導(dǎo)出變系數(shù)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)的兩種方法*

丁光濤

（安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，蕪湖 241000）

導(dǎo)出變系數(shù)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)的兩種方法*

丁光濤?

（安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，蕪湖 241000）

利用從運(yùn)動(dòng)微分方程出發(fā)和從第一積分出發(fā)導(dǎo)出拉格朗日函數(shù)的兩種直接方法，構(gòu)造變系數(shù)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)和c（x）＝0特殊情況的拉格朗日函數(shù)族.另外，討論了這種非保守系統(tǒng)廣義能量守恒的物理意義.

非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，Lagrange函數(shù)，變分法逆問(wèn)題

引言

非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的研究是數(shù)學(xué)物理學(xué)中的重要課題，一個(gè)時(shí)期以來(lái)關(guān)于利用多種分析力學(xué)方法來(lái)求解非線(xiàn)性微分方程，成為討論的熱點(diǎn)之一［1－8］.例如，V.K.Chandrasekar等對(duì)修改的Emden型方程（MEE）

得到與時(shí)間無(wú)關(guān)的第一積分后，構(gòu)造出哈密頓函數(shù)和拉格朗日函數(shù)，再通過(guò)正則變換求得不同的參數(shù)（α，β）值范圍的方程通解［1］；Z.E.Musielak等提出通過(guò)變量變換方法，對(duì)一個(gè)變系數(shù)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

導(dǎo)出拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)［2］，其拉格朗日函數(shù)為

式中

S.Ghosh等也討論了具有速度平方耗散項(xiàng)的修改的Emden方程

導(dǎo)出第一積分和拉格朗日函數(shù)，并討論方程的解［3］.顯然，方程（5）是方程（2）的特例.此外，還有不少工作涉及構(gòu)建非線(xiàn)性微分方程多種形式的拉格朗日函數(shù)，討論特殊非線(xiàn)性系統(tǒng)的分析力學(xué)化問(wèn)題［4－9］.

非線(xiàn)性系統(tǒng)分析力學(xué)化的關(guān)鍵在于構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)以及哈密頓函數(shù)，即這種研究與變分法逆問(wèn)題密切相關(guān).變分法逆問(wèn)題是數(shù)學(xué)力學(xué)物理學(xué)領(lǐng)域中古老而又常新的問(wèn)題，它討論給定的微分方程能否通過(guò)變分原理導(dǎo)出，以及如何構(gòu)建對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù).構(gòu)建拉格朗日函數(shù)有多種不同的途徑［10－15］，只是這些途徑的適用范圍和難易程度不同，文獻(xiàn)［14］和［15］分別提出從微分方程本身出發(fā)以及從第一積分出發(fā)來(lái)直接構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的兩種比較普遍的方法，本文利用這兩種方法實(shí)現(xiàn)方程（2）的分析力學(xué)化，并與文獻(xiàn)［2］中方法相對(duì)照；此外，又進(jìn)一步討論方程（2）中c（x）＝0的情況，導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)族，這是文獻(xiàn)［2］中沒(méi)有得到的結(jié)果.最后，討論這種非保守的系統(tǒng)“廣義能量守恒”的意義.

1 從微分方程（2）直接導(dǎo)出拉格朗日函數(shù)

1.1 從微分方程直接導(dǎo)出拉格朗日函數(shù)的方法

文獻(xiàn)［14］提出一種直接從運(yùn)動(dòng)微分方程構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的方法.如果系統(tǒng)是一維的，運(yùn)動(dòng)微分方程為

設(shè)其拉格朗日函數(shù)具有如下形式

將式（7）代入拉格朗日方程，展開(kāi)得到

由式（6）和式（8），得到

1.2 從方程（2）直接導(dǎo)出拉格朗日函數(shù)（3）

利用上述方法構(gòu)建方程（2）的拉格朗日函數(shù)，此時(shí)式（9）寫(xiě)成

根據(jù)方程（2）的特點(diǎn)，可以選取u＝u（x），則式（10）寫(xiě)成

將速度平方項(xiàng)與不含速度項(xiàng)分開(kāi)，可以得到

代入式（7），就導(dǎo)出拉格朗日函數(shù)（3）.

