在分類中辨析數(shù)學(xué)概念*
——以“空間幾何體的結(jié)構(gòu)”的教學(xué)設(shè)計為例

●張 磊 (鄞州高級中學(xué) 浙江寧波 315100)

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在分類中辨析數(shù)學(xué)概念*
——以“空間幾何體的結(jié)構(gòu)”的教學(xué)設(shè)計為例

●張 磊 (鄞州高級中學(xué) 浙江寧波 315100)

文章通過分類辨析，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)多面體與旋轉(zhuǎn)體的相關(guān)概念，體會認(rèn)識一個新的數(shù)學(xué)概念的“基本套路”，鼓勵學(xué)生自主探究棱柱等幾何體的結(jié)構(gòu)特征與相關(guān)概念.整個教學(xué)設(shè)計充分體現(xiàn)“以生為本”，并以寧波本土建筑與世界著名建筑為載體，滲透數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)美.

以生為本;滲透學(xué)法;數(shù)學(xué)文化;分類辨析

前不久，浙江省寧波市鄞州區(qū)教育局教研室組織了以“生本型課堂”為主題的教研交流活動，內(nèi)容取材于人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(必修2)》第1.1節(jié)“空間幾何體的結(jié)構(gòu)”.筆者的教學(xué)設(shè)計“在分類中辨析數(shù)學(xué)概念，從生活中領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美”得到了與會教師的一致好評，現(xiàn)將其整理成文，與同行分享.

1 課堂簡錄

1.1 創(chuàng)設(shè)情境,滲透文化

師：許多人認(rèn)為數(shù)學(xué)是抽象的，但是偉大的數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說過：“數(shù)學(xué)之美是很自然明白地擺著的.”首先，讓我和大家一起領(lǐng)略明擺著的數(shù)學(xué)美.

教師通過PPT依次播放寧波的標(biāo)志性建筑：鄞州銀行總行、天一廣場的天主教堂、中山西路上的天寧寺塔、天一廣場的星巴克咖啡店等，并介紹這些建筑中隱藏的數(shù)學(xué)美.

師：可能有的學(xué)生會問，這些不是建筑嗎，跟數(shù)學(xué)美有什么關(guān)系.其實(shí)17世紀(jì)之前，建筑學(xué)一直是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一部分，因?yàn)樵S多建筑都是以數(shù)學(xué)中的幾何體為模型建造的.你能從講臺上的幾何體模型找到這些建筑的雛形嗎？

教師事先準(zhǔn)備了如圖1所示的12個幾何體模型實(shí)物.請學(xué)生上臺挑選對應(yīng)的模型，并進(jìn)行解釋.

師：其實(shí)建筑中的美就在于對應(yīng)的幾何體具有美的結(jié)構(gòu)！那么什么是空間幾何體呢？

圖1

設(shè)計意圖 從哈爾莫斯的名言引入本節(jié)課，設(shè)置懸念.上公開課要接地氣，貼近學(xué)生的實(shí)際，這樣才能產(chǎn)生共鳴，以寧波的標(biāo)志性建筑引入情景，一方面讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)美，學(xué)做一位生活的有心人；另一方面，起到了活躍氣氛的效果，為后面學(xué)生主動參與課堂打下基礎(chǔ)，更起到了“讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的歷史，體會數(shù)學(xué)的重要性”的目的.

1.2 善于分類，辨析概念

師：如果我們只考慮物體的形狀與大小，而不考慮其他因素，那么這些物體抽象出來的空間圖形叫做空間幾何體.其實(shí)，空間幾何體還有很多，由于結(jié)構(gòu)不同，它們有各自的美.請大家以小組為單位，根據(jù)幾何體的不同結(jié)構(gòu)特征，將講臺上的12個幾何體進(jìn)行分類，并說明每一類具有怎樣的結(jié)構(gòu)特征.

學(xué)生以小組為單位進(jìn)行討論.有學(xué)生上臺挑選，對幾何模型進(jìn)行了分類，并說明了理由.

生1：第Ⅰ類：(2)(3)(4)(5)(7)(8)(10)(11)(12)；第Ⅱ類：(1)(6)(9)，理由為第Ⅰ類中都有角，第Ⅱ類沒有角.

