淺談壓縮感知方法及其在雷達領域的應用
2017-06-06 15:59:33鄧佳欣苗毅朱江
價值工程 2017年18期
鄧佳欣+苗毅+朱江
摘要： 傳統(tǒng)信號處理的采樣率必須滿足香農定理。隨著攜帶信息量和系統(tǒng)分辨率的提高，系統(tǒng)帶寬不斷增大，這對系統(tǒng)傳輸和存儲等帶來巨大壓力。壓縮感知理論利用信號內在的稀疏性，以低于奈奎斯特采樣率對其進行采樣，顯著降低信號處理的成本。文章介紹了壓縮感知方法的基本理論和幾類典型稀疏重構方法，并通過仿真實驗分析了它們的性能。最后結合幾個典型實例，概述了采用壓縮感知方法解決雷達信號處理領域某些特定工程問題的優(yōu)勢。
Abstract： Conventional signal processing approaches must follow Shannon's celebrated theorem. As the promotion of information and resolution， the band of system will also increase. The transmission and storage of system is greatly challenged. While compressive sensing theory can sample signal at the rate below Nyquist Sampling frequency to lessen the system cost in signal processing. This paper introduces the basic theory of compressive sensing and several typical sparse recovery methods. The performance of different methods was illustrated through simulation. Via several typical applications in radar， we showed the advantage in dealing with some special radar problem with compressive sensing.
關鍵詞： 壓縮感知；ISAR成像；DOA估計；雷達應用
Key words： compression sensing；ISAR imaging；DOA estimation；radar application
中圖分類號：F273.4 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2017）18-0243-03
0 引言
傳統(tǒng)信號處理必須遵循香農采樣定理（采樣率不小于信號最高頻率的兩倍，即奈奎斯特采樣定理）。隨著信息量的增加和系統(tǒng)分辨率的提高，系統(tǒng)帶寬也不斷提高，這給系統(tǒng)傳輸和存儲等帶來巨大壓力。壓縮感知理論（CS，Compressed Sensing）[1]于2006年被Donoho等人正式提出。即當目標信息在某些特征域內稀疏分布時，以低于奈奎斯特采樣率對其進行采樣，可重構出原始信號，降低信號處理成本。CS理論通過“測量矩陣”與 “壓縮采樣”對高維信號進行降維采樣，將信號稀疏重構問題轉化為約束優(yōu)化問題，這有著非常重要的工程意義。
目前典型的稀疏重構方法有三類：基于最優(yōu)化理論的范數求解[2]，基于貪婪思想[3]，基于統(tǒng)計理論[4]。其中貪婪類算法運算速度最快，其他方法重構精度更高。在雷達信號處理領域，利用部分孔徑/稀疏孔徑數據對原始數據進行恢復，大大簡化了雷達接收機的硬件設計和存儲資源。在ISAR成像和波達方向估計領域，利用壓縮感知模型在降采樣條件下可提高成像分辨率和DOA估計精度，對存在稀疏先驗的目標信號，利用稀疏重構實現超分辨。
1 壓縮感知理論模型及其重構原理
1.1 壓縮感知理論模型
對于稀疏信號，x可由K（K< y=Φx=ΦΨs=Θs（3） 其中Θ=ΦΨ為測量矩陣（也稱感知矩陣）。對數據的降維操作可以在接收信號之后，也可以在系統(tǒng)采集過程中。 利用公式求解稀疏向量s是一個線性規(guī)劃問題，由于M< 1.2 稀疏重構的原理 針對上述問題，實現穩(wěn)健精確重構的充分條件是：矩陣Θ必須滿足約束等距條件RIP（Restricted Isometry Property）。（K，δ）-RIP條件是指矩陣Θ的所有M×K維子矩陣具有等距特性，也可以理解為Θ中所有M×K維子矩陣的各列近似正交。已驗證的測量矩陣包括高斯矩陣、伯努利矩陣、局部傅里葉矩陣、小波變換、哈達瑪變換（Hardmard Transform）等[5]。 矩陣Θ滿足RIP條件時，可通過觀測向量y重構稀疏度為K的信號s。以公式為約束，信號s的l0范數為目標函數，建立優(yōu)化問題 由求解l0范數轉化為求解lp范數，使問題的性質得到了轉化，從而解決該問題[3，7]。當0
其中C是固定常數，u（Φ，Ψ）表示稀疏字典與觀測矩陣的相干性，表達式如下：
u（Φ，Ψ）與前面描述的RIP性質以及冗余字典維數有關，RIP性質越好，字典維數越低，該值越趨于1，所需的樣本數越低。從雷達信號處理角度來說，字典分的越細，分辨率越高。CS理論不能無限制提高分辨率，必須滿足公式（7），否則無法實現稀疏重構。
2 幾類典型的壓縮感知重構方法
2.1 基于子空間追蹤（Subspace Pursuit， SP）的稀疏恢復方法
SP[3]和OMP方法運算速度相當，但是OMP算法在字典選取的過程中無剔除操作，算法不夠穩(wěn)健，而SP算法在挑選稀疏原子的同時，對字典中原子進行迭代更新，保證了原子的準確性，具有和LP優(yōu)化問題相當的恢復精度，是比較常用的一類方法。
2.2 基于平滑l0范數（SL0）的稀疏恢復方法
SL0方法[2]利用高斯函數逼近l0范數，通過迭代更新平滑參數，以逼近l0范數，SL0方法放寬了對字典RIP性質的要求，表達式如下：f？滓（s）=exp（-高斯函數可微，利用最優(yōu)化方法即可求解稀疏重構。迭代過程中，隨著？滓的變小，函數趨向于l0范數，逐漸提升精度。
