航天器近距離相對軌道的滑模控制*

張瑩 都琳 岳曉樂 許勇

（西北工業(yè)大學理學院應(yīng)用數(shù)學系，西安 710072）

航天器近距離相對軌道的滑?？刂?

張瑩 都琳 岳曉樂 許勇?

（西北工業(yè)大學理學院應(yīng)用數(shù)學系，西安 710072）

基于滑?？刂圃恚芯苛私嚯x追蹤航天器與目標航天器交會對接時，相對運動軌道的控制問題.首先，建立非線性航天器相對運動模型；其次，利用滑?？刂圃砗头謹?shù)階導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，設(shè)計了整數(shù)階PD控制器和分數(shù)階PDα控制器；最后，分別運用整數(shù)階和分數(shù)階控制器對未擾和受擾系統(tǒng)實施控制.數(shù)值仿真結(jié)果表明，整數(shù)階與分數(shù)階控制器均能實現(xiàn)對未擾和受擾系統(tǒng)的控制，驗證了方法的有效性.同時發(fā)現(xiàn)，在時效性上，分數(shù)階控制器明顯優(yōu)于整數(shù)階控制器；在能效性上，達到相同控制目標時，分數(shù)階控制器的能量消耗大于整數(shù)階控制器.

航天器，相對運動，滑?？刂?，分數(shù)階導(dǎo)數(shù)

引言

隨著空間組裝、在軌服務(wù)和深空探測等航天任務(wù)的發(fā)展與應(yīng)用越來越廣泛，航天器經(jīng)常需要跟蹤一個給定姿態(tài)的航天器來完成某些空間任務(wù)，因此航天器姿態(tài)跟蹤動力學與控制問題成為了當前航天領(lǐng)域的研究熱點與前沿［1－3］.

航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)是一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，而且受各種環(huán)境的干擾而無法精確描述，諸如太陽輻壓、重力梯度和地球磁場等，因此航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)需要具有良好的魯棒性.滑?？刂剖且环N較新的控制策略，它與常規(guī)的控制方法的根本區(qū)別在于其控制的不連續(xù)性.系統(tǒng)的“結(jié)構(gòu)”可以在瞬變過程中，根據(jù)系統(tǒng)當時的狀態(tài)以躍變方式有目的的變化，迫使系統(tǒng)沿著預(yù)定的“滑動模態(tài)”運動.此外，這種滑動模態(tài)具有可設(shè)計性，且與系統(tǒng)參數(shù)及擾動無關(guān).因此，處于滑模運動的系統(tǒng)具有優(yōu)良的魯棒性［4－5］.已有一些研究工作及工程實踐證明了滑?？刂破鞯脑S多優(yōu)點，如快速的動態(tài)響應(yīng)、良好的瞬態(tài)性能、較強的抗外部擾動性能和對不確定參數(shù)的高度敏感性等［6－10］.近年來，該方法受到了廣泛的關(guān)注和重視.然而，隨著航空技術(shù)的發(fā)展與提高，在時效性上，傳統(tǒng)的滑?？刂品椒ㄒ褵o法滿足需求.因而，為了改進控制方法的時間效率，本文針對航天器近距離相對軌道問題，基于滑?？刂圃砗头謹?shù)階微積分的記憶及遺傳特性，設(shè)計了分數(shù)階滑?？刂?首先，選用非線性方程作為航天器近距離相對軌道的動力學模型；隨后，分別設(shè)計了整數(shù)階PD控制器和分數(shù)階PDα控制器；最后，通過數(shù)值仿真驗證所建立模型和控制律的有效性，并對兩種控制方法進行了詳細的分析與比較.

1 坐標系定義

為了描述目標航天器和追蹤航天器間的相對運動，建立如圖1所示的坐標系.其中，地心赤道慣性坐標系用Oixiyizi（Si）表示，原點Oi在地球中心，xi軸在赤道面內(nèi)，指向春分點；zi軸沿地球旋轉(zhuǎn)軸（即垂直于赤道平面），指向北極，yi軸與xi、zi軸滿足右手定則.追蹤航天器坐標系用Obxbybzb（Sb）表示，原點Ob位于航天器的質(zhì)心，xb，yb，zb分別與航天器的慣性主軸一致，本體軸xb，yb，zb相對于慣性系的旋轉(zhuǎn)分別表示滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航.目標航天器軌道坐標系用Oxyz（So）表示，原點O為目標航天器質(zhì)心，z軸指向地心，x軸在軌道面內(nèi)沿速度方向與z軸垂直，y軸滿足右手定則.

