簡(jiǎn)化法向量計(jì)算及二面角問題的探索

【摘 要】本文以例詮釋將法向量引入立體幾何中解決線面角、二面角和點(diǎn)到平面的距離等問題的新思路，講解直接法、軸面位置法、“有 0 速算法”、行列式法等四種簡(jiǎn)化法向量計(jì)算的方法。

【關(guān)鍵詞】簡(jiǎn)化法向量 線面角 二面角 點(diǎn)到平面的距離

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）02B-0153-04

將法向量引入到立體幾何中，為解決線面角、二面角和點(diǎn)到平面的距離問題提供了新的思路，利用法向量解決上述問題時(shí)，一般很少添加輔助線，省去作角、作線段的諸多不便，也無需進(jìn)行復(fù)雜繁難的推理論證，只需通過坐標(biāo)運(yùn)算后進(jìn)行判斷即可，因此解題方法步驟程序化，學(xué)生易于掌握。

通常，只要能建立直角坐標(biāo)系，使用法向量解題的思維量是很小的，也很方便，但不足之處是運(yùn)算量大。新課標(biāo)背景下運(yùn)算能力與運(yùn)算技能是高中學(xué)生最大的短板，在計(jì)算和應(yīng)用法向量時(shí)，學(xué)生有以下兩個(gè)常見錯(cuò)誤：一是把點(diǎn)的坐標(biāo)或向量坐標(biāo)寫錯(cuò)，這類錯(cuò)誤屬于計(jì)算能力或粗心問題，只要引起重視，平常多訓(xùn)練，是可以避免類似錯(cuò)誤的。二是易把法向量算錯(cuò)，用解方程法求法向量，具有一定的計(jì)算復(fù)雜度，多數(shù)同學(xué)不知道簡(jiǎn)化運(yùn)算和驗(yàn)證的方法，從而犯錯(cuò)的幾率很大。本文針對(duì)第二類錯(cuò)誤，提供一些簡(jiǎn)化法向量計(jì)算的方法，并在此基礎(chǔ)上對(duì)二面角問題進(jìn)行了探索，如有不當(dāng)之處，敬請(qǐng)各位同仁批評(píng)指正。

一、從一道典型的高考題說起

如圖1，四棱錐 P-ABCD 中，PA⊥ 平面 ABCD，E 為 BD的中點(diǎn)，G 為 PD 的中點(diǎn)，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，，連接 CE 并延長交 AD 于點(diǎn) F。

（Ⅰ）求證：AD ⊥平面 CFG；（Ⅱ）求二面角 B-CP-D 的余弦值。

上題是 2013 年江西理科卷第 19 題，原題第二小題是“求平面 BCP 與平面 DCP 的夾角的余弦值”。本文在引用時(shí)有所改動(dòng)。以下是解答這道題的常規(guī)方法。

解：（Ⅰ）在△ABD 中，因?yàn)?E 為 BD 的中點(diǎn)，所以 EA=AB=EB=ED=1，故 ∠BAD=90°，∠ABE=∠AEB=60°。因?yàn)?△DAB≌△DCB，所以 △EAB ≌△ECB，從而有 ∠FED=∠BEC=∠AEB=60°，所以 ∠FED=∠FEA，故 EF⊥AD，AF=FD；又因?yàn)?PG=GD，所以 FG//PA。因?yàn)?PA⊥ 平面 ABCD，所以 FG⊥AD，EF∩FG=F，所以 AD 平面 CFG。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 AB，AD，AP 兩兩垂直，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?x 軸的正方向，為單位長，建立如圖 2 所示的空間直角坐標(biāo)系 A-xyz。則 B（1，0，0），因此設(shè)平面 BCP 的一個(gè)法向量為 =（x1，y1，z1），由，得到，取x1=1，得。設(shè)平面 DCP 的一個(gè)法向量為 =（x2，y2，z2），由，，得到，取 x2=1，得 =（1，，2）。所以 cos<，，因?yàn)槎娼?B-CP-D 是鈍角，所以二面角 B-CP-D 的余弦值為 。

本題第（Ⅰ）問主要考查線面位置關(guān)系的證明。另外根據(jù)考試大綱要求，高層次也包含低層次的內(nèi)容，此問也注重了對(duì)底面的平面幾何圖形性質(zhì)的考查。第（Ⅰ）問的解決是第（Ⅱ）問的建系的前提。我們注意到第（Ⅱ）問解答過程中，有幾個(gè)關(guān)鍵的地方：第一，在求法向量的過程中需要解不定方程（組）。對(duì)于不定方程（組），學(xué)生處理經(jīng)驗(yàn)少，技術(shù)缺乏規(guī)范，而教材的設(shè)計(jì)在這方面的考慮也不足。第二，利用法向量求二面角時(shí)要通過觀察來判斷二面角是銳角還是鈍角。然而，當(dāng)二面角接近直角或不宜觀察時(shí)，要進(jìn)行判斷是有難度的。

