耦合Pre-B?tzinger復合體中神經元的反相簇放電模式及同步研究*

劉晶曹秦禹王子劍趙勇段利霞?

（1.北方工業(yè)大學理學院，北京 100144）（2.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院，焦作 454000）

耦合Pre-B?tzinger復合體中神經元的反相簇放電模式及同步研究*

劉晶1曹秦禹1王子劍1趙勇2段利霞1?

（1.北方工業(yè)大學理學院，北京 100144）（2.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院，焦作 454000）

本文以pre-B?tzinger復合體中兩個耦合興奮性神經元為研究對象，分別研究了耦合神經元反相簇放電類型及其同步轉遷.當鈉電導參數(shù)在一定范圍內變化時，耦合神經元分別表現(xiàn)為“sup-Hopf／fold cycle”型和“fold／fold cycle”型反相簇放電.通過計算耦合神經元的簇放電內的峰相位差，進而判定反相簇放電中的峰同步行為，并且研究了反相放電的類型與同步的關系.

簇放電，相位差，反相同步，快慢分析，前包欽復合體

引言

簇放電是神經系統(tǒng)中對信息處理具有重要作用的神經放電模式，近年來簇放電的類型及其同步行為引起研究者們的廣泛關注.Ivanchenko等給出簇放電映射神經元的混沌相位同步并發(fā)現(xiàn)相位同步并非只與耦合強度相關［1－2］.Rulkov給出了兩個耦合神經元簇同步的產生機制，并研究了電耦合神經元的同相簇同步和反相簇同步［3］.研究者對于同步的產生機制做了大量而有意的工作［4－8］.

目前，研究者大多認為位于哺乳動物延髓外側區(qū)的pre-B?tzinger復合體與呼吸節(jié)律的產生密切相關.呼吸運動之所以能自主地有節(jié)奏地進行，是因為pre-B?tzinger復合體中的一些細胞群，其中包括一些吸氣神經元，它們可自主地按一定的頻率發(fā)出沖動，即神經元放電活動.這些神經元集群能夠與其它呼吸組織互相聯(lián)系，共同調節(jié)和控制呼吸運動.在pre-B?tzinger復合體中，興奮性突觸耦合可以促成神經元的同步活動［9－10］.

Best等人于2005年研究了pre-B?tzinger復合體興奮性中間神經元模型，發(fā)現(xiàn)了兩種不同性質的同步放電模式，并將其定義為對稱與非對稱的簇放電和對稱與非對稱的峰放電［10］.Caiteri和Rubin研究了在pre-B?tzinger復合體中神經元的動力學本質和網絡拓撲結構的交互作用對神經元簇放電的影響，他們研究了單個神經元的放電模式及其在網絡中的位置對神經元同步的影響，并進一步比較了不同的網絡拓撲結構對神經元的同步的影響［9］.Rubin和Terman等利用簡化的pre-B?tzinger復合體神經元模型，研究了兩個神經元同步的條件，得到了穩(wěn)定的同步周期解，并給出了穩(wěn)定性的充分條件；他們還進一步給出了破壞同步的條件［11］.Dunmyre和Rubin利用簡化的三細胞網絡模型，研究了神經元內在動力學性質對神經元的簇同步的影響，得到了同步解存在的充分必要條件；此外，他們還給出了三神經元網絡的數(shù)值結果，其中，三個神經元分別是靜息態(tài)神經元、峰放電神經元和一個添加的神經元；結果表明，當加入靜息態(tài)神經元時，網絡可以達到最佳同步放電模式；而加入簇放電的神經元時反而會破壞神經元的簇同步［12］.對 pre-B?tzinger復合體中耦合神經元的簇同步也有廣泛的研究［13－14］.

同一參數(shù)條件下，pre-B?tzinger復合體神經元會產生兩種不同的簇放電模式：同相簇放電和反相簇放電［10］，這里反相簇同步是指簇中的峰是反相同步的.對于這類反相簇同步研究及其與簇放電模式之間的關系，目前的研究較少.

本文的結構如下：第一節(jié)給出了Butera模型的數(shù)學表示；第二節(jié)給出了反相簇放電的類型及快慢動力學分析，并計算了不同類型簇放電中峰放電的相位差；最后是本文的結論.

