概念化教學(xué)是改進(jìn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的有效途徑*

●許欽彪 (稽山中學(xué) 浙江紹興 312000)

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概念化教學(xué)是改進(jìn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的有效途徑*

●許欽彪 (稽山中學(xué) 浙江紹興 312000)

作者介紹： 浙江省數(shù)學(xué)特級(jí)教師，紹興市首批教授級(jí)高級(jí)教師.現(xiàn)為浙江省基礎(chǔ)教育課程改革指導(dǎo)委員會(huì)成員，教育中心研究員，工作室導(dǎo)師，高校師訓(xùn)中心高級(jí)訪問學(xué)者導(dǎo)師，碩士生導(dǎo)師.曾獲全國基礎(chǔ)教育百佳名校長、全國基礎(chǔ)教育科研先進(jìn)、全國數(shù)學(xué)競賽優(yōu)秀指導(dǎo)教師、全國蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)，浙江省教壇新秀、先進(jìn)班主任、“2211”首批名師班優(yōu)秀學(xué)員，紹興市首屆教壇新秀、首屆育人新秀、學(xué)科帶頭人、專業(yè)技術(shù)撥尖人才、學(xué)術(shù)技術(shù)帶頭人、教育科研先進(jìn)者等.教育科研上獲全國基礎(chǔ)教育科研成果一等獎(jiǎng)、全國基礎(chǔ)教育優(yōu)秀成果一等獎(jiǎng)，主持的全國教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)立項(xiàng)課題“讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)教學(xué)模式的實(shí)踐”獲浙江省第4屆教育科研優(yōu)秀成果一等獎(jiǎng)(全省各類院校共10 項(xiàng))、紹興市人民政府基礎(chǔ)教育成果獎(jiǎng)，發(fā)表科研論文百余篇，主編教學(xué)用書11本.長期致力于數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)、數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)、教學(xué)方法和教學(xué)評(píng)價(jià)等方面的研究.治教格言：教學(xué)相長.

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要基礎(chǔ)和重要任務(wù)，如何進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的課堂教學(xué)，探究更有效的教學(xué)方法，對(duì)于當(dāng)前的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是必須和有重要意義的.在正確理解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)概念形成和數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基礎(chǔ)上，文章提出概念化教學(xué)，并通過具體的教學(xué)實(shí)例來闡述概念化教學(xué)的課堂教學(xué)模式.

概念化教學(xué)；思維方式；函數(shù)圖像

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，正確理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和基本數(shù)學(xué)方法、技能的前提，因而數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要基礎(chǔ)和重要任務(wù).由于數(shù)學(xué)概念的豐富、復(fù)雜和抽象，使得數(shù)學(xué)概念成為教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).如何進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的課堂教學(xué)，探究更有效的教學(xué)方法，對(duì)于當(dāng)前的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是必須和有重要意義的.

首先，要正確理解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)概念形成和數(shù)學(xué)概念教學(xué).目前為止，在各種文獻(xiàn)資料中，關(guān)于這3個(gè)方面還未見準(zhǔn)確統(tǒng)一的定義敘述，只有一般性的闡述解釋.綜合各種文獻(xiàn)資料的注釋，筆者進(jìn)行通俗和簡要地歸納.

1)數(shù)學(xué)概念，是指人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)事物對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種數(shù)學(xué)反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維方式.

2)數(shù)學(xué)概念形成，是指人們對(duì)一類數(shù)學(xué)對(duì)象中若干不同的個(gè)例進(jìn)行反復(fù)感知、分析、比較、抽象、歸納，概括出這類數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性而獲得概念的方式.

3)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，是指把數(shù)學(xué)已有的概念性知識(shí)，包括數(shù)學(xué)名詞、定義、符號(hào)、定理、公理、結(jié)論、公式和解決問題的基本方法、基本技能等等，通過課堂教學(xué)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解、掌握和運(yùn)用.

由此可見，數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)際上是讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)從認(rèn)識(shí)、理解、掌握到運(yùn)用的一個(gè)思想過程，也是形成數(shù)學(xué)思想、養(yǎng)成數(shù)學(xué)思維、把具體問題數(shù)學(xué)化、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過程.

