貸款定價(jià)的基本模型

張志強(qiáng)

一、貸款定價(jià)問題的理解

常有人認(rèn)為，利率市場(chǎng)化就是銀行隨行就市確定貸款的利率。筆者認(rèn)為，這樣的理解并不完全正確。發(fā)放貸款不同于在市場(chǎng)上買賣一般的商品。在市場(chǎng)上出售一般的商品比較簡單，所謂隨行就市也就是參照別人的售價(jià)，自己也定個(gè)差不多的價(jià)格就可以了。但是，貸款發(fā)放的情況就不同了。銀行在決定一筆貸款的利率時(shí)，不能僅僅依照市場(chǎng)上其他銀行的定價(jià)，就據(jù)此定價(jià)。這是因?yàn)椋皇瞧渌y行的定價(jià)可能差異很大，沒有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)；二是難以弄清楚其他銀行定價(jià)差異的原因，因?yàn)橘J款定價(jià)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)是確定對(duì)貸款的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。

理論上講，即便是同一家銀行對(duì)同一家企業(yè)的貸款，第一筆和第二筆貸款的風(fēng)險(xiǎn)也是不一樣的，這就意味著第一筆和第二筆貸款應(yīng)該定不同的價(jià)格。實(shí)踐中銀行家也許可以意識(shí)到，一般情況下（如第一筆貸款利率合理），第二筆貸款應(yīng)該比第一筆貸款利率高，因?yàn)槠髽I(yè)的負(fù)債率會(huì)隨著貸款的發(fā)放而增加，而企業(yè)的負(fù)債率是影響銀行風(fēng)險(xiǎn)的重要因素。那么，究竟應(yīng)該高多少呢？市場(chǎng)無法提供一個(gè)基本準(zhǔn)確的數(shù)字答案，銀行家的經(jīng)驗(yàn)或主觀判斷也無法提供一個(gè)基本準(zhǔn)確的數(shù)字答案。

貸款定價(jià)即貸款利率如何確定的問題，是一個(gè)典型的金融問題。銀行貸款定價(jià)的目的是合理回避和補(bǔ)償風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)又在競(jìng)爭(zhēng)中不損失客戶和機(jī)會(huì)，從而最大限度地獲得經(jīng)營收益。對(duì)于這樣的問題，首先應(yīng)該通過金融理論研究，得出利率取決于哪些重要或基本因素，與這些因素的定量關(guān)系是什么，即得出利率決定的理論模型；然后，探討這種考慮基本因素的理論模型如何在實(shí)踐中應(yīng)用。本文下面就致力于探討利率決定的理論模型，拋磚引玉，以期給讀者以參考和啟迪。

二、貸款的風(fēng)險(xiǎn)與貸款利率的構(gòu)成

筆者認(rèn)為，學(xué)術(shù)的專業(yè)體現(xiàn)在用最少的而不是最多的變量和數(shù)據(jù)以及最簡潔而不是最復(fù)雜的方式解決問題。當(dāng)然，作為定量科學(xué)，金融研究肯定需要數(shù)據(jù)，但不是靠數(shù)據(jù)解決問題；而是在有了理論模型的基礎(chǔ)上（問題得到解決后），需要代入有關(guān)基礎(chǔ)變量的數(shù)據(jù)得到結(jié)果（如貸款的利率）。究竟需要哪些基礎(chǔ)變量數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)與結(jié)果之間是什么定量關(guān)系，這些問題都需要金融理論研究基于專業(yè)邏輯而不是靠統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來解決。

貸款定價(jià)是一個(gè)典型的金融問題，那么我們就按照金融的專業(yè)邏輯來探討。根據(jù)上述分析，首先應(yīng)該對(duì)銀行貸款的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行深入的探討。

銀行發(fā)放貸款會(huì)面臨風(fēng)險(xiǎn)。傳統(tǒng)上認(rèn)為銀行貸款面臨多種風(fēng)險(xiǎn)，主要包括通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)、流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)、貸款期限風(fēng)險(xiǎn)以及違約風(fēng)險(xiǎn)。本文先不探討這些風(fēng)險(xiǎn)的定義，而是先梳理有關(guān)的金融邏輯。以貸款定價(jià)問題為導(dǎo)向，首先值得考慮的是，一筆貸款發(fā)放前后，銀行會(huì)關(guān)心和擔(dān)心什么？或者，對(duì)于所發(fā)放的一筆貸款，銀行應(yīng)該或可以有哪些合理的要求？