1 模型描述

Butera等人在1999年［9］提出的pre-B?tzinger復合體中興奮性神經元模型描述如下：

其中，i∈｛1，2｝.C是膜電容，v是膜電位，INaP，INa，IK和IL分別代表持續(xù)鈉電流、鈉電流、鉀電流和漏電流.Itonic－e表示細胞受到興奮性刺激所產生的電流，Isyn－e表示耦合神經元網絡連接而產生的突觸電流.各離子電流動力學模型描述為：INaP＝gNaPmp，∞（vi）hi（vi－ENa），，IL＝gL（vi－EL），Isyn－e＝ gsyn－esj（vi－Esyn－e），Itonic－e＝gtonic－e（vi－Esyn－e），其中i，j∈｛1，2｝且i≠j.在本文模型中，對于x∈｛mp，m，h，n，s｝，函數(shù)x∞（v）可表示為x∞（v）＝｛1＋exp［（v－θx）／σx］｝－1.對于x∈｛h，n｝，函數(shù)τx（v）可表示為τx（v）＝τx／cos h［（v－θx）／2σx］.其中所用到的參數(shù)的值和單位見表1.

表1 模型中的參數(shù)值Table 1 Parameters of the model

2 耦合神經元的簇放電模式及簇放電同步

耦合pre-B?tzinger復合體神經元在同一參數(shù)集下，但初始條件不同時會表現(xiàn)出兩類不同的簇放電模式，即同相簇和反相簇［15－16］.這里，同相簇是指簇中的峰是同相的，反相簇是指簇中的峰是反相的.當耦合神經元表現(xiàn)為同相簇放電模式時，兩個膜電位v1和v2隨時間t的變化完全一致，因此，本文只考慮反相簇的情形.

2.1 耦合神經元的簇放電模式

當鈉離子電導gNa變化時，耦合pre-B?tzinger復合體神經元會產生不同類型的反相簇放電模式，如圖1所示.根據(jù)Izhikevich［17］對簇放電的基于快慢動力學的分類方法可知，當gNa的值逐漸增大時，反相簇放電的模式逐漸發(fā)生變化.下面我們具體分析反相簇放電的類型及相應的同步情況.

圖1 耦合神經元反相簇放電模式（a）gNa＝2.2nS；（b）gNa＝2.6nS；（c）gNa＝3.5nS；（d）gNa＝5.5nS；（e）gNa＝8.0nSFig.1 Modes of anti-phase bursting for two-coupled neurons（a）gNa＝2.2nS；（b）gNa＝2.6nS；（c）gNa＝3.5nS；（d）gNa＝5.5nS；（e）gNa＝8.0nS

2.2 耦合神經元的簇放電同步

在pre-B?tzinger復合體中，興奮性耦合神經元的簇放電同步模式可表現(xiàn)為同相同步和反相同步.鑒于同相簇放電的膜電位完全一致，這里只研究反相簇放電的形式，如圖2所示.圖2（a）為gNa＝5.5nS時的反相簇放電，圖2（b）為圖2（a）的局部放大，即詳細描述反相簇放電中峰與峰的差別，其中v1，v2反相同步.

圖2 （a）膜電位v1和v2關于時間t的變化；（b）圖（a）的局部放大，其中紅線代表v1，黑線代表v2Fig.2 （a）Time history of v1（red）and v2（black）；（b）Local enlargement of a part in Fig.2（a）

為了研究耦合神經元的反相簇放電中的峰同步，我們引入峰相位的定義［5］.神經元在t時刻的峰相位定義如下：

其中，K是總時間內放電產生峰的總量.

根據(jù)峰相位定義，我們可以計算兩個神經元在時間t的峰相位φ（t）1和φ（t）2，進而得到他們的峰相位差Δφ（t）.當同相峰放電同步時，峰相位差總是Δφ（t）＝0.這里，我們主要研究反相簇放電同步，本文的數(shù)據(jù)結果都是在去掉8×106個時間單位的暫態(tài)之后得到的.

圖3 當gNa＝2.2nS時，耦合神經元簇放電的快慢分析及相位差（a）“sup-Hopf／fold cycle”型簇放電的快慢分岔分析；（b）耦合神經元簇放電中峰與峰之間的相位差Fig.3 Fast-slow decomposition of the two-coupled neurons and phase difference when gNa＝2.2nS.（a）Fast-slow decomposition of“sup-Hopf／fold cycle”bursting；（b）Phase difference between inter-spiking.