生2：第Ⅰ類：(3)(4)(5)(7)(8)(10)(11)(12)；第Ⅱ類(1)(2)(6)(9)，如圖2，理由為第Ⅰ類只由平面構(gòu)成，第Ⅱ類由平面和曲面構(gòu)成.

圖2

教師將學(xué)生的分類結(jié)果以及理由書寫在黑板上.

師：2位同學(xué)視角不一樣，分類都非常正確，而且理由充分.書本中的分類與生2一樣，所謂英雄所見略同，我們把生2的第Ⅰ類叫做多面體，而且多面體的定義與這位同學(xué)給出的理由相吻合.多面體是由若干個平面多邊形圍成的幾何體，圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，相鄰2個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).生2將第Ⅱ類的特征總結(jié)為由平面與曲面構(gòu)成，也非常準(zhǔn)確，但你有沒有發(fā)現(xiàn)這類幾何體還有一個更加漂亮的結(jié)構(gòu)特征？

生3：這類幾何體可以由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成.

師：請舉例說明.

生3：(1)可由長方體旋轉(zhuǎn)而成，(2)可由直角三角形旋轉(zhuǎn)而成，(6)可由半圓旋轉(zhuǎn)而成，(9)可由梯形旋轉(zhuǎn)而成.

師：非常好.根據(jù)這類特征，我們將這些幾何體取名為旋轉(zhuǎn)體.旋轉(zhuǎn)體是由一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體,定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.

教師通過動畫演示旋轉(zhuǎn)體的形成過程，讓學(xué)生加深對旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的印象.

設(shè)計意圖 通過大量模型與動畫演示，讓學(xué)生形成直觀的認(rèn)識，符合學(xué)生從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律.在分類過程中，讓學(xué)生辨析多面體與旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，由于標(biāo)準(zhǔn)不同，會出現(xiàn)不同的“正確答案”，因此教師要將所有學(xué)生的回答板書于黑板上，并進(jìn)行肯定，從而激發(fā)學(xué)生探索的欲望.

1.3 類比分析，探究概念

師：由于時間關(guān)系，本課節(jié)我們只能研究第Ⅰ類多面體.同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)，雖然(3)(4)(5)(7)(8)(10)(11)(12)都屬于多面體這個大家族，但是它們各有特點(diǎn).以小組為單位，模仿剛才多面體、旋轉(zhuǎn)體的分類，對這些多面體再次進(jìn)行分類，并進(jìn)行探究.

學(xué)生以小組為單位進(jìn)行討論，教師進(jìn)行巡視，最后進(jìn)行交流.接著學(xué)生上臺，根據(jù)自己的分類，將講臺上的實(shí)物模型進(jìn)行分類.

圖3

生4：如圖3所示進(jìn)行分類，第Ⅰ類有平行且全等的2個面，第Ⅱ類不存在平行的2個面，第Ⅲ類有平行的2個面，但是這2個面不全等.

師：很好！在數(shù)學(xué)上，我們把第Ⅰ類叫做棱柱，第Ⅱ類叫做棱錐，第Ⅲ類叫做棱臺.你能根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對比棱錐、棱臺的不同點(diǎn)，給棱柱下個定義嗎？

生5：有平行且全等的2個面的幾何體叫做棱柱.

師：滿足“有平行且全等的2個面”有“資格”叫做棱柱嗎？請同學(xué)們舉例說明.

生6：不能，比如圖1中的圓柱.

師：你能進(jìn)行補(bǔ)充，并給出棱柱的定義嗎？

生6：具有平行且全等的2個面、其他面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱.

圖4

師：請大家思考，同時符合這2個條件的幾何體有“資格”叫做棱柱嗎？請舉例說明.

生7：不能！學(xué)生上臺，將講臺上的2個斜三棱柱(12)拼接在一起，形成了如圖4所示的幾何體.

學(xué)生恍然大悟.

師：你能給出棱柱的定義嗎？

生7：具有平行且全等的2個面，其他面都是平行四邊形，旁邊棱都平行.

師：你們同意生7的說法嗎？不同意的請舉例說明.