圖1 坐標系示意圖Fig.1 Coordinate systems

2 相對軌道動力學模型

在目標航天器軌道坐標系下，選用非線性方程描述兩航天器的相對運動：

其中，μ為地球引力常數(shù)，目標航天器和追蹤航天器分別用下標t和c表示，rc和rt為地心到航天器質(zhì)心的位置矢量，rt和rc分別為rt和rc的模，且.從目標航天器指向追蹤航天器的相對位置矢量ρ＝[x，y，]zT，相對速度矢量，則在目標航天器軌道坐標系下，fc為追蹤航天器的軌道控制推理所產(chǎn)生的加速度；θ為真近點角，分別為目標航天器的軌道角速度和角加速度.

3 滑?？刂品抡?/h2>

基于滑?？刂评碚摵头謹?shù)階導(dǎo)數(shù)的特性，本文分別建立了整數(shù)階PD控制器和分數(shù)階PDα控制器.

3.1 PD控制

相對軌道方程（1）經(jīng)推導(dǎo)可轉(zhuǎn)化為如下形式：

其中

其中，

設(shè)計切換函數(shù)如下：

其中，c＞0且∈R，當系統(tǒng)狀態(tài)在切換面s＝0（滑動模態(tài)區(qū)）時有，系統(tǒng)處于滑動模態(tài)區(qū).若采用趨近律到達條件，選取指數(shù)趨近律為：

其中，ε，k＞0且∈R，sgn（·）是符號函數(shù).進一步對式（7）求導(dǎo)得：

將式（6）代入上式得：

推導(dǎo)得控制律為：

3.2 PDα控制

設(shè)計滑模面為：

其中，Dαf（t）是Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)［8］，它的定義可描述如下：

對（12）式兩端同時求導(dǎo)得：

將（6）式帶入上式得：

選取指數(shù)趨近律為（8），則：

推導(dǎo)得控制律為：

4 數(shù)值仿真與分析

本節(jié)運用上述兩種控制器，分別針對未擾系統(tǒng)和受擾系統(tǒng)進行控制仿真，計算控制效果；并從時效性和能效性兩方面對不同的控制方法進行分析與比較.

4.1 控制仿真

（1）未擾系統(tǒng)的控制仿真

目標航天器軌道的六要素選取如下：軌道的半長軸a＝7178.145km，偏心率e＝0，升交點赤徑Ω＝π／6，軌道傾角i＝π／4，近地點角距ω＝π／6，航天器過近地點的時刻tp＝0.此外，目標航天器與追蹤航天器間的初始相對位置和速度賦值為，其期望值分別為.分別采用PD與PDα控制法，對航天器相對軌道進行控制，數(shù)值仿真結(jié)果如圖2～圖5所示.其中，圖2和圖4分別表示PD與PDα控制下目標航天器與追蹤航天器間的相對位置誤差，圖3和圖5分別表示PD與PDα控制下目標航天器與追蹤航天器間的相對速度誤差.在初始位置和速度均存在偏差的情況下，兩種控制器均可將位置偏差和速度偏差控制到零，驗證了控制器的有效性.此外，在達到相同控制目標的過程中，分數(shù)階滑?？刂频乃杩刂茣r長較整數(shù)階滑模控制大幅減少.因此，在時效性上，分數(shù)階滑?？刂品椒黠@優(yōu)于整數(shù)階滑?？刂品椒?

圖2 PD控制下的相對位置誤差Fig.2 Error of relative position under PD controller

圖3 PD控制下的相對速度誤差Fig.3 Error of relative velocity under PD controller

（2）受擾系統(tǒng)的控制仿真

若考慮外部擾動對航天器相對軌道控制的影響，其軌道動力學模型可表示如下：

其中，d（t）＝［d1（t）d2（t）d3（t）］T為外部對系統(tǒng)的有界擾動，這里d（t）＝0.2［cos（2t）cos（2t）cos（2t）］T；系統(tǒng)中其他參數(shù)與未擾系統(tǒng)保持一致.分別采用PD控制器與PDα控制器對系統(tǒng)（18）進行控制仿真，數(shù)值結(jié)果如圖6～圖9所示.其中，圖6和圖8表示受擾系統(tǒng)在PD與PDα控制下目標航天器與追蹤航天器間的相對位置誤差；圖7和圖9分別表示受擾系統(tǒng)在PD與PDα控制下目標航天器與追蹤航天器間的相對速度誤差.由圖知，在系統(tǒng)受到外界擾動的情況下，兩種滑模控制器均可實現(xiàn)系統(tǒng)的控制目標；且分數(shù)階滑模控制器的時效性仍明顯優(yōu)于整數(shù)階滑?？刂破?