籠統(tǒng)地說，銀行的要求包括如期收回本金和利息，這也是銀行關(guān)心和擔(dān)心的事情。能否如期如數(shù)地收回本金和利息并不確定，這就是銀行所冒的風(fēng)險(xiǎn)?？梢岳斫?，這些風(fēng)險(xiǎn)需要通過確定的利息（利率）得以補(bǔ)償。銀行收回本金要求的合理性不說自明。需要考慮的是，銀行收回利息的要求在什么范圍內(nèi)是合理的呢？

首先，即便貸款沒有風(fēng)險(xiǎn)，將錢貸給企業(yè)用，也理所應(yīng)當(dāng)收取利息。但就合理性而言，銀行不冒風(fēng)險(xiǎn)，也就只能按無風(fēng)險(xiǎn)利率收取利息。這部分利息是對(duì)銀行資金的純時(shí)間補(bǔ)償，也就是對(duì)銀行資金失去流動(dòng)性的補(bǔ)償。需要說明的是，在未來貸款持續(xù)時(shí)間中有可能發(fā)生通貨膨脹，這意味著貨幣會(huì)貶值，這顯然不利于作為債權(quán)人的銀行，為此銀行應(yīng)該要求無風(fēng)險(xiǎn)利率中包含有對(duì)預(yù)期通貨膨脹的補(bǔ)償。所以，貸款利率中應(yīng)該有一部分是無風(fēng)險(xiǎn)利率，其中包含了對(duì)通貨膨脹和流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償。

其次，現(xiàn)實(shí)中的貸款當(dāng)然都是有風(fēng)險(xiǎn)的，這意味著在無風(fēng)險(xiǎn)利率的基礎(chǔ)上，貸款利率中還應(yīng)該包含風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償。與無風(fēng)險(xiǎn)的貸款相比，普通銀行貸款有什么風(fēng)險(xiǎn)呢？雖然現(xiàn)實(shí)中命名了多種風(fēng)險(xiǎn)，但其實(shí)只有一種風(fēng)險(xiǎn)，即不能如期收回本息的風(fēng)險(xiǎn)，也就是違約風(fēng)險(xiǎn)。那么，期限風(fēng)險(xiǎn)就不考慮了嗎？期限風(fēng)險(xiǎn)意味著貸款期限越長，違約風(fēng)險(xiǎn)越大。所以，期限風(fēng)險(xiǎn)只是違約風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)因素而已。

綜上所述，貸款利率應(yīng)該由無風(fēng)險(xiǎn)利率和違約風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率兩部分組成。這就意味著要正確確定貸款利率，就要分別正確確定無風(fēng)險(xiǎn)利率和違約風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率。無風(fēng)險(xiǎn)利率可根據(jù)同樣期限的政府債券期望收益率確定，這在金融領(lǐng)域是已經(jīng)解決的問題。所以，需要探討解決的問題就是如何確定違約風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率。

三、違約風(fēng)險(xiǎn)成本與貸款利率——ZZ利率模型

金融是研究資產(chǎn)價(jià)值的學(xué)科，根據(jù)資產(chǎn)的價(jià)值得出決策結(jié)論。金融的常規(guī)計(jì)算是根據(jù)未來收益計(jì)算資產(chǎn)的價(jià)值。與收益對(duì)應(yīng)的是風(fēng)險(xiǎn)，收益可以帶來價(jià)值的增加，風(fēng)險(xiǎn)則會(huì)帶來價(jià)值的減少。所以，金融也需要計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)值，實(shí)際是風(fēng)險(xiǎn)帶來的負(fù)價(jià)值，或可稱為風(fēng)險(xiǎn)成本。不僅如此，金融有時(shí)候還需要做價(jià)值的逆運(yùn)算，即根據(jù)資產(chǎn)或風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)值得出未來各期的應(yīng)得收益或需要補(bǔ)償?shù)某杀尽?/p>

