淺析提升高中數(shù)學(xué)解題能力

張雯濤

摘要：筆者通過近幾年的高考命題發(fā)現(xiàn)，試題由知識立意向能力立意轉(zhuǎn)化，注重強(qiáng)化創(chuàng)新意識的考查和能力的培養(yǎng)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想與方法，注重知識的交匯，立意新穎、構(gòu)思巧妙，體現(xiàn)思維的發(fā)散性。在數(shù)學(xué)解題中我們不僅要注重通解通法，而且還要審準(zhǔn)題意，善于捕捉有用信息，巧妙解題。這就需要我們平時(shí)花大量的功夫去訓(xùn)練。因此在平時(shí)解題中要善于挖掘已知條件、善于提出新解法、善于使用特殊方法、善于對知識進(jìn)行遷移和拓展，從而迅速提高數(shù)學(xué)解題能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題能力；解題技巧

一、善于挖掘題設(shè)中的已知條件

在審題時(shí)，最忌諱的是不能準(zhǔn)確地捕捉有用信息，以致于既浪費(fèi)時(shí)間又解錯(cuò)題目。因此善于挖掘已知條件就能很快找到準(zhǔn)確的解題途徑。

例 方程 有兩個(gè)不等實(shí)根，其實(shí)根分別在（0，2）和（2，4）內(nèi)，求m的取值范圍。通過仔細(xì)審題，挖掘條件，我們可以做出如下草圖，從而將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù) ，這樣根據(jù)二次函數(shù)圖像和性質(zhì)可以得出 三個(gè)不同的方程求解，這樣就可以得出m值的范圍。

這是我在教學(xué)過程中使用的一個(gè)典型的數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用案例，不僅使得題目問題一目了然，而且通過相互轉(zhuǎn)化，提高了學(xué)生們的分析問題能力，從而鍛煉了學(xué)生們的解題能力和邏輯思維。

我們在日常教學(xué)中通過函數(shù)關(guān)系式把復(fù)雜問題簡單化，通過圖形等直觀的表現(xiàn)方法，以便于學(xué)生們能夠清楚地看圖，讀圖，提高了學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效性。

二、鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，啟發(fā)學(xué)生提出新的解法

在解題中，常規(guī)解法固然很重要，但適時(shí)地提出新的解法，一題多解會(huì)讓人耳目一新。新的解題思路會(huì)使學(xué)生拓寬視野和眼界。

例 已知 且 ，求 的取值范圍。

該題的常規(guī)解題思路是由 變形得 ，將其帶入所求的式子中，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，即求在 ， 的最小值 ，最大值1.細(xì)心的會(huì)根據(jù)已知條件巧設(shè) ， 于是，原式子就可以轉(zhuǎn)化為求 最值的問題；此外該題還可以通過轉(zhuǎn)化為基本不等式的問題進(jìn)行求解；還可以通過設(shè) ，將問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn) 到原點(diǎn)的距離，于是只需求線段 ，以及 ，上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大和最小距離就可，當(dāng)點(diǎn)C與A或B重合時(shí)， ，則 的最大值是1；當(dāng)OC⊥AB時(shí) ，則 的最小值是12 .

通過一題多解的訓(xùn)練能迅速提高解答數(shù)學(xué)習(xí)題能力，因此在課堂教學(xué)中，作為一線教師要學(xué)會(huì)用正確的思維方法解題之外，還必須養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)，主要是思維的靈活性，深刻性、廣闊性、批判性和創(chuàng)造性。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，發(fā)現(xiàn)疑問和明確解法往往是在一起進(jìn)行的，要勇于提出好的解題思路，要學(xué)會(huì)思考，有思方能促進(jìn)學(xué)習(xí)的深化，因此，我們在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)該把發(fā)現(xiàn)問題和解決數(shù)學(xué)問題放在首要地位，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)有“法”，解題要有多思路解法。

三、認(rèn)真審題，巧妙構(gòu)思，要善于使用特殊方法

在數(shù)學(xué)解題過程中，根據(jù)題設(shè)的條件，巧妙構(gòu)思解題思路，有時(shí)候使用特殊的解題方法的可大大節(jié)約時(shí)間，達(dá)到事半功倍的效果。

例 等差數(shù)列 的前 項(xiàng)為 ，滿足 ，求 .

通過題設(shè)可以直接利用常數(shù)列的特殊性“秒殺”該題，令每一項(xiàng)均為 ，則 ，即每一項(xiàng)均為 ，則 .

在高考中，總會(huì)有意無意地設(shè)置一些難度較高的試題，讓同學(xué)們?nèi)ヌ幚?。并不是每套都要使用常?guī)的解題思路，有時(shí)只需使用特殊值法或賦值的方法就能很快找到你滿意的答案。

四、善于對課本知識進(jìn)行遷移和拓展

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，同學(xué)們在做題的時(shí)候往往滿足于得到習(xí)題的答案，不太注重對習(xí)題的再思考，更談不上對數(shù)學(xué)知識的遷移與拓展。其實(shí)，對習(xí)題稍作變化再進(jìn)行仔細(xì)思考、延伸和拓展，會(huì)大大提高數(shù)學(xué)解題能力。

例 已知數(shù)列 滿足： =3，當(dāng)n 2時(shí)， ；對于任意的正整數(shù) ，有 成立.設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 .（Ⅰ）計(jì)算 ，并求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求滿足 的正整數(shù) 的集合.

對于第（Ⅰ）問我們不難得到 ，第（Ⅱ）問的解題思路要學(xué)會(huì)將書本上學(xué)到的知識學(xué)會(huì)遷移，根據(jù)數(shù)列 的形式是等差數(shù)列，進(jìn)而求得 ，發(fā)現(xiàn) 滿足等差數(shù)列與等比數(shù)列相乘的形式，根據(jù)課本上推導(dǎo)等比數(shù)列前 項(xiàng)和的方式，要想求 的前n項(xiàng)和 ，采用用錯(cuò)位相減法，然后解不等式（結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，而且自變量是正整數(shù)的函數(shù)）即可。

例 已知圓 ，直線 ，圓上僅有兩點(diǎn)到直線l的距離為1，則k的取值范圍是

圓 ，半徑為2，因?yàn)閳A上僅有兩點(diǎn)到直線l的距離為1，可考慮到特殊的位置。圓心到直線的距離為1與圓心到直線的距離為3，這兩種情形的直線位置很特殊。以它們對應(yīng)的直線的斜率為標(biāo)準(zhǔn)，很快就能得出答案C。

此外可以將上題進(jìn)行拓展與延伸：

①當(dāng) 或 時(shí)，圓上僅有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1。

②當(dāng) 時(shí)，圓上僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1。

③當(dāng) 或 時(shí)，圓上僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1。

④當(dāng) 時(shí)，圓上僅有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1。

⑤當(dāng) 時(shí)，圓上不存在這樣的點(diǎn)到直線的距離為1。

總之，在平時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們一定要做有心人，要善于挖掘已知條件、善于提出新解法、善于使用特殊方法、善于對知識進(jìn)行遷移和拓展，這樣我們的解題能力才能大大提高。

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