當gNa＝2.2nS時，對應的快子系統(tǒng)（1），（3）和（4）關于慢變量h（h1＝h2）的分岔如圖3（a）所示.在（h，V1）平面上，快子系統(tǒng)的平衡點由三條“S”型曲線組成，其中實線部分代表穩(wěn)定的平衡點，虛線部分代表不穩(wěn)定的平衡點.“S”型曲線上的分岔點（F1，F(xiàn)2和F）代表平衡點的鞍結分岔.在“S”型曲線的上部，當慢變量h增加時，不穩(wěn)定焦點經由超臨界Hopf（supH）分岔變?yōu)榉€(wěn)定焦點，同時極限環(huán)產生.系統(tǒng)軌線的靜息態(tài)經由平衡點的鞍結分岔（F1）轉遷到放電態(tài)，放電態(tài)又經由極限環(huán)的鞍結（LP）分岔轉變?yōu)殪o息態(tài)，從而形成“sup-Hopf／fold cycle”型反相簇放電.圖3（b）為對應的“sup-Hopf／fold cycle”型反相簇放電中峰與峰之間的相位差.圖中的紅色圖框的放大圖為其中一個簇放電中的兩個神經元的峰相位差，由相位差的變化趨勢可知，當gNa＝2.2nS時，簇放電未達到反相同步.

當gNa＝2.6nS時，超臨界Hopf（supH）分岔向右移動，使得穩(wěn)定焦點的吸引域變小.軌線的振蕩在完全被吸引到穩(wěn)定焦點前便經過了超臨界Hopf（supH）分岔點，故而軌線被快速吸引到由超臨界Hopf分岔產生的穩(wěn)定極限環(huán)上，如圖4（a）所示.因而，“sup-Hopf／fold cycle”型反相簇放電轉變?yōu)榱硪活愋偷姆烹娔Ｊ?但這一簇放電還保留了“sup-Hopf／fold cycle”型反相簇放電的某些特征，因此，我們稱之為過渡型簇放電.這時兩個神經元的簇放電中的峰之間相位差如圖4（b）所示.如圖中的紅色放大框圖所示，在一個簇放電開始和結束的時候，峰放電的相位差震蕩的幅度比較大，并且在開始時震蕩的時間比較長（如圖4（b）中紅色放大圖）.處于過渡時期的反相簇放電沒有達到完全峰同步.

圖4 當gNa＝2.6nS時，耦合神經元簇放電的快慢分析及峰相位差（a）過渡時期的簇放電的快慢分岔分析；（b）過渡時期耦合神經元簇放電中峰與峰之間的相位差Fig.4 Fast-slow decomposition of the two-coupled neurons and phase difference when gNa＝2.6nS.（a）Fast-slow decomposition of transition bursting；（b）Phase difference between inter-spiking

當gNa逐漸增大時，分別取值為3.5nS，5.5nS，8.0nS，其快慢分岔具有相同的結構，且各分岔點的相對位置相同（如圖5（a）、（c）和（e）所示）.神經元的靜息態(tài)經由平衡點的鞍結（F1）分岔轉變?yōu)榉烹姂B(tài)，放電態(tài)又經由極限環(huán)的鞍結（LP）分岔轉變?yōu)殪o息態(tài).因此，這幾種簇放電具有相同的模式，稱為“fold／fold cycle”型反相簇放電.

下面進一步研究這些簇放電同步情況.這里，時間間隔描述的是由8×104到2×105的多個簇放電的相位差.當gNa＝3.5nS時，簇放電中峰與峰之間的相位差如圖5（b）所示.在一個周期簇放電中，兩個神經元的峰放電之間相位差如圖5（b）中的紅色放大框圖所示.在一個簇放電開始和結束的時候，峰放電的相位差震蕩的幅度比較大，這表示在這兩個階段簇放電未達到反相同步，而在簇放電中間階段的峰相位差的震蕩幅度非常小，所以簇放電達到了反相同步.其原因是在簇放電開始和結束時，快子系統(tǒng)分別經歷了兩個分岔，即平衡點的鞍結分岔和極限環(huán)的鞍結分岔.

