潛移默化悟模型 明辨化歸求最值*

●李海兒 (蛟川書院 浙江寧波 315200)

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潛移默化悟模型 明辨化歸求最值*

●李海兒 (蛟川書院 浙江寧波 315200)

文章以如何探究動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為出發(fā)點(diǎn)，通過從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)造“線段角模型”，從而更好地幫助學(xué)生探究動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，明確求解“線段的最值問題”的方向，有效節(jié)省時(shí)間.

動(dòng)點(diǎn)；路徑；最值；四點(diǎn)共圓

0 引言

涉及動(dòng)點(diǎn)的幾何最值問題是近幾年中考的熱點(diǎn)之一.這類問題綜合性強(qiáng)、難度大，能全面考查學(xué)生對平面幾何問題的解決能力，各省、市中考時(shí)常將其作為壓軸題.解決這類問題最常用的一種方法是：首先尋找動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，其次借助“兩點(diǎn)間線段最短”“垂線段最短”等知識(shí)來求最值.但對學(xué)生來說，在幾何法中“如何確定一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑”往往是一個(gè)難點(diǎn).在教學(xué)過程中常呈現(xiàn)出一系列的問題,如：如何尋找這類問題的突破口？如何巧妙地構(gòu)造一個(gè)通用的模型進(jìn)行求解？如何將模型與問題相結(jié)合來尋找動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑？如何根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑來求最值？在模型的構(gòu)造和應(yīng)用過程中如何滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想？

基于對上述問題的探索與思考，筆者選擇了“1個(gè)定點(diǎn)、2個(gè)動(dòng)點(diǎn)”的相關(guān)問題進(jìn)行深入研究，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了這節(jié)解題教學(xué)探究課，并且在第43屆浙江省寧波市“三江名師初中數(shù)學(xué)經(jīng)典優(yōu)質(zhì)課教學(xué)藝術(shù)展示”活動(dòng)中進(jìn)行了展示.本節(jié)探究課主要以學(xué)生為主體，教師引導(dǎo)學(xué)生從動(dòng)中找靜、靜中找動(dòng)、動(dòng)靜結(jié)合，從特殊到一般去歸納總結(jié)，從而完成“悟模型”；建立模型之后要學(xué)會(huì)“用模型”，并且感受模型的巧妙之處；同時(shí)還要學(xué)會(huì)“拓展模型”，以此來提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和探究能力.

1 問題呈現(xiàn)

教學(xué)是一個(gè)由簡到難、由特殊到一般的循序漸進(jìn)過程，為了讓學(xué)生能夠順利地投入到學(xué)習(xí)過程，筆者首先選取“2個(gè)動(dòng)點(diǎn)與1個(gè)定點(diǎn)之間的距離相等，且2條線段構(gòu)成的夾角為直角”這一特殊情況進(jìn)行引入.

引例 如圖1，已知點(diǎn)A(0,5)，點(diǎn)B是x軸上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作CA⊥AB，且CA=AB．若點(diǎn)B沿著x軸所在的直線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C也隨之運(yùn)動(dòng)，則線段OC的最小值為______．

圖1

教師讓學(xué)生認(rèn)真觀察定點(diǎn)A、動(dòng)點(diǎn)B,C以及它們之間的連線AB,AC，并自主思考，片刻之后給出問題1～5.

問題1 要探究哪個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑?

(學(xué)生都知道是點(diǎn)C.)

為了體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，筆者在實(shí)踐教學(xué)中讓學(xué)生以4人一小組進(jìn)行討論，并嘗試以畫圖的方式進(jìn)行觀察和探究，猜想“當(dāng)點(diǎn)B沿著x軸所在的直線運(yùn)動(dòng)時(shí)”點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑.通過觀察圖形，學(xué)生大都猜測該運(yùn)動(dòng)路徑是一條直線，但不能用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言給出證明.為了克服這一難點(diǎn)，筆者給學(xué)生設(shè)置一系列問題，以問題串的形式循序漸進(jìn)，讓學(xué)生從動(dòng)中找靜、靜中找動(dòng)，從而確定點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑.

問題2 (動(dòng)中找靜)在點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過程中，圖形中有哪些量不變？

該問題看似簡單，實(shí)則非常有效，不僅能讓學(xué)生再一次厘清題意，而且讓學(xué)生學(xué)會(huì)從動(dòng)中找靜——找出在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中存在的不變量，從而以不變量為出發(fā)點(diǎn)去尋找解決問題的突破口.