2.3 基于貝葉斯壓縮感知（Bayesian Compressive Sensing， BCS）的稀疏恢復方法
BCS方法[4]利用目標稀疏的先驗信息，結合測量過程，得到稀疏矢量的后驗概率。假定接收信號包含方差為？滓2的高斯白噪聲，接收數據為
似然分布為
通過似然函數，將CS稀疏重構轉化為線性回歸問題。利用Laplace分布表征稀疏特性：
結合貝葉斯公式，得到后驗概率密度。最大化后驗概率得到稀疏矢量的估計值，再利用貝葉斯分析得到稀疏矢量s和？滓完全后驗概率分布。
2.4 采用上述方法對稀疏信號的重構實驗
假定稀疏矢量s的長度N=512，其中包含K個非零值，非零值在s中的位置和幅度是隨機的。利用隨機矩陣Φ（M×N）對該信號進行降維觀測，其中M=100。采用以上三種方法重構結果如圖2所示。圖2（a）中K=20，三種方法重構誤差均小于0.05，其中SP方法速度最快。圖2（b）中K=30，SP方法的重構誤差增加，而BCS和SL0方法仍能夠保證較高的重構精度?？梢姡诮鉀Q實際問題時，根據精度和運算速度需求選擇合適的信號處理方法。
3 壓縮感知方法在雷達領域的應用
3.1 ISAR成像領域的應用
以星載雷達對空間目標成像為仿真背景，考慮目標自旋現象引起的遮擋效應，圖3為采用SRMF方法[9]和結合CS的成像結果。其中目標自標角速度ω=8.12π，圖3（a-b）是在觀測周期L=4和L=8的條件下結合CS得到的成像結果。11個散射點都能夠很好的實現聚焦。然而，圖3（c-d）所示的SRMF方法僅有部分散射點被恢復，成像質量差于結合CS的成像結果。有三方面原因：一是SRMF方法的匹配濾波器旁瓣較高，淹沒其他散射點，二是只有在觀測角不被遮擋時目標信號才能接收到，為了匹配多周期的回波信號以及實現快速FFT操作，SRMF方法無法考慮陰影效應。另外，隨著ω提升，多普勒帶寬增加，SRMF方法因多普勒模糊成像結果變差，然而，利用CS理論可實現等效采樣，改善冗余字典性質，得到更清晰的圖像。
3.2 壓縮感知方法在DOA領域的應用
本小節(jié)重點比較傳統(tǒng)DOA估計方法和基于CS方法的DOA估計性能三個遠場信號入射到陣元數為8的均勻線陣上，陣元間距取半波長，方位角分別為-70°，-20°，60°，其中-70°，-20°相干。CS算法為單快拍，MUSIC算法快拍數為300。如圖4所示，MUSIC算法無法實現解相干，而對于CS算法，由于CS理論采集的信息與信號中的結構和位置相關，并不受相干的限制，可以實現相干源的檢測。同時CS方法為單快拍，在樣本數不足時仍然能夠保持高精度估計，也是CS算法的優(yōu)勢。
4 結論
CS理論打破了傳統(tǒng)的香農采樣定理，在稀疏信號模型下，以低于奈奎斯特采樣率對信號進行采樣。通過ISAR成像和DOA估計兩個應用實例，給出了雷達信號處理領域中結合CS實現雷達功能的優(yōu)勢。當然，結合CS理論也存在一些弊端，例如在DOA估計中，若陣列存在誤差，冗余字典設計存在偏差，此時DOA估計性能反而不及傳統(tǒng)方法。同時，在信噪比較低時，絕大多數稀疏恢復方法無法使用。
參考文獻：
[1]Donoho D.， "Compressed Sensing，" Ieee Transactions On Information Theory， vol. 52， pp. 5406-5425， 2006.
[2]Mohimani Hosein， Babaie-Zadeh Massoud， Jutten Christian， "A Fast Approach for Overcomplete Sparse Decomposition Based On Smoothed Norm，" Ieee Transactions On Signal Processing， vol. 57， pp. 289-301， 2009.
[3]Wei Dai， Milenkovic Olgica， "Subspace Pursuit for Compressive Sensing Signal Reconstruction，" Ieee Transactions On Information Theory， vol. 55， pp. 2230-2249， 2009.
[4]Tipping Michael E.， "Sparse Bayesian Learning and the Relevance Vector Machine，" Journal Of Machine Learning Research， vol. 1， pp. 211-244， 2001.
[5]Dossal C.， Peyré G.， Fadili J.， "A Numerical Exploration of Compressed Sampling Recovery，" Linear Algebra And Its Applications， vol. 432， pp. 1663–1679， 2010.
[6]Davies M. E.， Gribonval R.， "Restricted Isometry Constants Where Lp Sparse Recovery Can Fail for 0 [7]Tianyao Huang， Yimin Liu， Huadong Meng， Xiqin Wang， "Adaptive Compressed Sensing Via Minimizing Cramer–Rao Bound，" Ieee Signal Processing Letters， vol. 21， pp. 270-274， 2014. [8]Candès E.， Romberg J.， "Sparsity and Incoherence in Compressive Sampling，" Inverse Problems， vol. 23， pp. 969-985， 2007. [9]Wang Qi， Xing Mengdao， Lu Guangyue， Bao Zheng， "Single Range Matching Filtering for Space Debris Radar Imaging，" IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters， vol. 4， pp. 576-580， 2007.