全體學(xué)生：同意！

師：我也同意，但是數(shù)學(xué)概念的敘述講究簡潔美，我認(rèn)為這些條件中有重復(fù).

生8：“平行四邊形”與“旁邊棱都平行”重復(fù)，平行四邊形可以改成四邊形.

師：你們同意生8的說法嗎？

全體學(xué)生：同意！

師：根據(jù)同學(xué)們的集體智慧，我們得出了棱柱的概念.一般地，有2個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰2個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.棱柱中，2個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn).

之后，教師也給出了棱錐、棱臺的定義與其相關(guān)概念.

設(shè)計意圖 對于棱柱概念的學(xué)習(xí)是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).為了突破難點(diǎn)，體現(xiàn)“生本”課堂，本教學(xué)設(shè)計從多面體的分類出發(fā)，總結(jié)概括出棱柱的結(jié)構(gòu)特征，并進(jìn)一步進(jìn)行提問“如果你來定義棱柱的概念，你會如何定義”，在定義棱柱概念的過程中，反復(fù)篩選能作為棱柱定義的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)生參與討論與舉例，最終得出棱柱最精簡的定義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與簡潔美.上述設(shè)計步步為營、環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)研究過程，在獨(dú)立思考與合作交流中不斷經(jīng)歷思維的碰撞，獲得良好的情感體驗(yàn)，達(dá)到一種師生、生生和諧共振的境界.

1.4 拓展延伸，鞏固概念

師：雖然這些幾何體都從屬于棱柱“大家庭”，但是它們性格各異，也具有不同的結(jié)構(gòu)特征.你能再對這些棱柱分類嗎？

生9：有的棱柱是直的，有的棱柱是斜的.

師：根據(jù)側(cè)棱與底面的位置關(guān)系分，側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱；側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.

生10：側(cè)棱條數(shù)不同.

師：側(cè)棱條數(shù)不同，取決于底面多邊形頂點(diǎn)個數(shù).棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……我們把這樣的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

圖5

生11：我認(rèn)為如圖5所示的棱柱(5)(8)(10)比(12)看起來舒服，而且更加漂亮.

師：哪里讓你看上去比較舒服？

生12：它們是直棱柱，而且底面是正多邊形.

師：我們把底面是正多邊形的直棱柱，叫做正棱柱.

設(shè)計意圖 對于不同的棱柱對其結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行再次分類，不僅是對直棱柱、斜棱柱等概念的學(xué)習(xí)，更是對學(xué)習(xí)方法的鞏固.對學(xué)生來說，知識結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)能力都是一次很好的提升.

1.5 自談收獲,深化概念

師：請同學(xué)們談?wù)劚竟?jié)課的收獲和感受.

生13：從幾何體分類，知道了什么叫做多面體、旋轉(zhuǎn)體、棱柱等，還知道根據(jù)不同的特征棱柱也可以分許多類.

生14：我們學(xué)的幾何體可以從建筑中尋找到雛形，要當(dāng)一名建筑師，對幾何體的結(jié)構(gòu)特征要非常熟悉.

生15：我發(fā)現(xiàn)，我們寧波有許多漂亮的建筑，但是平常都沒注意到，生活中要做一位有心人.

師：大家總結(jié)得很好！上課開始階段，欣賞并領(lǐng)略了寧波的建筑之美，本節(jié)課接近尾聲之時，我們一起欣賞世界上的建筑之美，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)之美.

教師PPT播放世界上有名的建筑：北京鳥巢體育館、巴黎羅浮宮、北京水立方、印度卵形大廈、英國塔橋、阿拉伯酒店、紐約雙子塔、印度泰姬陵……

2 課后感悟

2.1 以生為本是教學(xué)設(shè)計的根本

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)活動不應(yīng)只限于對概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿和接受，獨(dú)立思考、自主探究、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.”“空間幾何體的結(jié)構(gòu)”作為一堂概念課，如果只靠教師在講臺上講解和演示，學(xué)生對空間幾何體的印象顯然不會深刻，也很難激起探究的興趣.筆者通過引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)幾何體的不同特征，對12個幾何體模型按照不同的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行不斷地分類，達(dá)到全生參與、全程參與的效果，加深了學(xué)生對各種幾何體概念的辨析.