我們知道，通過簡單、直接認(rèn)知而接受的知識(shí)，往往懶于去深入理解和體會(huì)，難有深刻印象，記憶也不會(huì)長久，更難以保證牢固掌握和熟練運(yùn)用.比如，最好的一篇文章、最美的一則故事，即使你多看幾遍，也不會(huì)長久深刻地記住，更不能依此寫出自己的好文章、好故事.而如果文章是自己寫的，故事是自己經(jīng)歷的，就必定能讓你有長久、深刻的記憶.因?yàn)檫@是通過自己的感知、實(shí)踐形成的.

概念也是如此，數(shù)學(xué)概念更是如此.如果教師只是將數(shù)學(xué)概念特別是一些抽象的概念簡單地傳授讓學(xué)生去認(rèn)知，學(xué)生自然會(huì)覺得枯燥、乏味，缺乏興趣，從而缺少學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.而如果教師能把形成數(shù)學(xué)概念的問題情景提供給學(xué)生，讓學(xué)生自主感知、分析、探究、類比、歸納，通過自身的思維去實(shí)踐創(chuàng)造而形成數(shù)學(xué)概念，這樣的教學(xué)方式必定使學(xué)生對(duì)概念有更深入的理解、更牢固的掌握、更深刻的記憶和更熟練的運(yùn)用，也能讓學(xué)生增加興趣和動(dòng)力，體會(huì)到“數(shù)學(xué)來源于自然，概念是自然必然的產(chǎn)物”，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)、數(shù)學(xué)的美好和數(shù)學(xué)的有用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.這樣的概念教學(xué)是養(yǎng)成數(shù)學(xué)思想、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、提高數(shù)學(xué)能力、形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑.這種概念教學(xué)模式可以形象地稱作概念化教學(xué)模式.也就是說，把“教概念”轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖o出問題情景讓學(xué)生自主形成概念”，形成概念的過程就是問題情景概念化的過程.

筆者擇取人教A版教材中幾則常見的數(shù)學(xué)概念教學(xué)片斷，說明概念化教學(xué)的一般操作模式，供同行討論批評(píng)指正.

1 用概念產(chǎn)生的背景創(chuàng)設(shè)情景進(jìn)行概念化教學(xué)

教學(xué)內(nèi)容：集合(選自《數(shù)學(xué)(必修1)》第1章第1.1.1節(jié)).

1.1 主要教學(xué)過程

教師給出以下問題情景：學(xué)校以學(xué)生為教育對(duì)象，一般把學(xué)生編成以班級(jí)為單位進(jìn)行教學(xué)和管理.請(qǐng)同學(xué)們用數(shù)學(xué)思想方法給班級(jí)抽象出一個(gè)適當(dāng)?shù)拿~，要求這個(gè)名詞不但對(duì)其他班級(jí)適用，而且對(duì)數(shù)學(xué)中所有的研究對(duì)象和群體也適用.

學(xué)生們經(jīng)過單獨(dú)思考與合作討論后，形成了一般的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，認(rèn)為“班級(jí)”這個(gè)名詞肯定不適合數(shù)學(xué)中其他的研究對(duì)象，而研究對(duì)象無論是人還是其他(如數(shù)、點(diǎn)、圖形、產(chǎn)品等)組成的群體，表示這個(gè)群體的適當(dāng)名詞可以有“群體”“團(tuán)隊(duì)”“集體”等，這些名詞似乎都有道理，但從數(shù)學(xué)化角度看又似乎都不是很貼切.

教師適當(dāng)提示學(xué)生：在小學(xué)和初中階段，我們已經(jīng)學(xué)過把自然數(shù)組成的群體稱為自然數(shù)的集合.一個(gè)班級(jí)實(shí)際上就是一些對(duì)象(人)組成的集合體(集中合起來).經(jīng)過這個(gè)提示引導(dǎo)和前面學(xué)生的思考討論，所有學(xué)生都形成了一個(gè)統(tǒng)一的名詞概念——集合.