生1：AB=AC，∠BAC=90°，OA=5.

雖然點(diǎn)C隨著點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，但是點(diǎn)B,C與定點(diǎn)A之間的連線AB，AC垂直且相等，即學(xué)生找到的不變量AB=AC和∠BAC=90°.為了降低問題的難度，筆者以這2個(gè)不變量為基礎(chǔ)，結(jié)合旋轉(zhuǎn)變換，引導(dǎo)學(xué)生去觀察另外一個(gè)不變量OA=5.

問題3 (靜中找動(dòng))AC(點(diǎn)C)可以看成是將線段AB(點(diǎn)B)繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，那么將不變量AO作相同的旋轉(zhuǎn)變換，能否得出一些等量關(guān)系？

(學(xué)生以小組為單位畫圖討論.)

圖2

生2：如圖2，將不變量AO(定點(diǎn)O)繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE(定點(diǎn)E)，聯(lián)結(jié)CE，可得△ABO≌△ACE，進(jìn)而得到∠CEA=∠BOA=90°.

通過動(dòng)中找靜、靜中找動(dòng)的行為過程，讓學(xué)生完全投入到學(xué)習(xí)探究過程，激發(fā)起他們對新知識(shí)的渴望和興趣.為了引導(dǎo)學(xué)生尋找點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑，教師讓學(xué)生仔細(xì)觀察旋轉(zhuǎn)AO之后新得到的定點(diǎn)E和不變量∠CEA的特點(diǎn)，并引出如下問題：

問題4 能否證明點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑是一條直線？

生3：因?yàn)辄c(diǎn)A和點(diǎn)E都是固定的點(diǎn)，又∠CEA=90°為定值，所以點(diǎn)C一定落在過點(diǎn)E且垂直于線段AE的直線上，從而可得點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑是一條直線，即過點(diǎn)E且垂直于線段AE的直線為點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑.

(教師給予表揚(yáng)并再次給學(xué)生解釋.)

問題5 確定點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑是一條直線后，你能否求出線段OC的最小值？

生(眾)：可以利用垂線段最短求解.當(dāng)OC垂直于點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑時(shí)取到最小值，即OC的最小值為5.

教學(xué)實(shí)踐表明:在學(xué)生認(rèn)知的困惑點(diǎn)和思維障礙處設(shè)置一系列問題，以問題串的形式循序漸進(jìn)，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下從動(dòng)中找靜、靜中找動(dòng)，從而確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是一種非常有效的教學(xué)手段.這樣的教學(xué)讓師生的思維在問題引導(dǎo)下層層深入、深刻而持久，不僅能夠讓學(xué)生全身心投入到問題的探究過程中，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，而且讓學(xué)生體驗(yàn)破解難題的成就感和獲得新知的愉悅感，為接下來的模型探究奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2 探索發(fā)現(xiàn)

通過探究式學(xué)習(xí)，引例雖然得到了解決，但是能否將其一般化呢？能否構(gòu)造出一個(gè)通用的模型來覆蓋這類問題？讓學(xué)生真正做到“做一題、會(huì)一類”，不僅能有效提高學(xué)習(xí)效率，而且還可以提高發(fā)散性思維.為了順利過渡，并抽象出通用的模型，筆者仍然采用了以問題為導(dǎo)向的小組合作式探究教學(xué)，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、總結(jié)模型，而教師只是起引導(dǎo)作用，這更加有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的訓(xùn)練.2.1 初露鋒芒

從具體到一般的過程是一個(gè)質(zhì)的飛躍，學(xué)生很難站在這樣的高度和深度去看問題，如此教師的引導(dǎo)方式成了學(xué)生能否抽象、總結(jié)出通用模型的關(guān)鍵.筆者首先給學(xué)生重現(xiàn)解決引例的關(guān)鍵點(diǎn)：尋找動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑，其次分析并總結(jié)在引例中尋找點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)路徑時(shí)只用到了條件“定點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)B，C，CA⊥AB，CA=AB”，并沒有用到“直角坐標(biāo)系或A(0,5)”這一條件，也就是說“直角坐標(biāo)系”這一條件對尋找動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑并沒有作用.因此,教師告知學(xué)生接下來的主要任務(wù)：在引例的基礎(chǔ)上，探究尋找動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的一般幾何方法和模型(沒有直角坐標(biāo)系)；最后，教師設(shè)置了“題目改編”任務(wù)，讓學(xué)生帶著任務(wù)去探究方法和模型.