二、簡(jiǎn)化法向量計(jì)算的方法

為了提高求法向量的效率，本文給出以下簡(jiǎn)化計(jì)算的方法：

（一）直接法。若題目給出平面的一條垂直線段，則該線段可視為法向量。

（二）軸、面位置法。若平面經(jīng)過或平行于某條軸，則對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為 0。若平面垂直于某條軸，則對(duì)應(yīng)坐標(biāo)不為 0，如平面垂直于 z 軸，其中的一個(gè)法向量為 =（0，0，1）。若平面既不平行（或經(jīng)過）又不垂直某條軸，其中的一個(gè)法向量可設(shè)為=（1，y，z）。

（三）“有 0 速算法”。因?yàn)榉ㄏ蛄颗c平面內(nèi)的向量是垂直關(guān)系，所以求出法向量后，計(jì)算法向量與所找平面內(nèi)兩向量數(shù)量積是否為 0，就可驗(yàn)證結(jié)果是否正確。利用這一思路，便得到以下方法：求平面 BCP 的法向量 =（1，y，z），其中在 這兩個(gè)向量中，只有 的坐標(biāo)中有“0”，先考慮向量 與 垂直。的 z 坐標(biāo)為 0，只須保證 與 的 x 坐標(biāo)與 y 坐標(biāo)的乘積之和為 0，此時(shí) 的 z 坐標(biāo)可以是任意實(shí)數(shù)，可列式如下：，解得 。再考慮坐標(biāo)中沒有“0”的 ，要讓 與 垂直，可得，解得 z=，從而得到平面 BCP 的法向量 =（1，-，）?！坝?0 速算法”的特點(diǎn)在于：一是計(jì)算過程簡(jiǎn)單，二是計(jì)算的過程其實(shí)就是驗(yàn)證的過程，保證了所求法向量的正確性。

（四）行列式法。這是筆者較提倡的方法，當(dāng)向量中含參數(shù)時(shí)，用行列式法效果尤為明顯，此外在解決二面角的大小或余弦值問題時(shí)有其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)?？紤]到行列式法解決二面角問題的重要性，本文給出二階、三階行列式和向量積的簡(jiǎn)要介紹，讀者如有需要，可參閱相關(guān)文獻(xiàn)。

1.二階行列式。把 叫做二階行列式，其中橫排叫做行，縱排叫做列，a，b，c，d 叫做行列式的元素。在二階行列式中用實(shí)線表示的對(duì)角線上兩個(gè)數(shù)的積，減去用虛線表示的對(duì)角線上兩個(gè)數(shù)的積所得的差，就是

叫做二階行列式的展開式。

2.三階行列式。把 叫做三階行列式。 對(duì)于三階行列式有

上式稱為三階行列式按第一行的展開式。

3.行列式的兩個(gè)性質(zhì)。（1）交換行列式的任意兩行，行列式的絕對(duì)值不變，而符號(hào)相反。

（2）行列式某一行所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外邊。

4.向量積。兩向量 與 的向量積是向量，用 ×表示，它垂直于 與 所決定的平面（即 × 同時(shí)跟 和 垂直），方向按右手規(guī)則確定，即當(dāng)你的右手四個(gè)指頭順著 到 的方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，拇指所指的方向就是 × 的方向（圖 3）。

在空間直角坐標(biāo)系中，若 =（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2），則

其中 ，，是坐標(biāo)向量。

重要的運(yùn)算規(guī)律：×=-（ ×）。

有了上面的知識(shí)，第（Ⅱ）問中平面 BCP 的法向量 ，就可按以下方式求出。

由 =×，得

其中，運(yùn)用行列式性質(zhì) 2，行列式記號(hào)前的 是第二行提出的公因數(shù) 與第三行提出的公因數(shù)的積。只要熟悉展開式的特點(diǎn)，就能迅速寫出法向量，如平面 DCP 的法向量 ：

上述計(jì)算中之所以提出公因數(shù)，原因是讓法向量的坐標(biāo)盡量不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)和無理數(shù)，以免增加計(jì)算的復(fù)雜性。而平面 DCP的法向量 的坐標(biāo)中未提公因數(shù)-1，原因是在解決二面角大小或余弦值問題時(shí)，易把法向量的方向弄反，后文中會(huì)說明這一點(diǎn)，因此涉及這類問題時(shí)，盡量不要放負(fù)數(shù)在坐標(biāo)前。根據(jù)上述原則，的坐標(biāo)同除 得到新的法向量 =（3，，2），=（-1，，-2）的坐標(biāo)同除 得到新的法向量 =（-1，，-2）。

三、二面角問題的進(jìn)一步探索

正如前文所述，通過觀察來判斷二面角是銳角還是鈍角，在特定情形下是有難度的。那么，能否通過代數(shù)方法解決這一問題呢？于是筆者進(jìn)行了下面的探索。

若 ，是平面 α，β 的法向量，則 ， 指向與二面角內(nèi)側(cè)的關(guān)系大致有下列三種情形（圖 4）。

以二面角內(nèi)側(cè)作為參照標(biāo)準(zhǔn)，如上圖（2）（3），，都指向二面角內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角 α-l-β 的大小與<，>互補(bǔ)；， 一個(gè)指向內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向外側(cè)時(shí)，二面角 α-l-β 的大小與<，>相等，如圖（1）（注：對(duì)于 外指，內(nèi)指情形與此一致）。法向量與二面角的關(guān)系可概括為：“同進(jìn)同出互補(bǔ)，一進(jìn)一出相等。”那么如何在坐標(biāo)上體現(xiàn)出法向量的方向呢？