圖5 耦合神經元簇放電的快慢分析及峰相位差，“fold／fold cycle”型反相簇放電.（a）當gNa＝3.5nS時的快慢分岔分析；（b）gNa＝3.5nS時簇放電的相位差；（c）當gNa＝5.5nS時的快慢分岔分析；（d）gNa＝5.5nS時簇放電的相位差；（e）當gNa＝8nS時的快慢分岔分析；（f）gNa＝8nS時簇放電的相位差.Fig.5 Fast-slow decomposition of the two-coupled neurons and phase difference for“fold／fold cycle”bursting.（a）Fast-slow decomposition when gNa＝3.5nS；（b）Phase difference when gNa＝3.5nS；（c）Fast-slow decomposition when gNa＝5.5nS；（d）Phase difference when gNa＝5.5nS；（e）Fast-slow decomposition when gNa＝8nS；（f）Phase difference when gNa＝8nS.

當gNa逐漸增大為5.5nS和8.0nS時，電相位差分別如圖5（d）、5（f）所示.雖然簇放電類型是相同的，但如圖5（d）和圖5（f）中的紅色放大圖的峰放電相位差所示，簇放電中峰與峰之間的同步區(qū)域增加，簇放電開始和結束時的峰相位差的震蕩幅度減小.

3 結論

本文利用快慢變量分岔分析和相位差等方法，研究了pre-B?tzinger復合體中興奮性神經元節(jié)律性反相簇放電及簇中峰同步的情形.結果表明，當鈉電導gNa逐漸增大時，系統(tǒng)的反相簇放電從“sup-Hopf／fold cycle”型反相簇放電逐步過渡到“fold／fold cycle”型反相簇放電，這種轉遷會經由一種中間型的過渡型簇放電.在耦合神經元表現(xiàn)為反相“sup-Hopf／fold cycle”型簇放電時，在一個簇放電中的峰與峰之間的相位差的差值相差很大.因此，簇放電未達到反相同步.隨著鈉電導gNa逐漸增大，耦合神經元表現(xiàn)為反相“fold／fold cycle”型簇放電，此時，簇放電中的峰與峰之間的相位差的震蕩幅度逐步減小.因此，簇放電表現(xiàn)為反相同步.因為在哺乳動物的呼吸節(jié)律中發(fā)現(xiàn)過多種簇放電振蕩模式，因而耦合簇放電同步模式的研究對認識pre-B?tzinger復合體中大規(guī)模網絡的動力學有著重要的意義，為進一步探索呼吸節(jié)律的產生機制提供有益的思考.

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Received 6 January 2016，revised 11 March 2016.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11472009，11502073），Science and Technology Projectof Beijing Municipal Commission of Education（KM201410009012）and Construction Plan for Innovative Research Team of North China University of Technology（XN129）and Doctoral Foundation of Henan Polytechnic University（B2012-107）

?Corresponding author E-mail：duanlx＠ncut.edu.cn

STUDY ON ANTI-PHASE BURSTING MODE AND SYNCHRONIZATION OF COUPLED NEURONS IN PRE-B?TZINGER COMPLEX*

Liu Jing1Cao Qinyu1Wang Zhijian1Zhao Yong2Duan Lixia1?
（1.College of Science，North China University of Technology，Beijing 100144，China）
（2.School of Mathematics and Information Science，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454000，China）

In this paper，anti-phase bursting mode and synchronization transition in the two coupled excitatory neurons in pre-B?tzinger complex are examined.When the parameter of sodium conductance varies within a certain range，the two coupled neurons exhibit anti-phase“sup-Hopf／fold cycle”and“fold／fold cycle”bursting.By calculating the phase difference of spikes in the bursting，we reveal the relationship between different bursting patterns and synchronization transition.

bursting，phase difference，anti-phase synchronization，fast／slow decomposition，pre-B?tzinger complex

10.6052／1672-6553-2016-029

2016-01-06收到第1稿，2016-03-11收到修改稿.

*國家自然科學基金資助項目（11472009，11502073）、北京市教委科技計劃項目（KM201410009012）、北方工業(yè)大學“科研創(chuàng)新團隊建設計劃”項目（XN129）和河南理工大學博士基金項目（B2012－107）

?通訊作者E-mail：duanlx＠ncut.edu.cn