圖4 PDα控制下的相對位置誤差Fig.4 Error of relative position under PDαcontroller

圖5 PDα控制下的相對速度誤差Fig.5 Error of relative velocity under PDαcontroller

圖6 PD控制下的相對位置誤差（受擾系統(tǒng)）Fig.6 Error of relative position under PD controller（perturbed system）

圖7 PD控制下的相對速度誤差（受擾系統(tǒng)）Fig.7 Error of relative velocity under PD controller（perturbed system）

圖8 PDα控制下的相對位置誤差（受擾系統(tǒng)）Fig.8 Error of relative position under PDαcontroller（perturbed system）

圖9 PDα控制下的相對速度誤差（受擾系統(tǒng)）Fig.9 Error of relative velocity under PDαcontroller（perturbed system）

4.2 控制能耗對比仿真

從以上數(shù)值結(jié)果不難看出：滑?？刂撇呗钥捎行У赜糜诤教炱鹘嚯x相對軌道的控制問題，且分數(shù)階控制器的時效性明顯高于整數(shù)階控制器.但是，僅僅考慮時效性對于航天器相對軌道控制方法的優(yōu)劣分析與判斷是不完善的.因此，為了更加全面地比較兩種控制方法在完成相同任務(wù)情況下的控制效果，我們還要從能量消耗方面進行計算與比較.根據(jù)動能定理知：能量的消耗量等于動能的改變量［11］，則軌道控制的能量消耗為：

其中，vk為k時刻追蹤航天器的速度.能量消耗的數(shù)值模擬結(jié)果如圖10和圖11所示，在分別使用整數(shù)階和分數(shù)階控制器后，當追蹤航天器與目標航天器實現(xiàn)交匯對接時，兩種控制器的能量消耗均趨于穩(wěn)定值，但分數(shù)階控制器使用的能量大于整數(shù)階控制器.即在達到相同控制要求的情況下，分數(shù)階PDα控制器的能量消耗大于整數(shù)階PD控制器.

圖10 PD控制下的能量消耗Fig.10 Energy expenditure underPDcontroller

圖11 PDα控制下的能量消耗Fig.11 Energy expenditure under PDαcontroller

5 結(jié)論

本文針對航天器近距離相對軌道的控制問題，首先，采用非線性T-H方程建立相應(yīng)的動力學模型來描述兩航天器的相對運動；其次，基于滑?？刂圃砗头謹?shù)階導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，分別設(shè)計了整數(shù)階PD控制器和分數(shù)階PDα控制器；隨后，運用兩種滑?？刂破鳎謩e對確定性系統(tǒng)和受擾系統(tǒng)進行控制.最后，通過數(shù)值仿真，驗證了控制策略的有效性和穩(wěn)定性.在此基礎(chǔ)上，還進一步從控制的時效性及能耗兩方面對整數(shù)階PD控制器和分數(shù)階PDα控制器進行了詳細的對比分析.結(jié)果表明：在時效性上，分數(shù)階控制器明顯優(yōu)于整數(shù)階控制器.然而，達到相同控制要求時，分數(shù)階控制器的能耗大于整數(shù)階控制器.因此，在追求控制方法穩(wěn)定性的前提下，還應(yīng)根據(jù)航天器相對軌道設(shè)計的實際需求，從時效性和能耗兩方面綜合考慮，選擇合適的滑模控制器進行航天器近距離相對軌道控制.

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Received 27 July 2016，revised 23 August2016.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11302171，11672232），Natural Science Basic Research Plan in Shaanxi Province of China（2016JQ1015）

?Corresponding author E-mail：hsux3＠hnu.edu.cn

SLIDING MODE CONTROL OF RELATIVE ORBIT FOR NEARBY SPACECRAFT*

Zhang Ying Du Lin Yue Xiaole Xu Yong?
（Department of applied Mathematics，Northwestern Polytechnical University，Xi′an 710072，China）

This paper investigates the control of relative orbit for Rendezvous and Docking between nearby spacecraft and target spacecraft based on the sliding mode control theory.Firstly，the model of relative movement between two spacecrafts is established by using nonlinear equations.Secondly，by using the sliding mode control theory and the properties of fractional derivative，an integer order PD controller and a fractional order PDαcontroller are designed.The designed controllers are then applied to the perturbed and unperturbed systems.The numerical simulation results show that the sliding mode control method is effective.Moreover，comparing with PD controller，the PDαcontroller costs less time but more energy to achieve the same control objectives.

spacecraft，relative motion，sliding mode control，fractional derivative

10.6052／1672-6553-2016-040

2016-07-27收到第1稿，2016-08-23收到修改稿.

*國家自然科學基金資助項目（11302171，11672232），陜西省自然科學基礎(chǔ)研究計劃資助項目（2016JQ1015）

?通訊作者E-mail：hsux3＠nwpu.edu.cn