教師進(jìn)一步提問：集合里研究的對(duì)象可以是人、數(shù)、圖像、產(chǎn)品等，如何給對(duì)象也取個(gè)數(shù)學(xué)化的“名字”呢？師生統(tǒng)一取名為“元素”.

至此，師生共同明確了集合的概念：數(shù)學(xué)中，把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱集).教師再進(jìn)一步讓學(xué)生以班級(jí)為集合例子，探究整理集合的3個(gè)特征：

1)班級(jí)中的學(xué)生是確定的，因此集合的元素是確定的；

2)班級(jí)中的學(xué)生是互不相同的，因此集合的元素是互異的；

3)班級(jí)中學(xué)生的順序是不影響班級(jí)的，也就是說學(xué)生名單順序調(diào)一下，仍是這個(gè)班級(jí)，因此集合與里面的元素順序是無關(guān)的(當(dāng)然，以后在表達(dá)集合時(shí)，我們還是以習(xí)慣性的順序來描述，但每一個(gè)元素不能重復(fù)表達(dá)).

簡言之，集合的3個(gè)特征為：元素確定性、元素互異性、元素?zé)o序性.教師進(jìn)一步設(shè)問：根據(jù)集合的3個(gè)特征，2個(gè)集合何時(shí)相等呢？學(xué)生很自然地認(rèn)識(shí)到，當(dāng)構(gòu)成2個(gè)集合的元素一樣(確定，與順序無關(guān))時(shí)，這2個(gè)集合相等.

1.2 點(diǎn)評(píng)

這樣的教學(xué)過程就是以創(chuàng)設(shè)問題情景進(jìn)行概念化教學(xué)的過程.這種方式不但讓學(xué)生主動(dòng)積極地參與了概念的形成過程，使之對(duì)概念的認(rèn)識(shí)、理解、掌握更深刻，而且鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和探究創(chuàng)造精神，同時(shí)也使得后續(xù)學(xué)習(xí)關(guān)于集合的相關(guān)知識(shí)變得順理成章和事半功倍.

對(duì)于集合的教學(xué)，一般教師都是直接給出集合、元素等概念，這看似簡單，實(shí)際上這種教學(xué)不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也不利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和數(shù)學(xué)思維.集合是高中數(shù)學(xué)的第1課，是學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的起始點(diǎn).在起始點(diǎn)如何讓學(xué)生養(yǎng)成正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)思維方法，對(duì)于3年的高中學(xué)習(xí)是極為重要和關(guān)鍵的.因此，筆者首先借助集合概念化教學(xué)的例子，是有益和有意義的.

2 用數(shù)形結(jié)合創(chuàng)設(shè)情景進(jìn)行概念化教學(xué)

教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的單調(diào)性(選自《數(shù)學(xué)(必修1)》第1章第1.3.1節(jié)).

2.1 主要教學(xué)過程

教師給出問題情景：請(qǐng)同學(xué)們觀察下面2個(gè)函數(shù)的圖像(如圖1和圖2所示)，分別指出這2個(gè)函數(shù)在相關(guān)區(qū)間內(nèi)從左到右的變化情況.

圖1 圖2

一般學(xué)生都正確地指出了：第1個(gè)函數(shù)在區(qū)間[-2,-1]和[1,2]上是上升的，在[-1,1]上是下降的；第2個(gè)函數(shù)在區(qū)間[-4,-2]和[0,2]上是下降的，在[-2,0]和[2,4]上是上升的.進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到圖像從左到右的上升或下降有幾個(gè)相關(guān)因素：

1)與區(qū)間有關(guān)，即上升或下降是就某個(gè)區(qū)間而言的；

2)區(qū)間內(nèi)的圖像必須存在，即函數(shù)有意義或者說在定義域內(nèi)討論；

3)某個(gè)區(qū)間內(nèi)上升，就是對(duì)這個(gè)區(qū)間內(nèi)的任意左、右2個(gè)點(diǎn)，圖像一定是左低右高，下降則一定是左高右低；

4)2個(gè)不同的區(qū)間沒有可比性，如第1個(gè)函數(shù)在[-2,-1]和[1,2]上都是上升的，但圖像高低變化沒有可比性.