1.3 變系數(shù)與速度平方相關(guān)運(yùn)動(dòng)的拉格朗日函數(shù)族

運(yùn)動(dòng)方程（2）的一種特殊情況是c（x）＝0，即運(yùn)動(dòng)是變系數(shù)與速度平方相關(guān)的運(yùn)動(dòng).顯然，由式（3）可以直接導(dǎo)出這種運(yùn)動(dòng)的一個(gè)拉格朗日函數(shù).但是，實(shí)際上這種運(yùn)動(dòng)存在拉格朗日函數(shù)族.證明如下：取式（10）中A0＝0，即式（6）中v＝0，并設(shè)

由方程（10）得到確定u的方程為

方程的一個(gè)解族是

代入式（7），得到變系數(shù)速度平方相關(guān)的非保守運(yùn)動(dòng)的拉格朗日函數(shù)族

函數(shù)F應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足下列條件

即函數(shù)F不能是常數(shù)或僅是坐標(biāo)的函數(shù)，也不能是速度的線(xiàn)性函數(shù).當(dāng)函數(shù)F為宗量的二次函數(shù)時(shí)，有

這是與式（3）中c（x）＝0的情況相一致的，只是系數(shù)上存在區(qū)別.下面列出幾個(gè)具體的拉格朗日函數(shù)，例如

式（21）中α取不同值就導(dǎo)出不同函數(shù)形式的拉格朗日函數(shù)，取值2時(shí)，就是式（19）中L1；取值時(shí)，就是根式形式的拉格朗日函數(shù)；取值－1時(shí)，就是倒數(shù)形式的拉格朗日函數(shù)等等.這表明式（17）拉格朗日函數(shù)族中既有標(biāo)準(zhǔn)形式的，即可以看成動(dòng)能項(xiàng)與勢(shì)能項(xiàng)之差的拉格朗日函數(shù)，也有非標(biāo)準(zhǔn)形式的，即不再是動(dòng)能項(xiàng)與勢(shì)能項(xiàng)之差的拉格朗日函數(shù)［7－8］.

2 從方程（2）的第一積分直接構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

2.1 導(dǎo)出方程（2）第一積分

引入變量變換，將方程（2）寫(xiě)成兩個(gè)一階方程

消除時(shí)間變量t，導(dǎo)出一階微分方程

利用積分因子法［16］，可得到上述一階微分方程組的積分

變換為原來(lái)變量，即得到方程（2）的第一積分

2.2 從第一積分構(gòu)造Lagrange函數(shù)

其中第一積分應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足條件

系數(shù)A（t，x）和B（t，x）由下列方程確定

將式（25）積分代入，上式寫(xiě)成

上述方程的一個(gè)解是

將積分I和A，B代入式（26），即得到式（3）拉格朗日函數(shù).

2.3 從第一積分構(gòu)造平方阻尼運(yùn)動(dòng)的拉格朗日函數(shù)族

對(duì)c（x）＝0時(shí)的運(yùn)動(dòng)，方程（2）可以變換為

方程的第一積分可以寫(xiě)成

積分I1不滿(mǎn)足條件（27），為此引入它的任意函數(shù)作為新的積分

并要求其滿(mǎn)足條件（27），即

即滿(mǎn)足存在拉格朗日函數(shù)族的條件［17］.將代入式（28），有

即A和B都為常數(shù)，例如，可取A＝1，B＝0.這就是說(shuō)，與速度平方相關(guān)的運(yùn)動(dòng)存在拉格朗日函數(shù)族

這與式（17）所示的結(jié)果相同，即利用第一積分也能夠?qū)С鲎兿禂?shù)與速度平方相關(guān)運(yùn)動(dòng)的拉格朗日函數(shù)族.

3 關(guān)于非線(xiàn)性耗散系統(tǒng)守恒量問(wèn)題的討論

H中不顯含時(shí)間，是“守恒”量.