明白了金融科學(xué)上述的基本定量功能，也就可以理解，如果能計(jì)算出貸款違約風(fēng)險(xiǎn)的成本，就可以通過將其分解得到各年的應(yīng)得利息，再除以本金即得各年的違約風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率。當(dāng)然，這個(gè)思路成功的關(guān)鍵是能否計(jì)算出貸款違約風(fēng)險(xiǎn)的成本。在金融領(lǐng)域，除了有錢不還的道德原因?qū)е碌倪`約，違約與破產(chǎn)幾乎是等同的概念。也就是說獲得貸款的企業(yè)之所以會(huì)違約，是因?yàn)槠髽I(yè)確實(shí)因經(jīng)營不善而資不抵債從而無力償還貸款本息。所以，違約風(fēng)險(xiǎn)的成本也可稱為破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的成本，或簡稱破產(chǎn)成本。

破產(chǎn)成本在金融領(lǐng)域是一個(gè)長盛不衰的研究熱點(diǎn)。1958年Modigliani和Miller推導(dǎo)建立了關(guān)于資本結(jié)構(gòu)的MM模型I1Modigliani, F. and M. H. Miller, 1958, “The cost of capital, corporation fi nance and the theory of investment”, American Economic Review 48, 261-297.，點(diǎn)燃了金融學(xué)者解決最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)問題的熱情。由于破產(chǎn)成本是攻克最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)問題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，50多年來，一直有學(xué)者對(duì)此進(jìn)行研究。2009年，張志強(qiáng)更正了概念理解的錯(cuò)誤，利用期權(quán)定價(jià)方法推導(dǎo)建立了破產(chǎn)成本模型2Zhiqiang Zhang, Determining the optimal capital structure based on revised def i nitions of tax shield and bankruptcy cost, Frontiers of Business Research in China, 2009, 3(1), 120-144.，解決了破產(chǎn)成本的計(jì)量問題，并進(jìn)一步推導(dǎo)出最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)模型。

所以，可以基于ZZ破產(chǎn)成本模型來推導(dǎo)貸款風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率，該模型形式如下：

式（1）中，BC 代表破產(chǎn)成本；S代表公司目前價(jià)值；X代表企業(yè)債務(wù)的本金，同時(shí)遵循研究慣例，假設(shè)它等于債務(wù)的現(xiàn)值；N (–d2)和N (–d1)分別代表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中變量值取–d2和–d1時(shí)的累積概率。其中，d1和d2可分別按式（2）、（3）求得。

其中：T為企業(yè)債務(wù)的平均期限（年）；為公司價(jià)值的波動(dòng)率，傳統(tǒng)行業(yè)的經(jīng)驗(yàn)值在20%-40%，高科技行業(yè)會(huì)更高些。

ZZ破產(chǎn)成本模型是針對(duì)企業(yè)負(fù)債融資研究破產(chǎn)成本的問題。貸款即是企業(yè)的債務(wù)，所以，可以（暫時(shí)）將企業(yè)債務(wù)與銀行貸款等同理解。

可以理解，有風(fēng)險(xiǎn)貸款的價(jià)值 = 無風(fēng)險(xiǎn)貸款的價(jià)值－破產(chǎn)成本。

在不考慮風(fēng)險(xiǎn)即無風(fēng)險(xiǎn)的情況下，貸款的當(dāng)前價(jià)值為X；用c表示貸款的年風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率（不包含無風(fēng)險(xiǎn)利率），注意貸款到期時(shí)間為T，則有風(fēng)險(xiǎn)貸款的價(jià)值為Xe-cT。因此：

根據(jù)式（4）不難求得風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率c。即：

上式兩邊取自然對(duì)數(shù)，

定義公司的債務(wù)比率L = X/S，則S/X=1/L，從而，

其中，對(duì)照式（2）和（3），

式（6）即是基于ZZ破產(chǎn)成本模型推導(dǎo)的貸款風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率模型，區(qū)別于其他模型，可稱之為ZZ貸款風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率模型。在此基礎(chǔ)上，不難寫出貸款利率模型，即：

根據(jù)式（7）、（8）和（9），可以發(fā)現(xiàn)，貸款利率取決于無風(fēng)險(xiǎn)利率r、貸款期限T、公司價(jià)值波動(dòng)率s以及公司貸款比率L四大因素。

我們可以通過典型數(shù)據(jù)測(cè)試一下這個(gè)利率模型的計(jì)算結(jié)果。例如，r = 4%，T = 5，= 26%。根據(jù)ZZ利率模型進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)貸款作為公司負(fù)債占公司總價(jià)值的40%時(shí)，貸款利率精確到萬分之一為4.44%。當(dāng)貸款占公司總價(jià)值的50%、60%、70%、80%、90%時(shí)，貸款利率分別為4.93%、5.59%、6.38%、7.26%、8.21%。可見，隨著公司貸款即負(fù)債比率的增加，違約風(fēng)險(xiǎn)逐漸增大，貸款利率也呈加速度地增加。