教師提出要求：請(qǐng)大家把某區(qū)間上圖像的上升或下降，與該區(qū)間上函數(shù)值的大小變化聯(lián)系起來，并描述這種變化.學(xué)生由圖形到函數(shù)值都能認(rèn)識(shí)到：圖像從左到右上升，對(duì)應(yīng)函數(shù)值隨x的增大而增大；圖像下降，函數(shù)值隨x的增大而減小.

教師進(jìn)一步要求：請(qǐng)大家結(jié)合函數(shù)圖像在區(qū)間上的變化，將函數(shù)在定義域相關(guān)區(qū)間內(nèi)的增大、減小這種變化特征，用數(shù)學(xué)語言歸納為函數(shù)的性質(zhì).有了以上的基礎(chǔ)準(zhǔn)備，一般學(xué)生都能自主地描述歸納出函數(shù)的這一性質(zhì).師生共同整理統(tǒng)一函數(shù)的單調(diào)性，具體地說：如果對(duì)于函數(shù)定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意2個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1f(x2)，就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).

教師結(jié)合圖像，強(qiáng)調(diào)“定義域內(nèi)、區(qū)間、任意、都有”等關(guān)鍵因素，并進(jìn)一步提問：根據(jù)以上單調(diào)性的定義，是否所有函數(shù)都可以將定義域劃分成若干個(gè)相應(yīng)區(qū)間，使函數(shù)在每個(gè)區(qū)間上都有單調(diào)性？并舉例說明.

學(xué)生思考探索后，師生共同認(rèn)識(shí)下面的幾種函數(shù)例子：某個(gè)區(qū)間上為常數(shù)的函數(shù)、定義域不是區(qū)間的函數(shù)，也可以回顧教材第22頁圖1.2和第23頁練習(xí)2圖D等給予形象說明.

2.2 點(diǎn)評(píng)

這樣的概念化過程，使學(xué)生自覺從函數(shù)圖像的變化形成了增函數(shù)和減函數(shù)的概念，有利于深刻印象和牢固掌握.同時(shí)，在概念化過程中，潛移默化地取得了以下教學(xué)效果：

1)注意到了容易忽視的定義域和區(qū)間是討論單調(diào)性的前提條件；

2)體現(xiàn)了函數(shù)與圖像相輔相成的密切關(guān)系，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖像的重要性，為利用圖像解決函數(shù)問題和后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)提供了思想方法；

3)進(jìn)一步體現(xiàn)了研究數(shù)形關(guān)系是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容和數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想方法.

值得注意的是，概念化教學(xué)時(shí)給出的問題情景和提出的有關(guān)問題必須目標(biāo)明確、題意清晰、文字語言精確適當(dāng).否則，如果題意不明、設(shè)問不當(dāng)，就容易引起歧義，不但使學(xué)生難以形成正確的概念，反而會(huì)浪費(fèi)時(shí)間糾纏于無關(guān)的猜疑中.

比如，為了說明不是所有函數(shù)都有單調(diào)性的問題，許多教師經(jīng)常采用的是以下簡單的設(shè)問：

1)是否所有的函數(shù)都有單調(diào)性？

1.2.2 PPG組排除標(biāo)準(zhǔn) （1）屈光間質(zhì)中重度渾濁，（2）伴有非青光眼性視神經(jīng)病變或視網(wǎng)膜疾病，（3）屈光度球鏡≥±6D、柱鏡≥±2D。

2)舉出沒有單調(diào)性的函數(shù).

這2個(gè)設(shè)問事實(shí)上題意模糊，使得學(xué)生難以回答.因?yàn)閱握{(diào)性是對(duì)具體的區(qū)間而言的，離開具體的區(qū)間，就不能談單調(diào)性，如此設(shè)問反而使學(xué)生忽視了區(qū)間對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的重要性.筆者在聽課時(shí)，就經(jīng)常見到當(dāng)教師這樣設(shè)問時(shí)學(xué)生難以思考回答的情景，尤其是自主學(xué)習(xí)越好的學(xué)生越感到困惑.還有學(xué)生反問教師：y=x2-2x是否具有單調(diào)性？教師說有.這個(gè)學(xué)生又舉出了教材第23頁練習(xí)2的圖D代表的函數(shù)，問是否有單調(diào)性？教師就無法回答了.

