也將發(fā)生改變.

例2如圖4所示，敞口的長(zhǎng)方體車廂內(nèi)裝有粘滯系數(shù)比較大的某種液體，小車置于光滑水平地面上，小車和液體的總質(zhì)量為10kg.對(duì)小車施加一個(gè)水平向右F=20N的恒力，問：液體穩(wěn)定后，液面是平面還是曲面？如果是曲面，試確定曲面的形狀；如果是平面，求出液面與水平面的夾角（粘滯系數(shù)大的液體易于達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)）.

解析小車向右加速時(shí)，相對(duì)于車廂，由于慣性液體往車廂的后部“擠”，因?yàn)橐后w具有流動(dòng)性，所以，穩(wěn)定之后的液體上表面將不再是水平面，相對(duì)于車廂會(huì)形成一個(gè)前低后高的傾斜液面.過液面與車廂前壁的交點(diǎn)A（實(shí)際上液面與前壁的公共部分應(yīng)該是一條向畫面里面延伸的線段，側(cè)視圖中我們只能看到一個(gè)點(diǎn)）作一水平面AC，如圖5所示.在車廂內(nèi)該水平面之下截取一片很薄的液片，并按前后方向?qū)⒁浩殖蒼等份（每一部分都是向畫面里面延伸的小液柱），顯然，這些小液柱的質(zhì)量相等，它們隨小車一起向前（右）運(yùn)動(dòng)，具有共同的加速度，因此，各小液柱左右兩面所受相鄰液柱的壓力差相等（各液柱所受相鄰液柱壓力的合力方向向右，用來提供液柱向前的加速度），因此，各液柱左右兩側(cè)面所受的壓強(qiáng)差相等，由液體壓強(qiáng)公式p=ρgh可知，各小液柱左右兩側(cè)距離液面的豎直高度差相等，所以，車廂內(nèi)穩(wěn)定后的液體上表面，不是曲面，而是一個(gè)向前傾斜的平面.

從n個(gè)小液柱中任取一個(gè)進(jìn)行定量研究，假設(shè)該液柱的左右長(zhǎng)為l，左右兩側(cè)的截面積為S，液體密度為ρ液，左右兩側(cè)面所受的壓強(qiáng)差為Δp，由牛頓第二定律可得：

Δp·S=Slρ液a 得Δp=ρ液al

由該等式可以看出，在水平方向加速運(yùn)動(dòng)的液體，在其內(nèi)部同一水平面上前后不同位置的兩點(diǎn)壓強(qiáng)不等，其壓強(qiáng)差跟這兩點(diǎn)之間的前后水平距離成正比.

圖5中，設(shè)液體穩(wěn)定之后液面前后的高度差為h，車廂的左右長(zhǎng)度為L(zhǎng)，以水平面AC之下的整個(gè)薄液片為研究對(duì)象，有：

ρ液gh=ρ液al 得hl=ag

那么tanα=hl，故α=artan15