但是需要注意的是，上述計(jì)算未必正確。這樣運(yùn)用模型暗含了一個(gè)前提，即公司在獲得該筆貸款前，債務(wù)比率為0%。但在現(xiàn)實(shí)中，公司往往是在有一定負(fù)債甚至有很高負(fù)債的情況下再申請(qǐng)貸款，也就是說，新貸款將使公司債務(wù)比率由原來的某個(gè)百分比增加到一個(gè)更高的百分比。比如，如果這筆貸款使企業(yè)的債務(wù)比率由原來的40%、50%、60%、70%、80%再增加10%，則貸款利率分別為6.89%、8.87%、11.10%、13.44%、15.78%。對(duì)照前面計(jì)算的5個(gè)百分比，顯然，貸款利率大幅度提高了；而且貸款利率隨負(fù)債率而加速度增加的程度也提高了。

由此可見，在模型正確的前提下，還需要對(duì)模型和現(xiàn)實(shí)的理解正確，對(duì)模型的應(yīng)用正確，這樣才會(huì)得到正確的計(jì)算結(jié)果。

四、ZZ模型與莫頓模型的相互印證

由于目前學(xué)術(shù)研究中“用數(shù)據(jù)說話”的盛行，許多學(xué)者通過某種方式得到金融模型后，往往習(xí)慣于用數(shù)據(jù)來“驗(yàn)證”，以表明自己模型的可靠。筆者認(rèn)為，并非所有的模型都需要用數(shù)據(jù)來驗(yàn)證。這是因?yàn)?，一是不同的“?shù)據(jù)”之間會(huì)有矛盾，現(xiàn)實(shí)中的數(shù)據(jù)浩如煙海，究竟符合哪套數(shù)據(jù)的模型算是正確的呢？二是數(shù)據(jù)中既包含正確、也包含錯(cuò)誤，既有陰錯(cuò)陽差，也有歪打正著。那么，什么模型需要靠數(shù)據(jù)來證明是正確的呢？不妨看一個(gè)模型，平均速度=距離/時(shí)間，這樣的模型當(dāng)然不需要數(shù)據(jù)驗(yàn)證，因?yàn)樗星逦鷩?yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬛巍Ｏ喾?，如果某套?shù)據(jù)不符合這個(gè)模型，那一定說明數(shù)據(jù)（記錄）有問題。這也就是說，嚴(yán)格符合邏輯的模型其實(shí)可以用來檢驗(yàn)現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)的合理性，而不是相反。

邏輯其實(shí)就是一種嚴(yán)格表達(dá)的道理。邏輯與數(shù)據(jù)的一個(gè)不同是，邏輯可以跨越時(shí)間和空間而保持有效。所以，在金融研究中，真正徹底的證明是兩個(gè)符合邏輯的不同思路或方法得到同樣的結(jié)論或模型。ZZ破產(chǎn)成本是基于嚴(yán)格邏輯推導(dǎo)出來的，從模型的形式到模型中包含的變量都是客觀邏輯推導(dǎo)的結(jié)果，不受作者主觀偏好的影響。同樣，推導(dǎo)ZZ利率模型也是一個(gè)嚴(yán)格的邏輯過程，模型形式和變量都不是筆者主觀選擇的。在推理到最后一步之前，筆者也不知道利率模型的形式以及其中包含哪些變量。

在獨(dú)立推導(dǎo)出ZZ利率模型之后，在搜索以往研究成果時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)，1974年，Merton同樣運(yùn)用嚴(yán)格的邏輯推導(dǎo)出了貸款風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率模型3Merton, Robert C., On the Pricing of Corporate Debt: the Risk Structure of Interest Rates, Journal of Finance, 1974, 29: 449-470.，雖然思路和推理過程不同，但最后得到的模型形式和變量與ZZ貸款風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率模型完全相同（只是各變量所用的符號(hào)不同）。Merton的貸款風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率模型如下：