因此教師在設(shè)計(jì)問題情景時(shí)，不能僅以自己的經(jīng)驗(yàn)習(xí)慣或順理成章的思維，來自以為是地設(shè)想學(xué)生的思維，要考慮到部分優(yōu)秀學(xué)生的思維或許比你更豐富縝密和準(zhǔn)確.當(dāng)課堂中遇到學(xué)生不順從教師原來的設(shè)想時(shí)，不能忽視或否認(rèn)學(xué)生的正確思維，強(qiáng)迫學(xué)生順從教師的思想去學(xué)習(xí)，這會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生不信任和厭倦感.

3 用聯(lián)想類比創(chuàng)設(shè)情景進(jìn)行概念化教學(xué)

教學(xué)內(nèi)容：正弦定理和余弦定理(選自《數(shù)學(xué)(必修5)》第1章第1.1節(jié)).

3.1 正弦定理

3.1.1 主要教學(xué)過程

教師給出問題情景：在△ABC中，已知角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊長分別為a，b，c，請(qǐng)同學(xué)們探究邊長a，b，c與對(duì)應(yīng)角A，B，C的關(guān)系.

1)由b=csinB，a=ccosB，a2+b2=c2，得到的仍是邊長關(guān)系，不符合要求.

教師指出：直角三角形有這樣對(duì)稱美的邊角關(guān)系.很顯然，另一類特殊三角形——正三角形也符合這種關(guān)系，那么能否推廣到銳角三角形呢？

在此基礎(chǔ)上，學(xué)生就既有目標(biāo)(邊與角的正弦比是否相等)，又有興趣地積極參與到探求之中，而且容易想到借助直角三角形解決問題.

圖3 圖4

圖5

教師進(jìn)一步設(shè)問：如果是鈍角三角形呢？不妨設(shè)B是鈍角(如圖5所示).這時(shí)，學(xué)生們都能大膽地作高CD嘗試：

CD=asin(180°-B)=asinB=bsinA,

同樣有

至此，學(xué)生形成了一般三角形中邊角關(guān)系的重要概念：邊與對(duì)應(yīng)角正弦比相等.

3.1.2 點(diǎn)評(píng)

這樣的概念化過程，讓學(xué)生體會(huì)了“從特殊情況推廣到一般結(jié)論的類比、歸納”等數(shù)學(xué)推理方法和“從幾何圖形到數(shù)量關(guān)系”的數(shù)學(xué)思想，有利于概念的理解掌握和應(yīng)用，也有利于后續(xù)的學(xué)習(xí).

值得注意的是概念化的目的是讓學(xué)生有效地形成概念.因此在教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)密切關(guān)注學(xué)生的思考情況，當(dāng)觀察到學(xué)生無從入手時(shí)，要及時(shí)予以適當(dāng)?shù)奶崾?，以保證概念化過程順利、高效地進(jìn)行.

3.2 余弦定理

3.2.1 主要教學(xué)過程

教師給出問題情景：由正弦定理可知，已知△ABC的一些邊長和角，就可以求出其他的邊長和角，即用一些邊長和角可以確定△ABC的大小.請(qǐng)同學(xué)們用邊長a，b，c和對(duì)應(yīng)角A，B，C為條件確定△ABC有幾種類型？其中哪些類型可以用已學(xué)的正弦定理解決？

學(xué)生思考后，提出了各種類型，師生一起歸納后，共識(shí)成以下4種類型：

1)已知2條邊1對(duì)角，求其余的邊和角；

2)已知2個(gè)角1對(duì)邊，求其余的邊和角；

3)已知2條邊1夾角，求其余的邊和角；

4)已知3條邊，求3個(gè)角.

其中類型1)和類型2)可以用已學(xué)的正弦定理解決，類型3)和類型4)不能用正弦定理解決.

教師進(jìn)一步明確問題情景：從上可見，要完整地解決三角形的邊角問題，僅有正弦定理還是不夠的.請(qǐng)同學(xué)們探究類型3)和類型4)的解決方法.