如何理解這種在與速度平方相關(guān)的非保守力作用下系統(tǒng)的廣義能量“守恒”？應(yīng)當(dāng)注意的是，這里涉及到的“動(dòng)能”、“勢(shì)能”和“廣義能量”，以及“廣義動(dòng)量”的表達(dá)式中，都包含了含有空間積分的因子.這個(gè)因子反映了非保守力作用累積效應(yīng)，與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程相關(guān)，即是非局域的量，故這里所講的“動(dòng)能”、“勢(shì)能”、“廣義能量”和“廣義動(dòng)量”，不僅與狀態(tài)有關(guān)，而且與相關(guān)過(guò)程有關(guān).這些量的屬性與通常所說(shuō)的狀態(tài)量“動(dòng)量”、“能量”不同，也與“沖量”、“功”等傳統(tǒng)的過(guò)程量有別，實(shí)際上這是新型的物理量.這種既與狀態(tài)相關(guān)又與過(guò)程相關(guān)的物理量的引入，意味著推廣了傳統(tǒng)的物理量的分類(lèi)，所以當(dāng)說(shuō)到系統(tǒng)（2）的“廣義能量守恒”時(shí)，這種守恒律也與傳統(tǒng)力學(xué)意義上的守恒律不同，是一種推廣的守恒律.然而，從對(duì)非線(xiàn)性非保守系統(tǒng)的研究來(lái)看，這樣的推廣是有意義的，意味著能夠利用“守恒”的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)來(lái)描述這種系統(tǒng)，利用對(duì)應(yīng)的分析力學(xué)理論來(lái)處理這種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng).

4 結(jié)論

1）研究非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)課題常常需要利用多種分析力學(xué)方法，即要實(shí)現(xiàn)非線(xiàn)性微分方程的分析力學(xué)化，這就涉及變分法逆問(wèn)題.本文分別利用直接從運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)和從第一積分出發(fā)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的兩種方法，導(dǎo)出了帶有變系數(shù)速度平方相關(guān)運(yùn)動(dòng)方程（2）的拉格朗日函數(shù)（3）；同時(shí)還導(dǎo)出了方程（2）的特殊情況的拉格朗日函數(shù)族（17），給出了這個(gè)族中的若干不同的拉格朗日函數(shù)，兩種方法給出的結(jié)果相同.與相關(guān)文獻(xiàn)中提出的方法相比較，本文構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的兩種方法更普遍，也簡(jiǎn)便可行，而且還可能導(dǎo)出新的重要結(jié)果.這意味著在研究非線(xiàn)性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的分析力學(xué)化時(shí)，直接從運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)或從第一積分出發(fā)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的兩種方法是規(guī)范而且實(shí)用的方法.然而，必須指出本文給出的方法只涉及一維系統(tǒng)，對(duì)于多維系統(tǒng)仍需要繼續(xù)研究.

2）在處理線(xiàn)性或非線(xiàn)性非保守系統(tǒng)的分析力學(xué)化問(wèn)題時(shí)，常常出現(xiàn)廣義能量“守恒”，某些作者直接將這種守恒量作為哈密頓函數(shù)，然后導(dǎo)出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù).本文對(duì)這種廣義能量守恒作了深入的分析，認(rèn)為它不同于傳統(tǒng)的守恒定律，因?yàn)槠渲谐霈F(xiàn)了既與狀態(tài)相關(guān)又與過(guò)程相聯(lián)系的新型物理量.這種新型物理量的出現(xiàn)和守恒律的推廣對(duì)于處理非線(xiàn)性耗散系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是有意義的，值得進(jìn)一步深入研究.

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*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11472063）

?Corresponding author E-mail：dgt695＠sina.com

TWO METHODS TO DERIVE LAGRANGIAN FOR A NONLINEAR DYNAM ICAL SYSTEM W ITH VARIABLE COEFFICIENTS*

Ding Guangtao?
（College of Physics and Electronic Information，Anhui Normal University，Wuhu 241000，China）

By using two direct methods to derive Lagrangian from the equation of motion and from the first integral respectively，the Lagrangian for a nonlinear dynamical system with variable coefficientsand a family of Lagrangians for the special case that c（x）＝0 are constructed.In addition，the physical significance of conservation of general energy for the non－conservative systems is also discussed.

nonlinear dynamical system，Lagrangian，inverse problem of the calculus of variations Received 20 January 2016，revised 23 February 2016.

10.6052／1672-6553-2016-011

2016-01-20收到第1稿，2016-02-23收到修改稿.

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11472063）

?通訊作者E-mail：dgt695＠sina.com