其中，R(t)為債券收益率，即銀行貸款利率；r為無風(fēng)險(xiǎn)利率；t為債券（貸款）到期年限；ln{}為對(duì)數(shù)函數(shù)；Φ[]為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率函數(shù)；h1(d,2t)和h2(d,2t)取值如下：

顯然，按照Merton的利率模型，合理的利率取決于無風(fēng)險(xiǎn)利率r、貸款（貸款）年限t、公司風(fēng)險(xiǎn)即價(jià)值波動(dòng)率以及公司負(fù)債率d，共4個(gè)變量。這與ZZ利率模型完全一致；同時(shí)，模型形式也是完全一致。相信讀者自己可以辨認(rèn)清楚。

當(dāng)然，本文并不是重復(fù)Merton的研究，只是殊途同歸，得到了與Merton一樣的模型。先不說作為客觀邏輯推理，不推導(dǎo)到最后其實(shí)不可能知道與Merton模型完全一致。但說Merton當(dāng)年的推導(dǎo)，其過程要復(fù)雜難懂得多，可以說金融領(lǐng)域至今真正能看懂的人不在多數(shù)。事隔40年，本文經(jīng)由不同的邏輯過程，基于ZZ破產(chǎn)成本模型，簡單輕松推導(dǎo)出同樣的模型。這有兩個(gè)直接意義：其一，如上所述，它使Merton模型40年來第一次有了邏輯印證，從而可以堅(jiān)定人們對(duì)Merton模型的信心；其二，金融領(lǐng)域有更多的人可以理解或看懂模型的推導(dǎo)過程，從而也才會(huì)更好地掌握和應(yīng)用模型。從前面簡單的計(jì)算演示中，讀者已經(jīng)看到，對(duì)模型掌握和應(yīng)用的好與差，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果大不相同。

五、有待進(jìn)一步研究的問題

至此，本文拿出了一個(gè)貸款定價(jià)的基本模型。由于與Merton模型相互印證，從而模型的正確性得到了進(jìn)一步的證實(shí)。限于篇幅，本文不做進(jìn)一步的探討，僅對(duì)有關(guān)問題做一些簡單說明。

一個(gè)自然的思路是，既然已經(jīng)建立模型，模型的正確性也得到某種證實(shí)，那順理成章就應(yīng)該探討模型的應(yīng)用了。但并不是任何正確的模型都值得探討一下如何應(yīng)用。比如，等同于常識(shí)的模型就不值得進(jìn)一步探討如何應(yīng)用。因?yàn)橹苯影凑粘ＷR(shí)決策就可以了，當(dāng)然，Merton模型或ZZ利率模型顯然不是常識(shí)。

那么，是不是正確的定量模型都值得探討一下如何應(yīng)用呢？也不是。舉個(gè)例子，本文前面提到的Modigliani和Miller在1958發(fā)表的研究，后來被稱為MM模型I，這是有關(guān)資本結(jié)構(gòu)研究的第一個(gè)清晰的定量模型，同樣也是經(jīng)過嚴(yán)格邏輯推導(dǎo)建立的模型。模型的正確性也沒有問題，后來Modigliani和Miller都因此獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。但這個(gè)模型就不值得探討如何應(yīng)用。因?yàn)檫@個(gè)模型不是一個(gè)解決問題的模型，只是在解決問題的過程中的一個(gè)中間成果——當(dāng)然是一個(gè)非常重要的成果。

所以，解決了相應(yīng)決策問題的精確定量的模型才值得進(jìn)行應(yīng)用探討。自然，接下來的問題就是：Merton模型或ZZ模型解決了貸款定價(jià)問題嗎？

這看似是一個(gè)簡單的問題，其實(shí)并不容易回答。究竟什么樣的模型算是解決了問題，解決問題的標(biāo)準(zhǔn)是什么？在目前的金融領(lǐng)域，這種問題其實(shí)沒有清晰的答案。當(dāng)然，這個(gè)問題也沒有難到無法回答的程度。我們有過很多次這方面的討論，也得出了判斷問題是否解決的標(biāo)準(zhǔn)。限于篇幅，這里不展開闡述了。根據(jù)我們的標(biāo)準(zhǔn)來判斷，答案是肯定的，也就是說，Merton模型或ZZ模型解決了貸款定價(jià)問題；從而，可以在這個(gè)模型的基礎(chǔ)上探討模型在銀行貸款實(shí)務(wù)中的應(yīng)用了。