圖6

問題1 在如圖6所示的銳角△ABC中，已知邊長a，b和夾角C，求邊長c.

問題2 已知邊長a，b，c，求角C.

學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考和相互討論后，提出了多種解決方法，其中由于正弦定理概念化教學(xué)的良好基礎(chǔ)，大多數(shù)學(xué)生與正弦定理的推理進(jìn)行類比、聯(lián)想，從而得到了優(yōu)于教材給出的不同方法：

如圖7，作高AD⊥BC，則

AD=bsinC，CD=bcosC.

在Rt△ADB中，因?yàn)?/p>

AB2=AD2+DB2=AD2+(BC-CD)2，

所以

c2=(bsinC)2+(a-bcosC)2,

即

c2=a2+b2-2abcosC.

圖7 圖8

這樣就解決了問題1.教師進(jìn)一步問：如果C是鈍角呢？

如圖8，同樣有

AD=bsin(180°-C)=bsinC，

CD=bcos(180°-C)=-bcosC,

從而

AB2=AD2+BD2=AD2+(BC+CD)2,

得

c2=(bsinC)2+(a-bcosC)2，

即

c2=a2+b2-2abcosC.

因此，對(duì)一般三角形，這個(gè)結(jié)論都成立.將此公式變形為

問題2也得到了解決.

也有學(xué)生提出了類似于教材給出的方法：利用向量方法或直角坐標(biāo)系方法，教師給予整理、介紹、點(diǎn)評(píng)(略).至此，形成了余弦定理的概念，并明確了用其解決三角形的2類問題.

3.2.2 點(diǎn)評(píng)

這種概念化教學(xué)明顯增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生主動(dòng)參與概念的探究形成過程.其概念化過程和結(jié)論是學(xué)生自主、自覺、自然的類比、聯(lián)想、思考、探究得到的，不但自主形成了余弦定理概念，而且思維活躍、方法靈活.在概念化過程中輕松自然地解決了本節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn)問題，即解三角形的幾種分類、變形和正弦、余弦定理的應(yīng)用，高效地完成了本節(jié)的教學(xué)任務(wù).

值得注意的是，在概念化教學(xué)過程中，往往能發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思想和方法好于教材給出的，如在本節(jié)余弦定理的推導(dǎo)過程中，延續(xù)正弦定理的推導(dǎo)方法并利用直角三角形的推導(dǎo)方法就明顯好于教材給出的向量方法和直角坐標(biāo)系方法.

4 用概念的延續(xù)擴(kuò)展創(chuàng)設(shè)情景進(jìn)行概念化教學(xué)

教學(xué)內(nèi)容：任意三角形的三角函數(shù)(選自《數(shù)學(xué)(必修4)》第1章第1.2.1節(jié)).

4.1 主要教學(xué)過程

圖9 圖10

4.2 點(diǎn)評(píng)

這樣的概念化教學(xué)過程彌補(bǔ)了教材讓學(xué)生被動(dòng)接受三角函數(shù)定義的不足，使得三角函數(shù)的概念由學(xué)生根據(jù)已學(xué)知識(shí)的延續(xù)類比、自主探索而自然形成，從而更有利于概念的牢固掌握，而且關(guān)于三角函數(shù)后續(xù)的相關(guān)知識(shí)也能自然而然地得到.

比如，由定義形成的過程容易得到正弦、余弦、正切值在各象限內(nèi)的符號(hào)(學(xué)生自主填表并探究，表格參見教材第13頁).又由x2+y2=r2，自然得到同角三角函數(shù)的2種基本關(guān)系式：

總之，概念化教學(xué)有利于學(xué)生深刻理解、牢固掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，形成自主探究、創(chuàng)新創(chuàng)造思想，鍛煉數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.希望借助本文，拋磚引玉，進(jìn)一步與同行們討論和實(shí)踐.

2017-03-03；

2017-04-03

許欽彪(1962-)，男，浙江紹興人，浙江省特級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育和教學(xué)方法.

O12

A

1003-6407(2017)06-01-06