以形助數(shù)之小心翼翼*

●王 博 陳華云 (溫州市第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 浙江溫州 325015)

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以形助數(shù)之小心翼翼*

●王 博 陳華云 (溫州市第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 浙江溫州 325015)

數(shù)形結(jié)合思想作為四大數(shù)學(xué)思想方法之一，在解題過(guò)程中發(fā)揮著巨大的作用.但圖形畢竟只是直觀認(rèn)知的工具，它不能替代邏輯證明.文章結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)歷，分選不同章節(jié)，從不同角度談?wù)勔孕沃鷶?shù)的缺陷、錯(cuò)因分析以及如何克服易錯(cuò)點(diǎn).

數(shù)形結(jié)合；謬誤；邏輯

數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想之一，借助于形的直觀，我們能在數(shù)的迷霧中看得更真切，時(shí)有“撥開(kāi)云霧見(jiàn)青天”之感.筆者從以形助數(shù)的缺陷出發(fā)，明示錯(cuò)誤，反思錯(cuò)因，從而糾正思維、操作上的謬誤，提高數(shù)形結(jié)合思想方法的理性認(rèn)識(shí).

案例1 圖像特征的認(rèn)識(shí)偏差

例1 設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R).

2)已知函數(shù)f(x)在[-1,1]上存在零點(diǎn)，且0≤b-2a≤1，求b的取值范圍.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第20題)

錯(cuò)解 由題意知

f(-2)=4-2a+b，

由

0≤b-2a≤1，

得

4≤f(-2)≤5.

又因?yàn)閒(0)=b，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“函數(shù)f(x)=x2+ax+b在x∈[-1,1]上存在零點(diǎn)，且4≤f(-2)≤5，求f(0)的取值范圍”.如圖1，考慮拋物線與2條線段AB,CD均產(chǎn)生交點(diǎn).由圖像可知，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,D時(shí)，f(0)有最小值，此時(shí)

得

b=-3.

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,D時(shí)，f(0)有最大值，此時(shí)

得

但是，結(jié)果跟構(gòu)圖一致嗎？如圖2所示，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,D時(shí)，f(0)的最大值為某一正數(shù).當(dāng)數(shù)形結(jié)合出現(xiàn)矛盾時(shí)，孰對(duì)孰錯(cuò)？若代數(shù)結(jié)果不能體現(xiàn)幾何特征，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像是怎樣的呢？當(dāng)我們隨手畫(huà)下拋物線時(shí)，這樣的拋物線是否滿足題意呢？

圖1 圖2

那么圖像該如何放置才能得到b=f(0)的最大值？不妨考慮拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D且與x軸相切的情況，如圖4所示，此時(shí)

解得

圖3 圖4

上述案例提醒我們：作圖時(shí)除了要考慮圖形的一般特征(如零點(diǎn)、定點(diǎn))外，還需要充分結(jié)合圖形的其他特征(如凹凸性、拐點(diǎn)).由于對(duì)圖形特征(這里指的是拋物線的開(kāi)口大小)的感知不準(zhǔn)確，可能會(huì)誤作草圖，從而走入歧途.

案例2 毫厘之處的認(rèn)知困難

例2 已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c，方程f(x)-x=0的2個(gè)根x1，x2滿足0

1)當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)，證明：x

(2015年浙江省數(shù)學(xué)學(xué)考模擬試題第22題)

分析 方程f(x)-x=0的根可視作函數(shù)y=f(x)與y=x圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).根據(jù)題意作出圖形(如圖5)，從圖中可以觀察到這樣的信息：

①當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)，x

②設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，則x1

這與我們要證明的命題不相符！

在考試過(guò)程中，筆者所任教班級(jí)有80%的學(xué)生作出了類似的草圖.由于與論題相悖，因此在嘗試構(gòu)建滿足題意的圖形上花費(fèi)了大量時(shí)間，當(dāng)摸索得到圖6時(shí)，心中依然充滿困惑：圖像在(0,1)上的單調(diào)性如何？圖5為什么不可能存在？

圖5 圖6

學(xué)生產(chǎn)生困惑的原因在于：上述問(wèn)題研究的區(qū)域過(guò)于狹小，交點(diǎn)與頂點(diǎn)的位置關(guān)系有“失之毫厘,謬以千里”之險(xiǎn).此時(shí)若借助于圖形解決問(wèn)題，則猶如螺螄殼里作道場(chǎng)，難度很大.正如華羅庚先生所言：形缺數(shù)時(shí)難入微，高見(jiàn)甚是.

正解 根據(jù)題意得

f(x)-x=(x-x1)(x-x2)，其中0

1)當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)，

(x-x1)(x-x2)>0，

因此

f(x)>x.

由于f(x)=(x-x1)(x-x2)+x，從而

f(x)-x1=(x-x1)(x-x2+1)<0，

即

f(x)

于是

x

2)由于f(x)=x2-(x1+x2-1)x+x1x2，得

案例3 分類討論的知一漏二

例3[1]設(shè)線段AB的2個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng)，M為線段AB的中點(diǎn)，|AB|=a(其中a為大于0的常數(shù))，求M到y(tǒng)軸的最短距離.

圖7

在直角梯形ABCD中，由梯形中位線定理及拋物線的定義得

從而

上述解法的不足之處在于作圖時(shí)先入為主，忽視了動(dòng)弦AB的活動(dòng)區(qū)域受參數(shù)a的限制.事實(shí)上，上述解法成立的條件是動(dòng)弦AB必過(guò)焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦中，以通徑最短，而拋物線y2=x的通徑為1，因此上述解法只有當(dāng)a=|AB|≥1時(shí)才能成立.而當(dāng)0

正解 設(shè)直線AB的方程為x=my+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立

消去x，得

y2-my-t=0，

從而

Δ=m2+4t>0.

由韋達(dá)定理得

y1+y2=m，x1+x2=m2+2t，

(1)

的最小值.又因?yàn)閨AB|=a，即

從而

化簡(jiǎn)得

令p=m2+1≥1，原問(wèn)題即求

的最小值.

從以上的分析可以看出，當(dāng)問(wèn)題需要分類討論時(shí)，僅從圖形出發(fā)解決問(wèn)題可能會(huì)分類不清，列舉不全.

案例4 直觀感知的邏輯缺失

( )

A.1 B.2 C.3 D.4

(2013年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

圖8 圖9

因此g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.而當(dāng)x→0時(shí)，

《課標(biāo)》中有這樣一段話：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一.人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程.這些過(guò)程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和作出判斷.數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨(dú)特的作用.

筆者通過(guò)以上實(shí)例，闡明圖解法在思維、操作上的謬誤，從而引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的解決既需要圖形的支撐，更需要邏輯的把關(guān)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用理性的思維、實(shí)事求是的態(tài)度解決問(wèn)題、認(rèn)識(shí)世界.

[1] 蔡小雄.更高更妙的高中數(shù)學(xué)思想與方法[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2017.

2017-02-14；

2017-03-16

王博(1991-)，男，浙江溫州人，中學(xué)二級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)06-18-03