題目改編 能否對引例中的條件進(jìn)行簡單改編，從而得到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑是一條直線.

(學(xué)生進(jìn)行小組討論.)

生4：已知點(diǎn)A是定點(diǎn)，點(diǎn)B，C是動(dòng)點(diǎn)，CA⊥AB且CA=AB，若點(diǎn)B在一條直線運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)C也在一條直線運(yùn)動(dòng).

(這對學(xué)生的認(rèn)知來說是一次質(zhì)的飛躍，教師應(yīng)給予充分的表揚(yáng).)

通過學(xué)生的自主探究和總結(jié)，模型雖然初露鋒芒，但為了將其更加一般化，教師繼續(xù)設(shè)問.

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生(眾)：可以.

此時(shí)模型初步形成，但教師還應(yīng)及時(shí)給學(xué)生分析解釋模型的特點(diǎn).筆者在教學(xué)實(shí)踐中通過幾何畫板演示的方式幫助學(xué)生進(jìn)一步直觀感知?jiǎng)狱c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，這是對前面證明的進(jìn)一步鞏固和提升.同時(shí)，筆者認(rèn)為∠BAC是一個(gè)定角，且2條邊不是射線而是線段，因此形象地將這個(gè)模型命名為“線段角模型”.

圖3

為了將模型更好地應(yīng)用于問題求解，教師在初等模型的基礎(chǔ)上繼續(xù)設(shè)問.

問題7 假設(shè)模型中的直線m與n相交于點(diǎn)F，你能否判斷出點(diǎn)A,B,C,F之間的關(guān)系？

生5：因?yàn)橥饨堑扔趦?nèi)對角，所以點(diǎn)B,A,C,F共圓.

教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上及時(shí)強(qiáng)調(diào)這4個(gè)點(diǎn)分別是線段角的3個(gè)頂點(diǎn)和直線m,n的交點(diǎn).

2.2 乘勝追擊

為了將模型更加一般化，教師在學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)上乘勝追擊，繼續(xù)設(shè)問.

問題8 如圖4，能否將初等模型中的∠BAC=90°推廣成一般情形，即當(dāng)∠BAC=θ(其中0°<θ<180°)時(shí)，結(jié)論是否依然成立？

圖4 圖5

此時(shí)∠BAC不是一個(gè)特殊的角，而是一個(gè)一般的角θ(其中0°<θ<180°).根據(jù)引例奠定的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，教師引導(dǎo)學(xué)生從“動(dòng)中找靜、靜中找動(dòng)”，從而確定點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑.實(shí)踐證明：學(xué)生很容易想到先做定點(diǎn)A到定直線m的距離AD(如圖5)，并且發(fā)現(xiàn)AD始終是不變的；其次將線段AD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ后得到定點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CE可得△ABD≌△ACE，進(jìn)一步可知∠CEA=∠BDA=90°，從而可以確定點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑為過定點(diǎn)E且垂直于AE的直線n.此外，根據(jù)△ABD≌△ACE還可以得到∠ACE=∠ABD，若假設(shè)直線m與n的交點(diǎn)為點(diǎn)F,則可得點(diǎn)B，A，C，F(xiàn)共圓.

2.3 攻堅(jiān)克難

通過乘勝追擊，將初等模型中的角(∠BAC)一般化，為了得到更好的模型，教師繼續(xù)設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生將線段(AB,AC)之間的關(guān)系一般化.

2.4 歸納提升

教師引導(dǎo)學(xué)生完成模型的探究之后，及時(shí)進(jìn)行歸納提升，抽象出線段角模型.

1)若點(diǎn)B在一條直線m上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)C也在一條直線n上運(yùn)動(dòng).

2)若假設(shè)直線m與n的交點(diǎn)為點(diǎn)F,則點(diǎn)B,A,C,F共圓.

在感悟“線段角模型”的整個(gè)過程中，教師采用從“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察和分析步步深入，自覺遷移到一般問題的研討之中，從而提高學(xué)生的思維品質(zhì).通過從“動(dòng)中找靜、靜中找動(dòng)”的思維活動(dòng)，不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)將“動(dòng)”的問題轉(zhuǎn)化為“靜”的問題，而且學(xué)會(huì)將“靜”的問題轉(zhuǎn)化為“動(dòng)”的問題，實(shí)現(xiàn)“動(dòng)靜結(jié)合”，從而增強(qiáng)了學(xué)生的邏輯思維能力.