皮亞杰認(rèn)為：“學(xué)生的思維還處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，還處在具體運(yùn)算階段，這個時期的學(xué)生思維雖已能抽象概括并進(jìn)行簡單推理，但整個過程還是不能離開具體事物進(jìn)行.”作為立體幾何的起始課，簡單的空間幾何體可看作學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的“啟蒙老師”，因此課程設(shè)計要力求起點(diǎn)低，筆者通過PPT、幾何體模型、動畫演示讓學(xué)生直觀地感知結(jié)構(gòu)特征，問題設(shè)置有梯度，如本節(jié)課設(shè)計了一系列的問題串和追問：“你能根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對比與棱錐、棱臺的不同點(diǎn)，給棱柱下個定義嗎？”“滿足有‘平行且全等的2個面’有‘資格’叫做棱柱嗎？請同學(xué)們舉例說明.”“你能進(jìn)行補(bǔ)充，并給出棱柱的定義嗎？”等等，使學(xué)生跳一跳就能夠得著，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

2.2 教學(xué)中要重視學(xué)法指導(dǎo)的滲透

授人以魚不如授人以漁，教育的重點(diǎn)在于學(xué)習(xí)方法的傳授，而不僅僅是書面知識的灌輸.“空間幾何體的結(jié)構(gòu)”作為章節(jié)起始課，是在學(xué)生已對空間幾何體有了感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生根據(jù)幾何體不同的結(jié)構(gòu)特征，歸納出多面體、旋轉(zhuǎn)體、棱柱等

定義，對幾何體建構(gòu)起理性的認(rèn)識，同時為后面分析點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系作好準(zhǔn)備，起到承上啟下的作用.本節(jié)課的重點(diǎn)不是介紹棱柱、棱錐等幾個相關(guān)概念，而是讓學(xué)生經(jīng)歷對學(xué)習(xí)對象進(jìn)行觀察、歸納、分析、概括、辨析的思維過程和認(rèn)識數(shù)學(xué)新對象的基本方法.在筆者的引導(dǎo)下，學(xué)生先是學(xué)習(xí)了多面體與旋轉(zhuǎn)體的相關(guān)概念，體會了認(rèn)識一個新的數(shù)學(xué)概念的“基本套路”，然后教師下達(dá)任務(wù)：學(xué)生類比多面體與旋轉(zhuǎn)體的學(xué)習(xí)，自主探究棱柱等幾何體的結(jié)構(gòu)特征與相關(guān)概念.這種類比的思維貫穿課堂始終，引領(lǐng)全局，一氣呵成，構(gòu)成了整堂課的主線[1].

2.3 課堂教學(xué)中讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美

筆者在教學(xué)過程中，時時引領(lǐng)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)美.比如“幾何體的美在于它有美的結(jié)構(gòu)特征”，這是數(shù)學(xué)的對稱美；比如在得出棱柱概念時，有學(xué)生說“具有平行且全等的2個面，其他面都是平行四邊形，旁邊棱都平行”可以成為棱柱的定義，但是筆者提出數(shù)學(xué)概念力求簡潔，引導(dǎo)學(xué)生去掉重復(fù)的條件，讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)的簡潔美.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)科學(xué)與人類社會發(fā)展之間的相互作用，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、人文價值”[2].

筆者從哈爾莫斯的名言開始本節(jié)課，設(shè)置懸念，以寧波的著名建筑物創(chuàng)設(shè)情境，并介紹這些建筑物的地址、歷史，使得本土文化在數(shù)學(xué)課堂上傳播，也使學(xué)生懂得數(shù)學(xué)來源于生活、用于生活，鼓勵學(xué)生做生活的有心人，發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)美.結(jié)尾處播放著名建筑物，鼓勵學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，以后能夠在建筑行業(yè)大展身手.

[1] 葉琪飛．滲透學(xué)法，讓學(xué)生的思維枝繁葉茂[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2015(7)：11-12．

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M]．北京：人民教育出版社，2003.

2017-02-15；

2017-03-16

張 磊(1987-)，男，浙江寧波人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.2

A

1003-6407(2017)06-14-04