把法向量設(shè)為 =（x1，y1，z1），列出兩個(gè)三元一次方程，再根據(jù)系數(shù)情況賦值，進(jìn)而得到法向量坐標(biāo)。以這種方式得到的法向量，除了與坐標(biāo)軸平行或重合外，要判斷其方向還是很難的。如果我們先定方向再求坐標(biāo)，就能繞開這個(gè)問題，而實(shí)現(xiàn)該想法的關(guān)鍵在于行列式法的使用。本文用行列式法求平面 BCP 的法向量 時(shí)，由于 =×，故按照右手規(guī)則，當(dāng)右手四指順著 到 的方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，拇指指向二面角 B-CP-D 的外側(cè)，即 指向二面角 B-CP-D 的外側(cè)。值得注意的是，在構(gòu)造 的行列式時(shí)，第二行排的是 的坐標(biāo)，第三行才排 的坐標(biāo)，若二者位置對(duì)調(diào)，根據(jù)行列式性質(zhì) 1，所得結(jié)果應(yīng)為-（×），即向量 ×。同理，由平面 DCP 的法向量 =×，知 指向二面角 B-CP-D 的內(nèi)側(cè)，此時(shí)二面角 B-CP-D 的大小與 <，>相等，因此所求余弦值為 cos<，。為了快速求出法向量方向與坐標(biāo)，筆者建議，當(dāng)所給圖形公共棱明顯時(shí)，可先寫出公共棱的向量坐標(biāo)再以這個(gè)向量的起點(diǎn) C 為起點(diǎn)，在二面角的各個(gè)半平面內(nèi)找兩點(diǎn) B，D 為終點(diǎn)，就得到兩個(gè)向量 ，。因這三個(gè)向量共起點(diǎn)，按右手規(guī)則，統(tǒng)一順著 到 或 的方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，法向量的方向必定一個(gè)指向二面角外側(cè)，另一個(gè)指向內(nèi)側(cè)。 若所給圖形公共棱不明顯時(shí)，可在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，各找三個(gè)不共線的點(diǎn)，以其中一點(diǎn)為向量起點(diǎn)，構(gòu)造兩個(gè)向量，再依右手規(guī)則得到兩個(gè)法向量，進(jìn)而求出二面角。

四、應(yīng)用示例

下題是 2013 年浙江理科卷第 20 題，解題時(shí)需根據(jù)條件設(shè)未知數(shù)表示空間點(diǎn)的坐標(biāo)，從而增加了問題解決的難度?，F(xiàn)用本文所述方法解答如下，望讀者能從中體會(huì)到它們的特點(diǎn)。

如圖（圖5），在四面體 A-BCD 中，AD⊥平面 BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=。M 是 AD 的中點(diǎn)，P 是 BM 的中點(diǎn)，點(diǎn) Q 在線段 AC 上，且 AQ=3QC。

（Ⅰ）證明：PQ // 平面 BCD；

（Ⅱ）若二面角 C-BM-D 的大小為 60°，求∠BDC 的大小。

∵ AD⊥平面 BCD，AD 平面 ACD

∴ 平面 ACD⊥平面 BCD

∵ 平面 ACD∩平面 BCD=CD

又 CE⊥CD

CE 平面 ACD

∴ CE⊥平面 BCD

又 BC⊥CD

故 CE，CB，CD 兩兩垂直

以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖 6 所示的空間直角坐標(biāo)系。設(shè) BC=a，CD=b。則 C（0，0，0），B（0，a，0），D（b，0，0），M（b，0，1），。

（Ⅰ），顯然平面 BCD 的一個(gè)法向量為 =（0，0，1）。

∴ ⊥

又 PQ 平面 BCD

∴ PQ // 平面 BCD

（Ⅱ）在 Rt△BCD 中，有 BC2+CD2=BD2

即 a2+b2=8 ①

=（b，-a，1），=（0，-a，0），=（b，-a，0）。設(shè)平面 BMC 的一個(gè)法向量為，由=×，得

（a，0，-ab）。

同理，設(shè)平面 BMD 的一個(gè)法向量為 ，由=×，得

，于是

即 ②

聯(lián)立①②，解得

a=，b=

∴∠BDC=60°

【參考文獻(xiàn)】

[1]王祥林.云南高考數(shù)學(xué)試題分析詳解、常見錯(cuò)誤分析及模擬練習(xí)[M].昆明：云南教育出版社，2013

[2]萬中義.中學(xué)數(shù)理化公式定理手冊(cè)[M].成都：四川辭書出版社，2002

[3]谷超豪.數(shù)學(xué)詞典[M].上海：上海辭書出版社，1992

[4]俞 萍.向量暗藏玄機(jī) 方向掌控自如[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2013（4）

【作者簡(jiǎn)介】李發(fā)光，男，碩士研究生，云南師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)教師。

（責(zé)編 盧建龍）