3 應(yīng)用模型

通過探究建立了“線段角模型”之后，教師要適時(shí)點(diǎn)撥：“線段角模型”可以有效地幫助判斷動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是直線n，并且由前面的證明不難發(fā)現(xiàn)這條直線n肯定經(jīng)過動(dòng)點(diǎn)C，為了具體確定這條直線，只需要再找到一個(gè)特殊位置的點(diǎn)即可.但這個(gè)特殊位置的點(diǎn)不一定好找，得具體問題具體分析，從而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入模型的應(yīng)用階段.

例1 如圖6，邊長為6的等邊△ABC中，E是對稱軸AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EC，將線段EC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到FC，聯(lián)結(jié)DF，則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，DF的最小值是______．

圖6 圖7

說明 在例1的講解過程中發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都能直接應(yīng)用“線段角模型”的第1)個(gè)結(jié)論，即能判斷到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是一條直線，但是尋找具體直線的過程并不熟練，很多學(xué)生只能找到點(diǎn)F.這時(shí)教師要進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)，請學(xué)生繼續(xù)從“靜中找動(dòng)”，即仔細(xì)觀察“當(dāng)點(diǎn)E沿著AD運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到哪個(gè)點(diǎn)”，從而幫助學(xué)生順利找到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑.例題講解完畢后，教師進(jìn)行適當(dāng)小結(jié)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)完成本題的3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：應(yīng)用“線段角模型”的第1)個(gè)結(jié)論判斷動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑；確定具體直線的過程和方法；應(yīng)用“線段角模型”的第2)個(gè)結(jié)論求解角度問題，從而求出最值.

例2 如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，動(dòng)點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，聯(lián)結(jié)AD，以AD為斜邊向右下方作等腰Rt△ADG.若點(diǎn)F在線段BC上，且CF=2，則線段FG的最小值是______．

圖8 圖9

說明 學(xué)生通過例1的求解已經(jīng)積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，在例2的求解過程中明顯從容淡定.首先在圖形中尋找“線段角模型”，其次確定直線并利用四點(diǎn)共圓求出角度，最后求得線段FG的最小值.通過這2個(gè)例題的求解，學(xué)生對“線段角模型”有了更深刻的認(rèn)識(shí)，感受到了應(yīng)用“線段角模型”求解幾何中最值問題的巧妙之處.

圖10

完成2個(gè)例題的探究之后，及時(shí)增加練習(xí)題用來鞏固“線段角模型”及其結(jié)論，將紛繁復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)變化過程進(jìn)一步條理化、明朗化、清晰化，讓不同的學(xué)生有不同程度的收獲.

練習(xí)1 如圖10，在直角坐標(biāo)系xOy中，AO=6，∠ABO=120°,AB=BO,點(diǎn)C為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)作點(diǎn)D使AD=DC，∠ADC=120°，聯(lián)結(jié)OD，則OD的最小值為______.

4 深入探究

一個(gè)基本問題得到解決之后，應(yīng)該對其繼續(xù)深入探究，嘗試找到更一般的普遍規(guī)律，讓學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)會(huì)思考和深入探究，相信這才是課堂教學(xué)最為根本的目標(biāo).因此，筆者設(shè)置了相應(yīng)的課后練習(xí)題供學(xué)生進(jìn)一步探究，從而實(shí)現(xiàn)對模型的進(jìn)一步拓展.

羅增儒老師認(rèn)為：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中真正發(fā)生數(shù)學(xué)的地方都無一例外地充滿著數(shù)學(xué)解題活動(dòng).”在數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家眼里，解題和解題教學(xué)有著舉足輕重的地位，解題教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分，因此，筆者認(rèn)為廣大教師應(yīng)該注重解題教學(xué)的藝術(shù)，從而收到事半功倍的效果.正是秉著這樣的一種信念，筆者設(shè)計(jì)了這節(jié)解題教學(xué)探究課，主要是想通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，與學(xué)生分享筆者探究的一種幾何模型——線段角模型，希望為學(xué)生尋找動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑指明方向，讓學(xué)生感受到模型的巧妙之處，有效節(jié)約解題時(shí)間.本探究通過引例的證明抽象出“線段角模型”的初等模型，利用特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法證明了“線段角模型”的一般性結(jié)論，讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想—證明—應(yīng)用—拓展”等數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而培養(yǎng)學(xué)生的問題探究能力和解決能力.

2017-02-27；

2017-03-28

李海兒(1984)，女，浙江舟山人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)06-45-04